1、2021/7/261(最新整理)对数的运算法则2021/7/262对数的运算法则2021/7/263对数的文化意义恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。2021/7/264对数的概念x(0,1)xaN aa且logaxNa一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作叫做对数的底数，N叫做真数.abN logaNb2021/7/265logxaaNNx对数的概念底数底数指数指数真数真数底数底数对数对数幂幂2021/7/266有关性质有关
2、性质：负数与零没有对数（负数与零没有对数（在指数式中在指数式中 N 0）,01logalog1,aa 对数恒等式对数恒等式log,aNaNlogbaab常用对数：常用对数：为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数 N10log简记作简记作lgN。我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数。2021/7/267自然对数：自然对数：在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 Nelog简记作简记作lnN。（6）底数）底数a的取值范围：的取值范围：),1()1,0(真数真数N的取值范围的取值范围:
3、),0(为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。2021/7/268积、商、幂的对数运算法则：积、商、幂的对数运算法则：如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：2021/7/269证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paM qaN MN=qpaa qpaqpMNloga即证得即证得)1(NlogMlog(MN)logaaa正因数的积的对数等于同一底数各个因数的正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和对数的和 2021/7/2610证明：设证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定
4、义可以得：,paM qaN qpaaqpaqpNMloga即证得即证得 NM)(2NlogMlogNMlogaaa两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数数的对数 2021/7/2611证明：设证明：设,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paM npnaM npMlogna即证得即证得)(3R)M(nnlogMlogana正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数指数 2021/7/2612正数的正的方根的对数等于被开方数的对正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数数除以根指数.即
5、证得即证得 2021/7/2613简易语言表达：简易语言表达：“积的对数积的对数=对数的和对数的和”有时逆向运用公式有时逆向运用公式 真数的取值范围必须是真数的取值范围必须是),0(对公式容易错误记忆，要特别注意：对公式容易错误记忆，要特别注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log分析分析运用转化的思想运用转化的思想,先通过假设先通过假设,将对数式化将对数式化成指数式成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式然后再根据对数定义将指数式化成对数式.11025101010logloglog)(l
6、og)(log)(log5353222)(log)(log10210102102021/7/2614例1 计算)42(log)1(75227log)2(9讲解范例讲解范例 解解 :)42(log752522log724log522log1422log=5+14=19解解 :27log9333log23log233232021/7/2615一、对数的换底公式一、对数的换底公式:如何证明呢如何证明呢?aNNccalogloglog)0),1()1,0(,(Nca2021/7/2616证明证明：设：设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：paN 即证得即证得 pNalogpccaNlogloga
7、pNccloglogaNpccloglogaNNccalogloglog通过换底公式，人们通过换底公式，人们可以把其他底的对数可以把其他底的对数转换为以转换为以10或或e为底为底的对数，经过查表就的对数，经过查表就能求出任意不为能求出任意不为1的的正数为底的对数。正数为底的对数。2021/7/2617二、几个重要的推论二、几个重要的推论:如何证明呢如何证明呢?abbalog1logNmnNanamloglog),1()1,0(,ba2021/7/2618证明证明：利用换底公式得：利用换底公式得：即证得即证得 NmnNanamlogloglglglgloglglglgmnaNnNnNnNamamamlogaNmnaNlglg2021/7/2619证明证明:由换底公式由换底公式 abbalog1log即即 abbaloglog1lglglglgbaab1logloglogacbcba推论推论:2021/7/2620
