1、期中解答题精选50题（压轴版）1（2020四川成都市北大附中成都为明学校高二期中）已知圆C过点且圆心在直线上（1）求圆C的方程（2）设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数a使得过点P（2，0）的直线垂直平分AB？若存在，求出a值，若不存在，说明理由【答案】（1）x2+y2-6x+4y+4=0（2）不存在实数【详解】（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0则有解得圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0 （2）设符合条件的实数存在，由于l垂直平分弦，故圆心必在l上所以l的斜率，而， 所以 把直线ax-y+1=0 即y=ax +1代入圆的方程，消去，整理得由于直线交圆于两点，故，
2、即，解得则实数的取值范围是 由于，故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦2（2020四川省渠县中学高二期中（理）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由，解得：故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，
3、由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=23（2018天津河东区高二期中（理）ABC中，A（3，1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x10y59=0，B的平分线方程BT为：x4y10=0，求直线BC的方程.【答案】.试题解析：设则的中点在直线上,则 ,即,又点在直线上,则联立得,有直线平分,则由到角公式得,得的直线方程为:.4（2020新泰中学高二期中）已知圆和(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长【答案】（1）见解析；（2）【详解】(1)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径两圆圆心距
4、所以，圆和相交；(2)圆和圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为：故公共弦长为5（2019北京海淀区高二期中）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】() ，；()见解析.【详解】()将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.()很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：
5、，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.6（2019安徽铜陵一中高二期中）已知以点C（tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程【答案】（1）证明见解析（2）圆C的方程为（x2）2（y1）25【详解】（1）证明：因为圆C过原点O，所以OC2t2.设圆C的方程是（xt）2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOAOB|2t|4，即
6、OAB的面积为定值（2）因为OMON，CMCN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为（2，1），OC，此时，圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相交于两点符合题意，此时，圆的方程为（x2）2（y1）25.当t2时，圆心C的坐标为（2，1），OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，所以t2不符合题意，舍去所以圆C的方程为（x2）2（y1）25.7（2019眉山外国语学校高二期中（理）在平面直角坐标系中，点，直线，圆.（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；（2）有一动圆的半径为，圆心在上，若动圆上存在点
7、，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）的取值范围为，圆心坐标为；（2）.【详解】（1）由于方程表示的曲线为圆，则，解得，所以，实数的取值范围是，圆心的坐标为；（2）由于点在直线上，且该点的横坐标为，则点的坐标为，由可知，点为线段的垂直平分线上一点，且线段的垂直平分线方程为，所以，直线与圆有公共点，由于圆的圆心坐标为，半径为，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是.8（2018湖北高二期中（文）已知圆.（1）若直线过原点且不与轴重合，与圆交于，试求直线在轴上的截距；（2）若斜率为的直线与圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）最大值为，或【详解】解：（1）圆，设直
8、线，联立，则有：，故，则，故直线，令，得为直线在轴上的截距（2）设直线的方程：，则圆心到直线的距离为弦长，则面积为.当且仅当，即时的最大值为，此时解得或直线的方程为或9（2017北京东城高二期中（理）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，BE与平面ABCD所成角为求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点是线段BD上的一个动点，试确定点的位置，使得平面BEF，并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【详解】（1）证明：平面，平面，又是正方形，平面（2），两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为，即，而，由，可知：，则，设平面
9、的法向量为，则，即，令，则因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（3）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点10（2017湖北宜昌市高二期中（理）四棱锥中，底面为矩形，为的中点(1)证明：；(2)设，三棱锥的体积，求二面角DAEC的大小【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EO/PBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB/平面AEC（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的
10、方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz,三棱锥的体积, 则A(0, 0 ,0)， D(0, ,0)，B(,0,0)，E(0, ,)，C (, ,0)，则=(0, ,)， =(, ,0)，设为平面ACE的法向量，则 即令，得，则 又为平面DAE的法向量， 如图可得二面角为锐角，所以二面角为11（2019江苏高二期中（理）如图，在正四棱柱中，点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1) .(2) .详解：在正四棱柱中，以为原点，、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系因为，所以， 所以，所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)，设平面的一个法
11、向量为则，得，取，得，故平面的一个法向量为 于是，所以直线与平面所成角的正弦值为 12（2021威远中学校（理）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，F为CD的中点求证：平面BCE；求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析（2）【详解】设，以，所在的直线分别作为轴、轴，以过点在平面内和垂直的直线作为轴，建立如图所示的坐标系，为的中点，（1）证明，平面，平面（2）设平面的一个法向量，则，即，不妨令可得设平面的一个法向量，则，即，令可得于是，故二面角的余弦值为13（2019兴宁市第一中学高二期中）如图，四棱锥的底面是正方形，点在棱上.（）求证：；（）当且为的中点时，求与平面所成的角的大
12、小.【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：底面ABCD是正方形ACBD又PD底面ABCDPDAC所以AC面PDB因此面AEC面PDB（2）解：设AC与BD交于O点，连接EO则易得AEO为AE与面PDB所成的角E、O为中点 EOPD EOAO在RtAEO中 OEPDABAOAEO45 即AE与面PDB所成角的大小为4514（2020江北区重庆十八中高二期中）已知点和点关于直线：对称（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程【答案】（1）（2）或【详解】解：设点则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为（1）若
13、直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 15（2020四川高二期中（理）已知圆C：，直线l：.（1）若圆C截直线l所得弦AB的长为，求m的值；（2）若，直线l与圆C相离，在直线l上有一动点P，过P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且的最小值为.求m的值，并证明直线MN经过定点.【答案】（1）；（2），证明见解析.【详解】（1）圆C的圆心，半径，由弦AB的长为得：点C到直线l的距离为，
14、又，解得：；（2），由（1）知点C到直线1的距离，时，的值最小，即的最小值为，由已知得，解得，解得或0，当时，直线l的方程为，设，以CP为直径的圆记为圆D，则圆D的方程为，即，圆C的方程为，由-得，M、N两点为圆C和圆D的公共点，即为直线MN的方程，变形得，由，解得，所以，直线MN经过定点.16（2020湖北高二期中）已知圆；（1）若圆的切线在轴，轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有，求的最小值.【答案】，；（2）.【详解】解：（1）圆的方程为，若切线的截距为时，设直线方程为，由，得：，切线方程为，若切线的截距不为时，设直线方程为，由，得：，
15、切线方程为，综上所述：切线方程为， ；（2）由条件知：，化简得：，从而，所以当，时，取得最小值为.17（2020嘉祥县第一中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.（1）求圆的方程；（2）若点，当在上运动时，记的最大值和最小值分别为和，求的值.（3）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）设点，由，且得，整理得,所以圆的方程为（2
16、）由，设得，而，当时，取得最小值；，当时，取得最大值，所以.（3）设切点，则，直线方程为：，整理得，同理可得直线方程为：，由直线均过点，则，即点都在直线上，所以直线的方程为.18（2020山东）已知点，关于原点对称，点在直线上，圆过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为.（1）求圆的半径；（2）已知点，当时，作直线与圆相交于不同的两点，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点.【答案】(1) r=1或r=3 (2)证明见解析【详解】(1）圆M过点A，B，圆心M在AB的垂直平分线上，由已知点A在直线x+y=0上，且点A，B关于原点O对称，点M在直线y=x上，则点M的坐标为(a，a)
17、.圆M与直线x+1=0相切，圆M的半径为，连接MA，由已知得 ，又，故可得，整理得: ，解得a=0或a=2，故圆M的半径为r=1或r=3.（2）由a 2，得a=0，则圆M的方程为.设点，当直线的斜率存在时，设直线:联立方程组，消元得则又直线PM，PN斜率之和为，得.代入，可得直线方程，直线l恒过定点(2，-1)，当直线l的斜率不存在时，因为直线PM，PN斜率之和为，但，且，故不合题意，舍去.综上，直线l恒过定点(2，-1).19（2020四川省南充高级中学高二期中（理）已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上.（1）求圆M的标准方程；（2）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐
18、标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，由直线与圆相切于点，得，解得，圆的方程为；（2）由题意知，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点A的坐标为，又直线的斜率为，同理可得：点B的坐标为由题可知：，又，同理，.当且仅当时等号成立.的最大值为.20（2020永丰县永丰中学高二期中（文）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，与圆交于点（1）若直线斜率为2，求弦长；（2）若的中点为E，求面积的取值范围【答案】（1）；（2）.【详解】（1）直线斜率为2，则直线方程为所以点到直线
19、的距离， （2）当直线的斜率不存在时，的面积；当直线的斜率存在时，设为，则直线，当时，直线的方程为，经过圆心，此时不存在，舍去；当时，直线，由得，所以因为，所以因为E点到直线的距离即M点到直线的距离，所以的面积令，则，所以，因为，所以，所以，综上可得，面积的取值范围是.21（2020江苏省苏州中学园区校）在平面直角坐标系中，圆，直线，直线.（1）已知为直线上一点，若点在第一象限，且，求过点圆的切线方程；若存在过点的直线交圆于点，且B恰为线段的中点，求点横坐标的取值范围；（2）设直线与轴交于点，线段的中点为，为圆上一点，且，直线与圆交于另一点，求线段长的最小值.【答案】（1）或；（2）.【详解】
20、（1）设，因为 ，所以 ，解得 ，因为点P在第一象限，所以 ，则 ，当切线斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，由圆心到直线的距离相等得，解得 ，所以切线方程是 ，当斜率不存在时，综上：过点圆的切线方程为或；设，因为B恰为线段的中点，则，所以，因为点A，B都在圆上，所以即 ，所以两圆有公共点，所以，解得 ，所以点P的横坐标的取值范围是（2）设，因为点R在圆上，且，所以。解得，所以RM的方程为，由 ，解得 ，又，所以 ，当，即时，.22（2021湖南娄底一中高二期中）已知点，曲线C上任意一点P满足（1）求曲线C的方程；（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何
21、运动，x轴都平分EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【详解】（1）设点的坐标为，因为，可得，整理得，即曲线的方程为.（2）如果斜率不存在，直线垂直于x轴，此时与圆交于两点，可得这些直线都是平行的，不可能经过同一点，不符合题意设存在定点Q满足条件，设直线的方程为，设，联立方程组，整理得，可得，无论直线如何运动，轴都平分EDF，可得，所以，可得，所以，所以，整理得，可得，所以，可得直线经过定点，所以存在过定点的直线与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，轴都平分EDF23（2018江苏常州市高二期中）已知圆：()，定点，其中为正实数.（1）当时
22、，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 【答案】(1) 相离. (2) ，(3) 【详解】解: (1) 当时,圆心为,半径为, 当时,直线方程为, 所以,圆心到直线距离为, 因为,所以,直线与圆相离. （2）设点，则，由得， ，代入得， ，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，(3)法一:直线的方程为，设()，因为点是线段的中点，所以，又都在圆：上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以，
23、又为线段上的任意一点，所以对所有成立而 在上的值域为，所以所以又线段与圆无公共点，所以，.故实数的取值范围为 法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，则则消去得， ， 直线方程为 点到直线的距离为 且又 为线段上的任意一点， ， 故实数的取值范围为24（2019浙江）已知圆M的圆心在直线：上，与直线：相切，截直线：所得的弦长为6.（1）求圆M的方程；（2）过点的两条成角的直线分别交圆M于A，C和B，D，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【详解】（1）设圆M的方程为：则，解得：，所求圆方程为（2）解法1：如图作，令，或 当时，因、四点共圆，由正弦定理，又，当且仅当时取等，当时，又，所以，综
24、上所述，四边形面积的最大值为.解法2：（当且仅当时取等号），要使得，则直线PM应是的平分线，当时，圆心M到直线AC、BD的距离为，则，.当时，圆心M到直线AC、BD的距离为，则，.综上所述，四边形面积的最大值为.25（2019浙江省柯桥中学高二期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆：与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.（1）若直线与轴交于，且，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别是，求的值；（3）设的中点为，点，若，求的面积.【答案】（1）（2）-1（3）【详解】（1）设，求出，则或6，结合直线圆的位置关系可知，一定满足，此时直线的方程为：；当时，直线的方程为：，圆心到直
25、线距离（舍去）；（2）设直线的方程为：，联立可得：， 设，则，则，将代入化简可得，即；（3）设点，由点，可得，化简得，又，式代入式解得或，由圆心到直线的距离，故，此时，圆心到直线距离，则，直线方程为：，到直线的距离，则26（2020浙江宁波高二期中）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接 （）证明：试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面 所成二面角的大小为，求的值【答案】（）详见解析；（）【分析】（解法
26、1）（）因为底面 ，所以， 由底面为长方形，有 ，而，所以而，所以 又因为，点 是的中点，所以 而，所以 平面而 ，所以又， ，所以平面 由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 （）如图1，在面内，延长 与交于点 ，则是平面 与平面的交线由（）知，所以又因为底面 ，所以而 ，所以故是面 与面所成二面角的平面角， 设， ，有，在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得所以故当面与面 所成二面角的大小为时，（解法2）（）如图2，以为原点，射线 分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系设， ，则， ，点是 的中点，所以， ，于是，即 又已知，而 ，所
27、以因, , 则, 所以由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 （）由，所以是平面 的一个法向量；由（）知，所以是平面 的一个法向量若面与面 所成二面角的大小为，则，解得所以 故当面与面 所成二面角的大小为时， 27（2020黑龙江佳木斯一中高二期中（文）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，点，分别在棱，上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：以为原点，射线，分别为，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由
28、已知得，则，.（1）当时，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.28（2018太原市山西大附中高二期中（理）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面平面（I）求证：；（II）若M为中点，求证：平面；（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.【详解】（I）由，根据面面垂直
29、的性质得到平面，从而可证明；（II）由于，建立空间直角坐标系，利用的方向向量与平面 的法向量数量积为零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，设，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得，从而可得结论.详解：证明：（I）在直三棱柱中，平面 平面平面，且平面平面平面 （II）在直三棱柱中，平面，又，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得， 设平面的法向量 令 则为的中点， 又平面，平面 （III）由（II）可知平面的法向量设则若直线DP与平面所成的角为，则 解得 故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为29（2018山东青岛高二期中）如图几何体中，等边三角形所在平面垂直于矩形所在
30、平面，又知，/.（1）若的中点为，在线段上，/平面，求；（2）若平面与平面所成二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若中点为，求在平面上的正投影【答案】（1）；（2）；（3）在平面上的正投影为.【详解】(1)设的中点，连接，因为；所以四点共面，又因为平面，面，平面平面所以；所以.(2)设的中点为，的中点为，连接；因为为等边三角形，所以又因为平面平面，平面平面，所以面设，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的法向量，则，；得，所以.同理得平面的法向量所以，所以又因为，所以(3)由(2)知易证：平面，所以又因为，所以又因为在中， ，所以，所以平面，所以在平面上的正投影为.3
31、0（2020黑龙江佳木斯一中高二期中（文）如图，直三棱柱中，为的中点.（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；（）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45，求直线与平面成角的正弦值.【答案】（）见证明；（）【详解】（）证明：取中点,连接,有,因为，所以,又因为三棱柱为直三棱柱，所以,又因为,所以， 又因为所以又因为,平面,平面,所以，又因为平面,所以,因为，所以, 连接,设，因为为正方形，所以,又因为所以,又因为为的中点，所以为的中点,所以. （）如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设,由（）可知，所以，所以,所以,所以， 设平面的法向量为，则即则的一组解为
32、所以 所以直线与平面成角的正弦值为.31（2020辽宁大连八中高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接（）求证：平面；（）若时，求二面角的正弦值；（）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【详解】（）在线段上取一点，使得，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，0，0，2，2，0，1，0，设平面的一个法向量为，令，设平面的一个法向量为，令，二面角的正弦值为（）令，设平面的一个法向量为，令，由题意可得：，32（2020天津市咸水沽第一
33、中学高二期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点（1）求证：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) ； (3)答案见解析.【详解】解：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 则，设平面的法向量是，则，即令，则，于是，又平面，平面（2）设平面的法向量为则，即据此可得平面的一个法向量,设二面角的平面角大小为，易知：则，即 二面角的正弦值为（3）假设存在满足题意的点，且：，设点N的坐标为，据此可得：，由对应坐标相等可得，故，由于平面的一个法向量
34、，由题意可得：解得：，据此可得存在满足题意的点，且的值为.33（2021厦门市湖滨中学高二期中）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且【详解】（1）证明：因为于点，所以，且，平面，平面.（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面.根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：则，设，则，所以，所以，设平面一个法向量为：，则，即，令，所以，设平面一个法向量为：，则，即，令，所以，因为平面平面，所以，即解得.所以在线段上是否存在点，使平面平面，且.34（
35、2020和平天津二十中高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【详解】（1）平面，平面，.底面是矩形，又，平面，平面，.（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示则，设平面的法向量，则，即，令，则，.设直线与平面所成的角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.（3）.设平面的法向量，则，即，令，则.又平面的法向量.设二面角的大小为，则为锐角，所以二面角的余弦值为35（2020大连市红旗高级中学高二期中）如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等
36、腰直角三角形，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【详解】解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以面，又，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，（1）证明：由题意，因为，所以.（2）解：，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，平面的一个法向量，因此有，由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.（3）解：（方法一）设，所以，因此，令，即，解得，即为的中点，因为平面，平面，所以当为的中点时，平面平面，此时即，所以线段的长为.（方法二
37、）设，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因为平面平面，所以，解得：，此时即，所以线段的长为.36（2020南开天津二十五中高二期中）如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在.【详解】（1）取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，
38、令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）假设在棱是存在一点，设，可得，由，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，又由平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面所成二面角为，可得，解得，此时，符合题意，所以在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为.37（2019江苏高二期中（理）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，底面，设点满足.（1）若，求二面角的大小；（2）若直线与平面所成角的正弦值，求的值.【答案】（1）（2）【详解】解：（1）以O为坐标原点，建立坐标系，则，所以，设，则，所以，易知平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，由图形可得，二面角为锐
39、角，所以二面角的大小为.（2），设，则，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，因为直线与平面所成角的正弦值，则，解得：，.38（2020福建莆田一中高二期中）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，（1）求证：；（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的靠近点的三等分点.【详解】（1）证明：，且为线段的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，又平面平面，又，且平面平面，平面平面，平面，平面，又平面， .（2）存在，为的靠近点的三等分点，为线段的中点
40、，又平面平面，平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设，得，设平面的法向量为，则即令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是有；得或（舍），所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，故为的靠近点的三等分点39（2020北京四中高二期中）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，且，.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；（3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，又，平面ABCD，所以平面.（2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系：则，设，则，设平面平面的一个法向量为，则 ，即 ，令 ，则 ，所以 ，设平面平面的一个法向量为，则 ，即 ，令 ，则 ，所以 .若使得平面平面，则，即，解得，所以线段上存在点，使得平面.（3）假设存在点N，在线段上，使得，如图所示：连接AC，取其中点G，在中，因为M，G都是边的中点，所以 ，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MG与MN重合，所以点N在线段AC上，所以N是AC，BC的交点C，即MN就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误
