1、复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院12022-8-2一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,.C记为记为第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复积分的
2、概念极其简单性质复积分的概念极其简单性质复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院22022-8-2简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向正方向总是指从起点到终点的方向总是
3、指从起点到终点的方向.分段光滑的简单闭曲线简称为分段光滑的简单闭曲线简称为周线周线.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院32022-8-22.积分的定义积分的定义:,)(10BzzzzAnCBADCDzfwnkk点为设分个弧段任意分成把曲线滑的有向曲线的一条光终点为内起点为为区域内定义在区域设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2,)()()(111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式,max 1knks 记记,11的的长长度度这这里里kkkkkkzzszzz (,0 时时无限增加且无限增加且当当 n ,)(,记为的积分沿曲线那么称这极
4、限值为函数一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对CzfSCnk,),2,11kkknzz任取一点（在每个弧段.)(limd)(1knkknCzfzzf .d)(CzzfC的积分记为沿闭曲线复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院42022-8-2二、积分存在的条件及其计算方法二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件存在的条件.d)(,)(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf证证 ),()()(:ttyitxtzzC设光滑曲线参数增加的方向参数增加的方向,BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数
5、,0)(ttz并且并且,正方向为正方向为knkkzf 1)(所以所以 nkkkkkkkyixviu1)(,(),(,),(),()(内内处处处处连连续续在在如如果果Dyxviyxuzf ,),(),(内内均均为为连连续续函函数数在在和和那那么么Dyxvyxu ,kkki 设设)(111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为)()(11 kkkkyyixx,kkyix nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),(,都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院
6、52022-8-2当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,),(,下式两端极限存在下式两端极限存在的取法如何的取法如何点点的分法任何的分法任何不论对不论对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()(Czzfd)(Cyvxudd Cyuxvdd i :ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)(Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式 Czzfd)(.dddd CCyuxviyvxu Cyixivu)dd)(复变函数复变
7、函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院62022-8-22.积分的计算方法积分的计算方法 ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)(则是一条光滑曲线设,),(),(:ttyytxxC tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()(ttztzf ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果,21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzf
8、zzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.即即复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院72022-8-2例例1 解解 .43 :,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为,10,4,3ttytx ,)43(,tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又因为又因为 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都这两个积分
9、都与路线与路线C 无关无关,43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC .2/)43(d2izzC例例2 .2 :,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算解解 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2(z因为因为 20d)sin(cos4 ii.0 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院82022-8-2例例3 解解.,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程
10、为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.一个重要而常一个重要而常用的积分公式用的积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院92022-8-2niCCidzzfdzzf1)()()
11、5(复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3(CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线绝对不等式绝对不等式连接而成。由光滑曲线其中nCCCC,21三、复积分的性质三、复积分的性质复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院102022-8-2例例4解解.d1 ,43 绝对值的一个上界绝对值的一个上
12、界试求积分试求积分的直线段的直线段为从原点到点为从原点到点设设 CziziC 1)(0 ,)43(ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311,上上因为在因为在22)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 从而从而 Csd35325.325d1 Cziz故故5 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院112022-8-2一、问题的提出一、问题的提出 ,)(在复平面内处处解析在复平面内处处解析被积函数被积函数zzf 此时积分与路线无关此时积分与路线无关.,1 0zz
13、而被积函数 ,0的内部不是处处解析的的内部不是处处解析的为中心的圆周为中心的圆周它在以它在以Cz cizzz.02d1 0此时此时第二节 柯西积分定理.,0域但此区域已不是单连通的内部函数处处解析的虽然在除去Cz,)(iyxzzf 被积函数被积函数由于不满足柯西黎曼方程由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内故而在复平面内处处不解析处处不解析.d 与路线有关与路线有关此时积分值此时积分值zzc 由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学
14、数学与统计学院122022-8-2B二、柯西积分定理二、柯西积分定理.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数C定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,)(在在函数函数zf ,上解析上解析即在闭区域即在闭区域CBB ,上解析上解析内与内与CB czzf.0d)(那末那末(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,)(在在函数函数zf那末那
15、末上连续上连续在闭区域在闭区域 ,CBB ,内解析内解析B定理仍成立定理仍成立.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院132022-8-2例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 ,1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西积分定理根据柯西积分定理,有有 1.0d321zzz例例2 2.),1(0d)(是任意闭曲线其中证明Cnzzcn证证 ,)1(为正整数时为正整数时当当n ,)(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西积分定理由柯西积分定理,.0d)(cnzz ,1 )2(时时为负整数但不等于为负整数但不等于当当 n ,)(平面上解析平面上解
16、析的整个的整个在除点在除点zzn ,:点点不不包包围围若若情情况况一一 C ,)(围成的区域内解析围成的区域内解析在在 Czn 由柯西积分定理由柯西积分定理,;0d)(cnzz ,:点点包围包围若若情况二情况二 C由上节例由上节例4可知可知,.0d)(cnzz 三、典型例题三、典型例题复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院142022-8-2例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz ,21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西积分定理得根据柯西积分定理得 212d)1(1izzzz
17、 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221.i 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院152022-8-2(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.)(,0d)(内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)(:内内在圆环域在圆环域反例反例 zzzf .11)(:2内内在在反例反例 zzzf应用柯西应用柯西积分积分定理应注意什么定理应注意什么?复变函数复变函数华中科技大学数
18、学与统计学院华中科技大学数学与统计学院162022-8-21.问题的提出问题的提出 2.d11 ,zzz计算计算实例实例 ,1 2 在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含因为因为 zz根据本章第一节的讨论可知根据本章第一节的讨论可知,2.2d11 zizz由此希望将柯西积分定理推广到多连域中由此希望将柯西积分定理推广到多连域中.四、柯西积分定理的推广四、柯西积分定理的推广复合闭路定理复合闭路定理2.闭路变形原理闭路变形原理 ,)(在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),(1正正向向为为逆逆时时针针方方向向单单闭闭曲曲线线内内的的任任意意两两条条简简为为及及DCC.11DDCC全含于
19、全含于为边界的区域为边界的区域及及DC1C1DAA BB ,BBAA 和和作两段不相交的弧段作两段不相交的弧段复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院172022-8-2DC1C1DAA BB EE FF ,AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA ,FFEE 添加字符添加字符为了讨论方便为了讨论方便 .均为封闭曲线均为封闭曲线 ,D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于,0d)(AAEBAEBzzf故故.0d)(BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)(由由,0d)(BFAB
20、FAAzzf得得 Czzfd)(1d)(CzzfAAdzzf)(AAdzzf)(BBdzzf)(0)(BBdzzf,0d)(d)(1 CCzzfzzf即即.d)(d)(1 CCzzfzzf或或复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院182022-8-2DC1C1DAA BB EE FF ,1 成一条复合闭路成一条复合闭路看看及及闭曲线闭曲线如果我们把这两条简单如果我们把这两条简单CC :的正方向为的正方向为 ,按逆时针进行按逆时针进行外面的闭曲线外面的闭曲线 C ,1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线 C),(的左手边的左手边内部总在内部总在的的的正向
21、进行时的正向进行时即沿即沿 .0)(dzzf那末那末 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院192022-8-23.复合闭路定理复合闭路定理,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单
22、闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC.0d)()2(zzf).,:(,2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院202022-8-24.典型例题典型例题例例1 1解解.1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zz
23、zzz,1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知,也包含这两个奇点，也包含这两个奇点，,21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 ,0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 ,1 2 zC 只包含奇点只包含奇点xyo 1 1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院212022-8-2例例
24、2 2 .1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 ,21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC,上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,.0d zzez复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院222022-8-2例例3 3.,d)(1 1为整数的任一简单闭路为含求nazazn解解 ,内部内部在曲线在曲线因为因为 a a ,故可取很小的正数故可取很小的正数 ,:1内部内部
25、含在含在使使 az1,)(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz由复合闭路定理由复合闭路定理,1d)(1d)(111zazzaznn,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)(niieie 20d ninie .0,00,2d)(1 1nnizazn故故此结论非常重要此结论非常重要,用起来很用起来很方便方便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也也不必是圆的圆心不必是圆的圆心,只要只要a在在简单闭曲线简单闭曲线 内即可内即可.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院232022-8-2例例4 4.,d341 2|2沿逆时针方
26、向求zzzz解解 由上例可知由上例可知2|2|2|2d3121d1121d341zzzzzzzzzz.0221ii 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论常用结论:.0,00,2d)(1 1nnizazn.的任一简单闭路为含其中a复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院242022-8-2定理一定理一.d)(,)(无关线与连结起点及终点的路积分则内处处解析在单连通域若函数CzzfBzfC由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分解析
27、函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关只与起点和终点有关,1.两个主要定理两个主要定理:五、原函数与不定积分五、原函数与不定积分 ,10zz终点为终点为如果起点为如果起点为BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf ,110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()(0 zzfzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院252022-8-2.)()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函数析函数内的一个解内的一
28、个解必为必为那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理二定理二证证 利用导数的定义来证利用导数的定义来证.B ,内任一点内任一点为为设设Bz z,KBz内的小圆为中心作一含于以K ,内内在在充分小使充分小使取取Kzzz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)(由于积分与路线无关由于积分与路线无关,d)(00zzfzzz到到的积分路线可先取的积分路线可先取 ,)(的定义的定义由由zFzz )d)(:(0的路线相同这一段与注意zzf,zzz 沿直线到沿直线到然后从然后从 )()(zFzzF于于是是,d)(zzzf 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计
29、学院华中科技大学数学与统计学院262022-8-2 zzzzf d)(因因为为 zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()(zfzzFzzF 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz ,)(内解析内解析在在因为因为Bzf ,)(内连续内连续在在所以所以Bzf,0,0 故故 ,内内都在都在的一切的一切使得满足使得满足Kz ,时时即即 z,)()(zff总有总有由积分的估值性质由积分的估值性质,)()()(zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d|)()(|1zffzzzz .1 zz,0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于于是是).()(
30、zfzF 即即此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院272022-8-22.原函数的定义原函数的定义:.)()(,)()(,)()(内的原函数在区域为那末称即内的导数为在区域若函数BzfzzfzzfBz .)(d)()(0的一个原函数的一个原函数是是显然显然zffzFzz 原函数之间的关系原函数之间的关系:.)(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf3.不定积分的定义不定积分的定义:.)(d)(,)()()()(czFzzfzfccz
31、Fzf记作的不定积分为为任意常数的原函数的一般表达式称定理三定理三.,)()(d)(,)()(,)(100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz (类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院282022-8-2证证 ,)(d)(0的原函数的原函数也是也是因为因为zfzzfzz ,)(d)(0czGzzfzz 所以所以 ,0时时当当zz 根据柯西积分定理根据柯西积分定理,)(0zGc 得得 ,)
32、()(d)(00zGzGzzfzz 所以所以 .)()(d)(0110zGzGzzfzz 或或证毕证毕说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.4.典型例题典型例题例例1 1解解 .d 10的值的值求求 zzzz ,是解析函数是解析函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院292022-8-2例例2 2.dcos 02
33、的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学使用了微积分学中的中的“凑微分凑微分”法法)例例3 3.dcos 0的值的值求求 izzz解解 ,cos 是解析函数是解析函数因为因为zz ,cossin zzz 它它的的一一个个原原函函数数是是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei.11 e izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin .11 e此
34、方法使用了微积此方法使用了微积分中分中“分部积分法分部积分法”复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院302022-8-2例例4 4.d 11的值的值求求 izzze解解 利用分部积分法可得利用分部积分法可得 ,)1(zzezze 的一个原函数为的一个原函数为 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 课堂练习课堂练习.dsin 10的值的值求求 zzz答案答案.1cos1sindsin10 zzz.d1)1ln(,1 0)Re(,0)Im(1的值的值求求内的圆弧内的圆弧试沿区域试沿区域 izzzzzz例例5 5解解 ,1)1ln(
35、在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(ln 2 z它的一个原函数为它的一个原函数为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院312022-8-2例例6 6).cos1(),sin(:20 .d)182(2 ayaxaCzzzC的摆线的摆线到到是连接是连接其中其中的值的值求求解解 ,182 2在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为函数因为函数 zz所以积分与路线无关所以积分与路线无关,Czzzd)182(2 az
36、zz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院322022-8-2一、问题的提出一、问题的提出 .,0中一点中一点为为为一单连通域为一单连通域设设BzB ,d)(0 Czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)(,)(00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfBzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化的变化而改变而改变,求这个值。求这个值。.0的的闭闭曲曲线线内内围围绕绕为为zBC
37、第三节第三节 柯西积分公式及其推论柯西积分公式及其推论 ,00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 ,)(的连续性的连续性由由zf,)(0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院332022-8-2 )(.d)(d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 CzzzzfizfCz
38、DDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC证证此式称为此式称为柯西积分公式柯西积分公式复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院342022-8-2D 0zCK ,0时时当当 zz .)()(0 zfzf,:)(,00的内部的内部全在全在的正向圆周的正向圆周半径为半径为为中心为中心设以设以CRzzKRRz R Czzzzfd)(0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)
39、(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000证证 ,)(0连续连续在在因为因为zzf,0 则则,0)(Kzzzzfzfd)()(00 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院352022-8-2(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)
40、公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)解析函数的平均值定理解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的值等于它在圆周上的平均值.,0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf则有则有 柯西积分公式柯西积分公式的重要性在于的重要性在于:一个解析函数在区一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示域内部的值可以
41、用它在边界上的值通过积分表示,所所以它是研究解析函数的重要工具以它是研究解析函数的重要工具.复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院362022-8-2三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分求下列积分(1),sin)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf ,4 0内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi;0 0sin221 zzii复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中
42、科技大学数学与统计学院372022-8-2例例2 22/32.d)1(1 )2(;d1 )1(zzzzzzzze计算积分解解(1),)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf ,2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 2/32/32/3d1d11d)1(1 )2(zzzzzzzzzz由柯西积分公式由柯西积分公式izzizzzz2d1 ,2d112/32/32/30d)1(1 zzzz。另解：izizzzzzzzzz212d1/1d)1(1 2/32/31这种解法对吗？为什么？这种解法对吗？为什么？复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学
43、院华中科技大学数学与统计学院382022-8-2例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,21 )(内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由由柯西积分公式柯西积分公式 212d)1(1izzzz21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii .i 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院392022-8-2例例4 4;211 (1):,d1)4/sin(2zCzzzC其中计算积分解解2112d1)4/sin()1(zzzz211d11)4/sin(zzzzz11
44、)4/sin(2zzzi;22i ;211 (2):zC.2 (3):zC2112d1)4/sin()2(zzzz211d11)4/sin(zzzzz11)4/sin(2zzzi;22i 由闭路复合由闭路复合定理定理,得得 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 22d14sin)3(zzzz复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院402022-8-2例例5 5.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,1dzzzze02 zzei;2 i )(,ire
45、z令令,1 rz 1dzzzze diireirereei diee i diee i dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei,2d 1izzezz 因为因为比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院412022-8-2例例6 6.111iizdz求积分解解 被积函数被积函数 是多值函数，支点为是多值函数，支点为1/1)(zzfzz,1在一个作支割线后，到从)(1.zfzz可用柯西积分定理单值分支中解析，因而.1211111iiiizzdzf(z)的原函数的原函数 仍是多
46、值函数，在代入上、下限仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。时需要考虑对应的单值分支。12z，规定上岸0)1arg(z，2/)1arg(2/3)1arg(11izizzz.22(2124/34/11）因而iiiieezI在此单值分支上有则此时,2)1arg(0z，定的另一单值分支，即规若取上岸2)1arg()(zzf.22(2124/74/511）则有iiiieezI01复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院422022-8-2 ,)(要做一些限制要做一些限制但对函数但对函数zf )(,0,0()(,)(zfRzRzfzCGzf时使当即趋于零一致时
47、并且当上解析及边界在设,内任意一点内任意一点则对则对G,d)(21)(Czzzfif 有有其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.柯西积分公式对无界区域也是成立的，柯西积分公式对无界区域也是成立的，五、解析函数的无穷可微性五、解析函数的无穷可微性问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同其定义和求法是否与实变函数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示来表示,这与实变函数完全不同这
48、与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院432022-8-2定理定理.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 证证 ,0内任一点内任一点为为设设Dz ,1 的情况的情况先证先证 n根据导数的定义根据导数的定义,zzf
49、zzfzfz )()(lim)(0000从柯西积分公式得从柯西积分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )()(00,d)(d)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院442022-8-2 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 ,)(上解析上解析在在因为因为Czf,上连续上连续所以在所以在 C
50、 ,)(上有界上有界在在故故Czf,)(,0 MzfM 使得使得于是于是 ,0上各点的最短距离上各点的最短距离到曲线到曲线为从为从设设Czd ,适当地小适当地小并取并取z ,21 dz 满足满足 ,0dzz 则则 ,110dzz 00zzzzzz ,2d 复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院452022-8-2D 0zCd ,210dzzz ,3dMLzI .的长度的长度为为这里这里CL ,0 z如果如果,0 I那末那末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限zzfzzfz )()
