1、圆（第二部分）20192020 学案 第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算【课标要求】【课标要求】1.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线；系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线；2.知道三角形的内心知道三角形的内心思维导图思维导图三角形的内切圆切线的性质及判定与切线有关的证明与计算与圆有关的尺规作图1.性质3.切线长定理2.判定方法第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算面对面面对面“过过”考点考点切线的性质及判定切线的性质及判定考
2、点考点11.性质性质圆的切线圆的切线_于过切点的半径；于过切点的半径；2.判定方法判定方法(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义定义)；(2)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；(3)若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，证相等的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，
3、证相等垂直垂直返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算3.*切线长定理切线长定理(2011课标选学课标选学)从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角线平分两条切线的夹角返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算1.如图，如图，AB为为O的直径，的直径，CD与与O相切于点相切于点C，交，交AB的延长线于点的延长线于点D，且，且COCD，则，则A的度数为的度数为()A.20 B.22.5 C.25 D.27.5
4、提分必练提分必练第1题图B返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算2.如图，线段如图，线段AB与与O相切于点相切于点B，线段，线段AO与与O相交于点相交于点C，AB12，AC8，则，则O的半径为的半径为_第2题图5返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算三角形的内切圆三角形的内切圆考点考点2名称名称内切圆内切圆图形图形 圆心圆心三角形的内心三角形的内心圆心位置圆心位置三角形三条三角形三条_的交点的交点性质性质三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等作图步骤作图步骤见基本尺规作图见基本
5、尺规作图3角平分线角平分线返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算与圆有关的尺规作图与圆有关的尺规作图考点考点31.过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段(作图方法见作图方法见P 80页基本尺规作图页基本尺规作图5)；2.作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线(作图方法见作图方法见P 80页基本尺规作图页基本尺规作图4)返回思维导图返回思维导图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算命题点命题点1山西山西5年
6、真题、模拟题面对面年真题、模拟题面对面与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算(必考必考)1.(2019太原一模太原一模3分分)如图，过如图，过O上一点上一点A作作O的切线，交直径的切线，交直径BC的延长线于的延长线于点点D，连接，连接AB，若，若B25，则，则D的度数为的度数为()A.25 B.40 C.45 D.50第1题图 B第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算2.(2018山西山西15题题3分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8，点点D是是AB的中点，以的中点，以CD为直径作为直径作O，O分别与分别与AC，BC交于点交于点E，F，过
7、点，过点F作作O的切线的切线FG，交，交AB于点于点G，则，则FG的长为的长为_第2题图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算3.(2019太原二模太原二模6分分)已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是是O的内接矩形，的内接矩形，AB4，BC3，点，点E是劣弧是劣弧 上的一点，连接上的一点，连接AE，DE.过点过点C作作O的切线交线段的切线交线段AE的延长线于点的延长线于点F.若若CDE30，求，求CF的长的长第3题图CD第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算第3题解图解：如解图，连接解：如解图，连接AC.四边形四边形ABCD是是O的内接矩形，的
8、内接矩形，ABC90.(1分分)AC是是O的直径的直径(2分分)在在RtABC中，中，根据勾股定理得根据勾股定理得AC 5.(3分分)CF与与O相切于点相切于点C，ACCF，即，即ACF90.(4分分)CDE30，CAECDE30.(5分分)在在RtACF中，中，tanCAF ，CFCAtan30 .(6分分)第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算4.(2017山西山西21题题7分分)如图，如图，ABC内接于内接于O，且，且AB为为O的直径的直径ODAB，与与AC交于点交于点E，与过点，与过点C的的O的切线交于点的切线交于点D.(1)若若AC4，BC2，求，求OE的长；的长
9、；(2)试判断试判断A与与CDE的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由第4题图第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算解：解：(1)AB为为O的直径，的直径，ACB90，在在RtABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得AB ，AO AB 2 ，ODAB，AOEACB90，又又AA，AOEACB，CB(OE)AC(AO)，OEAC(CBAO)；(3分分)121255第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算(2)解：在解：在RtOAP中，中，OPA30，PO2OAODPD.(6分分)又又OAOD，PDOA.(7分分)PD ，2OA2PD2 .(8分分)O的直
10、径为的直径为2 .(9分分)555第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算【提分要点提分要点】与切线有关的证明与计算中，若题中已知切线，则连接圆心与切点，构造直角与切线有关的证明与计算中，若题中已知切线，则连接圆心与切点，构造直角三角形三角形(1)求角度或证明角相等求角度或证明角相等(含证平行含证平行)：常用到的方法：常用到的方法：根据圆周角定理求解；根据圆周角定理求解；根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于90进行角度转化求解进行角度转化求解(2)求锐角三角函数值：常包含两种情况：求锐角三角函数值：常包含两种情况：连切点后，
11、所求角为直角三角形中的锐角，根据边角关系直接求解；连切点后，所求角为直角三角形中的锐角，根据边角关系直接求解；若所求角不在已知的直角三角形中，则将所求角根据同弧若所求角不在已知的直角三角形中，则将所求角根据同弧(等弧等弧)所对的圆周所对的圆周角转化到直角三角形中求解角转化到直角三角形中求解第二节第二节 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算(3)求线段长度：在圆中求线段长一般有四种方法：求线段长度：在圆中求线段长一般有四种方法：当解决有关切线的问题时，一定会存在直角三角形，故运用勾股定理是求当解决有关切线的问题时，一定会存在直角三角形，故运用勾股定理是求长度最常用的方法；另外注意，直径所
12、对的圆周角是直角也是构造直角三角长度最常用的方法；另外注意，直径所对的圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法；形的常用方法；利用直角三角形的边角关系求解在圆的综合题中，当含有直角三角形或利用直角三角形的边角关系求解在圆的综合题中，当含有直角三角形或已知条件为三角函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关线段已知条件为三角函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关线段长有时，需运用同弧所对圆周角相等进行角之间的转化求解；长有时，需运用同弧所对圆周角相等进行角之间的转化求解；利用相似三角形求解圆的综合题中往往会涉及到切线的性质与圆周角定利用相似三角形求解圆的综合题中往往会涉及到切线的性质与圆周角定理推论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三理推论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三角形相似是解题关键，另外，对圆周角定理的灵活运用也非常重要；角形相似是解题关键，另外，对圆周角定理的灵活运用也非常重要；运用等面积公式求解，也可求解点到直线距离类题运用等面积公式求解，也可求解点到直线距离类题
