1、第三章 导数与微分导数的基本概念第一节函数的求导法则第二节高 阶 导 数第三节隐函数及由参数方程所确定第四节函数的微分及其应用第五节导数的基本概念导数的基本概念第 一节一、原函数的概念求函数的导数或微分是微分学的基本问题，但在工程与社会实践中往往会遇到这类问题的逆问题.例如，在物理学中常提出：在已知物体运动速度v=v(t)的情况下，如何求出该物体的运动方程s=s(t)的问题.由微分学知识可知，s(t)=v(t)，此问题实际上是要求出使s(t)=v(t)成立的s(t)，这是与求导运算相反的问题.我们称s(t)为s(t)即v(t)的原函数.从纯数学意义上审视，我们知道，(x2)=2x，2x是x2的
2、导函数；反之，x2称为2x的一个原函数.下面给出原函数的定义.引例引例1.一、原函数的概念原函数定义原函数定义2.定义定义1 1如果在区间D上定义了一个可导函数F(x)，对于区间D上的所有x，都有F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx(xD)，(5-1)则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数.例如，因(x3)=3x2(x0)，才能把被积函数中所含的两个根式都去掉，则有二、第二类换元积分法【例例3636】二、第二类换元积分法(5-13)二、第二类换元积分法为了由假设x=asint方便地求出其他三角函数值，常作一辅助直角三角形(见图5-3)，由图容易看出 这样可以省去许多没必要的计算
3、.图图 5-3 5-3利用三角公式消去根号的方法通常称为三角代换法.二、第二类换元积分法(1)例33和例36的解答表明，使用第二类换元积分法往往要指明中间变量的取值范围.只有这样，才能保证将中间变量换回原变量时，有确定的函数关系.例如，例33中的t=x，例36中的 都是根据预先指明的中间变量的取值范围，确定根号前的符号的.(2)第二类换元积分法是针对被积函数是无理数，即被积函数含有根式的情况，作变换x=x(t)后，可使被积函数去掉根式，达到有理化的目的.常用的变换如下：注注二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例例3737】二、第二类换元积分法图图 5-4 5-4二、第二类换元积分法【例例
4、3838】二、第二类换元积分法(5-14)图图 5-5 5-5二、第二类换元积分法【例例3939】二、第二类换元积分法(5-15)图图 5-6 5-6二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例例4040】求下列不定积分.二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法【例例4141】二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法分部积分法分部积分法第 四 节第四节 分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xexdx,xcos xdx 等，利用换元积分法就无法求解.本节要介绍另一种基本积分法分部积分法.设函数u=ux,v=vx具有连续导数,则两个函数乘积的微分公式为 d
5、uv=udv+vdu,移项，得 udv=duvvdu.两边积分，得 udv=uvvdu (5-16)或 uvdx=uvuvdx.(5-17)第四节 分部积分法公式(5-16)或公式(5-17)称为分部积分公式.利用分部积分公式可以把比较难求的udv 转化为比较易求的vdu 来计算，达到化难为易的目的.用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法.当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，往往需要用分部积分法来解决.下面通过例子说明如何运用这个重要公式.第四节 分部积分法【例例4242】第四节 分部积分法由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和dv是关键.通常
6、选择顺序是：对反幂三指(对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数和指数函数)，两者之间排在前面的设为u.第四节 分部积分法【例例4343】第四节 分部积分法【例例4444】第四节 分部积分法【例例4545】例45说明，如果被积函数只有一个函数，且不能用基本积分公式直接求出，可以考虑设被积函数为u,此时dv=dx，利用分部积分法求解.第四节 分部积分法【例例4646】求x2cosxdx.解x2cosxdx=x2dsin x=sinxx2sin xdx2=x2sin x2xsin xdx=x2sin x2xd(cosx)=x2sin x2(cos xx+cos xdx)=x2sinx+2xcos x
7、2sin x+C.例46说明，有些不定积分用一次分部积分法不能解出来，可以多次使用分部积分法.第四节 分部积分法【例例4747】第四节 分部积分法【例例4848】求e3xdx.解设3x=t,x=t3,dx=3t2dt,于是e3xdx=3t2etdt=3t2det=3t2et6tetdt=3t2et6tdet=3t2et6tet+6etdt=3t2et6tet+6et+C=3e3x(3x223x+2)+C.到目前为止，前面介绍了求不定积分的三种最基本的方法，记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用它们求解不同类型的题目.同时，还应当注意到某些不定积分的求解需要将几种方法结合起来应用，才能
8、有效地解决问题.第四节 分部积分法【例例4949】第四节 分部积分法第四节 分部积分法【例例5050】第四节 分部积分法【例例5151】有理函数的积分积分表有理函数的积分积分表的使用的使用第 五 节第五节 有理函数的积分积分表的使用 本节将介绍一种比较简单的特殊类型函数的不定积分有理函数的积分，以及积分表的使用.一、有理函数的积分有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和有理分式两类：有理整式有理分式其中m，n都是非负整数，a0,a1,an及b0,b1,bn都是实数，并且a00,b00.一、有理函数的积分在有理分式中，nm时，称为真分式；nm时，称为假分式.利用多项式除法，可以把任意一个
9、假分式化为一个有理整式和一个真分式之和.例如，有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.一、有理函数的积分最简分式的积分最简分式的积分1.下列四类分式统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数；A,M,N,a,p,q均为常数，且p24q0.下面先讨论这四类最简分式的不定积分.前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到.对第三类最简分式，将其分母配方得一、有理函数的积分一、有理函数的积分综上所述，最简分式的不定积分都能被求出，且原函数都是初等函数.根据代数学的有关定理可知，任何真分式都可以分解为上述四类最简分式的和，因此，有理函数的原函数都是初等函数.一、有理函数的积分有理分式化为最
10、简分式的和有理分式化为最简分式的和2.一、有理函数的积分对式(5-18)，应注意到以下两点：(1)若分母Q(x)中含有因式(xa)k，则分解后含有下列k个最简分式之和：其中A1,A2,Ak都是常数.(2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p24q0，则分解后含有下列k个最简分式之和：其中Mi,Ni(i=1,2,k)都是常数.一、有理函数的积分(5-19)(5-20)一、有理函数的积分第二种方法在恒等式(5-20)中，代入特殊的x值，从而求出待定的常数.在式(5-20)中，令x=2，得A=5;令x=3，得B=6.同样得到(5-21)一、有理函数的积分有理函数积分举例有理函数积分举
11、例3.【例例5353】一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分1.由sinx，cos x和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数，记为R(sin x,cosx).三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分【例例5555】二、可化为有理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分2.求简单无理函数的积分，其基本思想是利用适当的变换将其有理化
12、，转化为有理函数的积分.下面通过例子来说明.二、可化为有理函数的积分【例例5757】二、可化为有理函数的积分【例例5858】三、积分表的使用本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的是：初等函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事.事实上，有很多初等函数，它们的不定积分是存在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来，如同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.三、积分表的使用实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.三、积分表的使用该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代换.令u=3x，则
