1、第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础本章内容本章内容3.1 刚体运动概述刚体运动概述3.2 刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律3.3 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律3.4 刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律刚体的角动量定理与角动量守恒定律3.6 进进 动动 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础1.1.刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持
2、不内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。元组成的质点系。3.1 3.1 刚体运动概述刚体运动概述 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础2.2.刚体的运动形式刚体的运动形式 刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动过该点的轴线的转动 第第3 3章章 刚体
3、力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础2.1 2.1 平动：平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。过程中始终保持方向不变。特点：特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。速度。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础2.2 2.2 转动：转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为若转轴固定不变，则称为定轴转动。定轴转动。特点：特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角
4、速度和刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。角加速度。zO O 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。3.3.刚体的自由度刚体的自由度u 自由度的概念自由度的概念u 刚体的自由度刚体的自由度x xy yz zO3 3个平动自由度个平动自由度 (x x，y y，z z)。确定质心确定质心C C的位置的位置:3 3个方位角个方位角 (a a，b b，g g)，其中两个是独立的，其中两个是独立的。确定刚体绕瞬时轴转过的角度确定刚体绕瞬时轴转过的角度
5、j j。i=3+2+1=6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制自由度减少。自由度减少。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础角位置：角位置：3.2.1 3.2.1 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 ()t角位移：角位移：)()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度：xOP r rv v3.2 3.2 刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律22ddddtt在描述刚体的定轴转动时，采用角量描述最简单。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向角速
6、度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.2.2 3.2.2 角量和线量的关系角量和线量的关系rv 矢量表示：矢量表示：xOP r rv vra tra2nvrv rra2 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础t dd22ddddtttt00dtt00dt020021tt02022 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系
7、为一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为 =10=10 t t 2 2，式式中中 的单位为的单位为radrad，t t 的单位为的单位为s s。根据定义，飞轮的角速度为根据定义，飞轮的角速度为t dd飞轮的角加速度为飞轮的角加速度为t dd距转轴距转轴r r处质点的切向加速度处质点的切向加速度ra t法向加速度法向加速度2ran例例解解求求(1)(1)飞轮的角速度和角加速度；飞轮的角速度和角加速度；(2)(2)距转轴距转轴r r处的质点的切向加速度和法向加速度。处的质点的切向加速度和法向加速度。t 2020r2022400rt 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第
8、一篇 力学基础力学基础电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度 0=0，经，经150s其转速达到其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度，已知转子的角加速度 与时间与时间t的平的平方成正比。方成正比。根据题意，设根据题意，设 2kt （k为比例常量）为比例常量）由角加速度的定义，有由角加速度的定义，有2ddktt分离变量并积分，有分离变量并积分，有dtktt020d在这段时间内，转子转过的圈数。在这段时间内，转子转过的圈数。例例解解求求t 时刻转子的角速度为时刻转子的角速度为331kt当当t=150s，转子的角速度为，转子的角速度为1-1-srad
9、400srad60120002则有则有33tk4-34-3srad10srad1504003 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础4-34-33srad10srad15040033tk由此得由此得 331031t 由角速度的定义由角速度的定义 ，得转子在，得转子在150s内转过的角度为内转过的角度为t ddtt d1031331500rad105.16872因而转子在这一段时间内转过的圈数为因而转子在这一段时间内转过的圈数为2Nr10268r2105.168722 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3
10、.3 3.3 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律质 点的运动定律或刚体平动F F =m m a a惯性质量惯性质量合外力合外力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.3.13.3.1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩frMz Z2frPO转动平面转动平面1ff(2)(2)ZfrPdOzM转动平面转动平面(1)(1)sinfrMz 方向如图方向如图21fff 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学
11、基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础对对 m mi i用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：F Fi isinsin i i+f+fi isinsin i i=m mi ia aitit外力矩外力矩内力矩内力矩3.3.23.3.2、刚体绕定轴转动定律、刚体绕定轴转动定律iiiiamfF 两边乘以两边乘以r ri ia aitit=r=ri i 2sinsiniiiiiiiirmrfrF z zO Or ri if fi iF Fi i m mi i i i i i 第第3 3章章
12、 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础O O刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM外力矩外力矩内力矩内力矩 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 一对内力的力一对内力的力矩之和为零矩之和为零 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和：一对内力的力矩之和为零，所以有一对内力的力矩之和为零，所以有只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关Fi sin
13、i+fi sin i=(mi ri2)irir Fi sin i =（mi ri2）ir 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础令令J J m mi i r ri i2 2 J J为刚体对于定转轴的为刚体对于定转轴的转动惯量转动惯量则有则有 JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。用用 表示表示合外力矩合外力矩M 第第3 3章章 刚体
14、力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础讨论：讨论：转动惯量转动惯量是刚体是刚体 2 2.M 的符号：使刚体向规定的转动正方的符号：使刚体向规定的转动正方 向加速的力矩为正。向加速的力矩为正。转动惯性大小的量度。转动惯性大小的量度。1.1.M 一定，一定，J3 3、M 和和 J 要相对同一转轴。要相对同一转轴。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.3.3 3.3.3、转动惯量、转动惯量定义：定义：（质量离散分布）（质量离散分布）iiirmJ2dmrJ 2若质量连续分布若质量连续分布dldm dsdm dVdm 质量为线分布质
15、量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布体分布体分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础刚体的转动惯量与下列因素有关：刚体的转动惯量与下列因素有关：（1 1）与刚体的体密度）与刚体的体密度 有关。有关。（2 2）与刚体的几何形状）与刚体的几何形状(即体密度即体密度 的分布的分布)有关。有关。（3 3）与转轴的位置有关。）与转轴的位置有关。单位单位 2mkgdmrJ2注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有
16、对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例1 1、求质量为、求质量为m m、半径为、半径为R R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）薄圆筒（不计厚度）结果相同。结果相同。R RO Odmdm 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例2 2、
17、求质量为、求质量为m m、半径为、半径为R R、厚为、厚为l l 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例3 3、求长为、求长为L L、质量为、质量为m m的均匀细棒对图中
18、不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dm=dxdx122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例4.4.匀质实心球对心轴的匀质实心球对心轴的I I可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础另解另解dmrdJ221，sinRr，22
19、33(sin)(cos)sindmdVr dyRd RRd 550521(sin)282155JRdRmRROryz 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础*平行轴定理：平行轴定理：以以J JC C表示相对通过表示相对通过质心质心的轴的转动惯的轴的转动惯量，若有任一轴与过质心的轴量，若有任一轴与过质心的轴平行平行，相距为，相距为d d，刚体对，刚体对其转动惯量为其转动惯量为J J，这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。则有：则有：J JJ JC Cmdmd2 2。*叠加原理：叠加原理：对某一转轴的总转动惯量各部分物对某一转轴的总转动惯量各部分
20、物体对同一轴的转动惯量之和体对同一轴的转动惯量之和J=JA+JB+JCdC CO Om 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 例例4 4、右图所示刚体对经右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？动惯量如何计算？(棒长为棒长为L L、圆半径为圆半径为R R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOm 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I=(a +b
21、)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I=m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I=2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I=(R1 +R2 )22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI=R +22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I=2m R3 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.3.4 3.3.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用l已知转动运动方程已知转动运动方程=(t t)，求刚体所受合外力矩，求刚体所受合外力矩M M；l已知刚体所受合外力矩已知刚体所受合外力矩 M M 及初始条件，求刚体的角加速及初始条件，求刚体的角加速度度
22、 、角速度、角速度和转动运动方程。和转动运动方程。u 刚体动力学的两类问题刚体动力学的两类问题l 对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；列出定轴转动定律方程；l 注意利用角量与线量的关系。注意利用角量与线量的关系。u 应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路l 要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；l 除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分 析时，对刚体要找准
23、力的作用点，以便求力矩；析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例5 5:已知光滑桌面已知光滑桌面,滑轮半径滑轮半径R,R,质量为质量为M Mc c,两物体两物体质量分别为质量分别为m m1 1 m m2 2 ,求两物体的加速度和绳的张力求两物体的加速度和绳的张力.m m2 2m m1 1解解:gmmmmTgmmma2121211答案正确答案正确?只有只有m mc c=0=0时，才成立时，才成立 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础解解 (1)(1)用隔离法分用隔
24、离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2F T1FCPCF 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础amFAT1amFgmBT2B JRFRF T1T2 Ra yOT2FBPBmT2F T1FCPCFAPOxT1FNFAm 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学
25、物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础如令如令 ，可得，可得0Cm2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmFgmmmmTgmmma2121211 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例6 6、一个质量为、半径为、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度体由静止下落高度时的速度和此
26、时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。mg 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础解：解：RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 mggMmma2 解方程得：242Mmmghahv MmmghRRv 241 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例7 7、一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为60kg60kg，半径为，半径为0.25m,0.25m,正在正在以每分以每分10001000转的转速转动。转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在现在要制动飞轮，要求在5.05.0秒内使它均匀减速而最秒内使它均匀
27、减速而最后停下来。求闸瓦对轮子后停下来。求闸瓦对轮子的压力的压力N N为多大？为多大？=0.4=0.40N N 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN 0Nfr 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例8、一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其的均匀
28、细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。XOmgm 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 cosmglM21 lgmlmglJM2331212 coscos mgCXOxcgmlM21方向为：方向为：解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O O的力矩。重的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质
29、心所产生重力集中作用在质心所产生的力矩一样的力矩一样 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgl cos21 0021dJdmgl cos22121 Jmgl sinlgJmgl sinsin3 dJMd 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例9.9.一半径为一半径为R R，质量为，质量为m m的均匀圆盘平放在粗糙的水的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为平面上。若它的初速度为 o o，绕中，绕中o o心旋转，问经过多心旋转，问
30、经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）or解：rdmgrdFdM2222RmrdrdrrRmdm222RdrgrmdMmgRRdrmgrdMMr322022drR 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础dtdJMdtdmRmgR2213200043dgRdttdg4R3dtgRt430 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.4 3.4 刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系2k21iiimEv3.4.1 3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动
31、动能2221iirmiiirmE22k21iiirm222zirOim iP2k21JE 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础 讨论讨论 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础drsinFrd)2cos(FrdFAdsinFrM 力矩：力矩：dMAd 力矩对刚体所作的功：力矩对刚体所作的功：odMAMt ddMt dAdN功率：功率：力矩对刚体的瞬时力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角功率等于力矩和角速度的乘积。速度的乘积。现在讨论现在讨论力矩对空间的积累效应力矩对空间的积累效应3.4.2 3.4.2 力矩的
32、功力矩的功zOdPFrrd 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.4.33.4.3、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。21222121 JJ 21 dJ ddtdJ 21 21 Md1K2KEEA 上式即为：上式即为：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。的功等于刚体的转动动能的增量。定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础
33、大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础1dr2dr2m1m1F2FO1r2r2211dddrFrFA内2212ddrFrF)d(d122rrF)d(122rrF0 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.4.43.4.4、刚体的重力势能、刚体的重力势能h hh hi ih hc cx xO Om mC C m m一个质元：一个质元：iighm iiiPhgmE 重ciiimghhmg )(整个刚体：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。质量都集中在质心时所具有的
34、势能。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.4.5 3.4.5 含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能恒量pkEEEC221mghJE 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例、一个质量为、半径为的定、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角
35、速度。的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 上次的例题另解如下：上次的例题另解如下：第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础本题可以有几种不同的解法。本题可以有几种不同的解法。如图，一质量为如图，一质量为m m，长度为，长度为l l的均质细杆，可绕通过其一端的均质细杆，可绕通过其一端O O且与且与杆垂直的光滑水平轴转动。若将此杆在水平位置时由静止释放。杆垂直的光滑水平轴转动。若将此杆在水平位置时由静止释放。例例解解求求当杆转到与水平方向成角当杆转到与水平方向成角=/
36、6=/6 时的角速度。时的角速度。(1)(1)应用刚体绕定轴转动定律求解应用刚体绕定轴转动定律求解 。根据转动定律，有根据转动定律，有 )31(cos22mllmgtlgdd3cos2tlgdddd3cos2变量代换变量代换 dd3llOmgmC 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础00dcos23dlg由此得由此得sin3lg即当即当 时时 6lg23(2)应用刚体绕定轴转动的动能定理求解应用刚体绕定轴转动的动能定理求解 只有重力矩在作功，根据动能定理，有只有重力矩在作功，根据动能定理，有0dcos2lmg分离变量后两边积分，有分离变量后两边积分
37、，有2261sin2mllmg由此得由此得sin3lg0212J lOmgmC 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础(3)应用系统机械能守恒定律求解应用系统机械能守恒定律求解 摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒。摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒。0sin2212lmgJ取细杆的水平位置为重力势能零点取细杆的水平位置为重力势能零点则有则有由此解得由此解得sin3lg即当即当 时时 6lg23 lOmgmC 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.5 3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定
38、律刚体的角动量定理与角动量守恒定律 3.5.1 3.5.1、刚体绕定轴转动的角动量定理、刚体绕定轴转动的角动量定理1 1、刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动的角动量的角动量质元对点的角动量为质元对点的角动量为 iiiimRLviiiiRmLv沿转轴沿转轴OzOz的投影为的投影为iL)2cos(iizLLsinRmiiiviiirm v2iirmizLziLOxyiriRivim 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础i2iiiizizmrvmrL所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：J)rm(LLi2iiiizJL l 角动量角动量 L L=
39、J J 与质点动量与质点动量 p p=mv mv 相对应。相对应。把刚体看作非常多质元构成的把刚体看作非常多质元构成的质点系。刚体上所有质元对固质点系。刚体上所有质元对固定轴的角动量的方向相同。定轴的角动量的方向相同。ziLOxyiriRivim 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础2 2、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理dtdJJM 转动定律转动定律dtLddtJdM )(LddtM 0tt00 JJLddtMLL 冲量矩（角冲量）冲量矩（角冲量）表示合外力矩在表示合外力矩在t t0 0t t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。0tt00 J
40、JLddtMLL 现在讨论力矩对时间的积累效应现在讨论力矩对时间的积累效应 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。角动量定理角动量定理单位：单位：牛顿牛顿米米秒秒0tt00 JJLddtMLL J J改变时改变时00ttJJdtM21 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.5.23.5.2、角动量守恒定律、角动量守恒定律)(0.,0 CJLLMdtLdM即常量则中，若在 M M=0=0 的原因，可能的原因，可能F F0 0；
41、r r=0;=0;Fr.Fr.在定轴转在定轴转动中还有动中还有M0M0，但它与轴垂直，即但它与轴垂直，即M Mz z=0,=0,对定轴转动对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。当物体所受的合外力矩为零时，物体的角当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。动量保持不变。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础应用角动量守恒定律的两种情况：应用角动量守恒定律的两种情况：1 1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。00,JJ0M则则时时，当当2 2、转动惯量可变的物体。、转动惯
42、量可变的物体。保持不变保持不变而而就增大，就增大，减小时，减小时，当当就减小，就减小，增大时，增大时，当当JJJ 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础花样滑冰运动员通过改变身体姿态（转动花样滑冰运动员通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速惯量）来改变转速l 角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用于天体运动和微观粒子的运动。样适用于天体运动和微观粒子的运动。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B
43、）第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产因而产生了季节变化生了季节变化.北北南南北北南南角动量守恒的现象角动量守恒的现象:第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩运动规律运动规律转动定律转动定律动量动量动量动量角动量角动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理质点的运动规律与刚体
44、的定轴转动规律的比较质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较trddvt dd22ddddtrtav22ddddttmmrJd2FMamFJM vmp JL prLivimptmFd)d(vtJMd)d(第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定理动能定理动能定理动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）质点的运动规律与刚体的定轴转
45、动规律的比较（续）时0iFbaabrFAd221kvmE mghE p时非保内外0 AA 恒量iimv时0M 恒量J21dMAab221kJE 21212221vvmmA21212221JJACmghE p恒量pkEE时非保内外0 AA恒量pkEE 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础3.5.3 3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用l陀螺仪：陀螺仪：能够绕其对称轴高速能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。旋转的厚重的对称刚体。l陀螺仪的特点：陀螺仪的特点：具有轴对称性和具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯
46、量。绕对称轴有较大的转动惯量。l陀螺仪的定向特性：由于不受外陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。轴在空间的取向发生变化。第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础u 直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动
47、量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。系统的总角动量仍然为零。第第3 3章章 刚体力
48、学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础J J1 11 1J J2 22 2J JJ J=+1 12 2)(解：由角动量守恒得：解：由角动量守恒得：J JJ JJ J=+1 12 22 21 11 1J J2 21 12 22 2J JJ J1 1 例例1 1 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角两摩擦轮对接。若对接前两轮的角1 12 2、速度速度速度分别为速度分别为求：对接后共同的角求：对接后共同的角 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例2 2、如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射的子弹以水平速度射入一静止悬于
49、顶端长棒的下端入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角速度求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l,质量为质量为M.解解:子弹与棒碰撞前后角动量守恒子弹与棒碰撞前后角动量守恒Jmvllmv0231MlJ MlmvMlvmlmlv4931410200v0vmM 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础10 例例3 3 质量分别为质量分别为M1、M2,半径分别为半径分别为R1、R2的两均匀圆盘的两均匀圆盘,可分别绕通过盘心且与可分别绕通过盘心且与盘面垂直的轴转动。开始时下盘转动，上盘面垂直的轴转动。
50、开始时下盘转动，上盘静止。后上盘落倒下盘上且与下盘一起盘静止。后上盘落倒下盘上且与下盘一起转动。求两盘共同的角速度。转动。求两盘共同的角速度。解解由角动量守恒有：由角动量守恒有：)(21101JJJ )/(21101JJJ 2222211121,21RMJRMJ 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础大学物理学A第一篇第一篇 力学基础力学基础例例4 4 质量分别为质量分别为M M1 1、M M2 2,半半径分别为径分别为R R1 1、R R2 2 的两均匀的两均匀圆柱圆柱,可分别绕它们本身的可分别绕它们本身的轴转动轴转动,二轴平行。原来它二轴平行。原来它们沿同一转向分别以们沿同一转向分别以
