1、复复 数数第 六 章复数的概念与几何表示第一节复数的运算第二节复数的三角形式和指数形式第三节实系数一元二次方程第四节目录CONTENTS第一节 复数的概念与几何表示 复数的概念 一、已知一元二次方程x2=1在实数范围内无解.更一般地，当根的判别式=b24ac0或a0时，复数的辐角主值各是多少？（2）a=0,b0；（2）实部为rcos，虚部为rsin；（3）实部与虚部之间用“+”连接.第三节 复数的三角形式和指数形式从复数的三角形式可以看出，如果两个非零复数的模与辐角分别相等，那么这两个复数相等.与复数的代数形式不同，一个复数的三角形式不是唯一的.设z=r(cos+isin)，则z=rcos(+
2、2k)+isin(+2k)(k Z )都是z的三角形式.为了使运算结果一致，如不加说明，本章中复数的辐角指的都是辐角主值.第三节 复数的三角形式和指数形式【例例3 3】第三节 复数的三角形式和指数形式第三节 复数的三角形式和指数形式第三节 复数的三角形式和指数形式【例例4 4】第三节 复数的三角形式和指数形式 课课堂练习练习第三节 复数的三角形式和指数形式复数三角形式的运算复数三角形式的运算2.利用复数的三角形式进行复数的乘法、乘方和除法运算比较方便.设z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos 2+isin 2)，则z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2
3、)=r1r2(cos1cos 2sin 1sin 2)+i(sin 1cos2+cos 1sin 2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)，即 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).第三节 复数的三角形式和指数形式因此，两个复数乘积的模等于两个复数模的乘积，乘积的辐角等于两个复数辐角的和.特别地，当z1=z2=z=r(cos+isin)时，由前面复数的三角形式的乘法运算公式，有 z2=r2(cos 2+isin2).上面的结论可推广到有限个相等复数相乘.对复数z=r(cos+isin)，有 zn=rn(cos n+isinn),nN*.第三节 复数的三角形式和指数形
4、式【例例5 5】第三节 复数的三角形式和指数形式 课课堂练习练习第三节 复数的三角形式和指数形式 复数的指数形式及运算 二、根据欧拉公式ei=cos+isin，复数z=r(cos+isin)就可以表示为z=rei，这里在指数位置上的角用弧度制表示，称z=rei为复数z的指数形式.第三节 复数的三角形式和指数形式【例例8 8】第三节 复数的三角形式和指数形式第三节 复数的三角形式和指数形式 怎样把复数的指数形式化为代数形式？想一想第三节 复数的三角形式和指数形式 课课堂练习练习第三节 复数的三角形式和指数形式【例例9 9】第四节 实系数一元二次方程在实数范围内，方程x2=-a(a0)无解，那么在
5、复数范围内，该方程是否有解昵?由于(-i)2=i2=-1，所以i和-i是-1的两个平方根，或者说方程x2=-1有两个根i和-i同理可知，(-ai )2=(ai )2=-a，所以 ai 和-ai 是-a的两个平方根，故方程x2=-a(a0)在复数范围内有两个解x=ai (a0)第四节 实系数一元二次方程第四节 实系数一元二次方程第四节 实系数一元二次方程第四节 实系数一元二次方程在复数集中，因为实系数的二次三项式ax2+bx+c所对应的方程ax2+bx+c=0总有两个解x1,x2，所以ax2+bx+c在复数集中总可以分解成两个因式的乘积，即 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).第四节
6、实系数一元二次方程【例例1 1】第四节 实系数一元二次方程【例例2 2】阅读材料 复数的起源 在漫长的数学发展过程中，很长的一段时期内，方程x2=1没有解的结论被认为是天经地义、无可争辩的事实.直到文艺复兴时期，意大利数学家卡当（15011576）在解一元二次方程和一元三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.1545年卡当在研究“把10分成两部分，使它们的乘积等于40”的问题时，把答案写成 5+15 515=25(15)=40，阅读材料尽管他认为5+15和515 这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.1637年法国数学家笛卡尔（159
7、61650）开始正式使用“实数”“虚数”这两个名词.他在几何学（1637）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.此后，德国数学家莱布尼茨（16461716）、瑞士数学大师欧拉（17071783）和法国数学家棣莫弗（16671754）等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，得出了很多有价值的结果.欧拉在微分公式（1777）一文中第一次用i来表示1的平方根.阅读材料1831年德国数学家高斯（17771855）用实数组a,b 代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.高斯又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，在复数与复平面内的点、向量间建立对应关系，从而建立了复数的几何基础.阅读材料随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性.它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.复数在电学、流体力学等方面都得到了广泛的应用.
