1、知识点名称：定积分的概念 1“数学来源于现实，并且用于现实。”-著名数学教育家 H.弗洛登塔尔2定积分的思想定积分的思想定积分的定义定积分的定义小结小结定定 积积 分分 的的 概概 念念高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念3引引 入入高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念4ab)(xfy Oxy?A实际问题实际问题 1.1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积.曲边梯形曲边梯形和和三条直线三条直线、0 yax 以及以及所围成所围成.高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念是由是由一条一条连续连续曲线曲线5探探 究究Oxy)(xfy 未知未知/复杂情形
2、复杂情形已知已知/简单情形简单情形特特殊殊化化高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念6Oxy)(xfy ab探探 究究如何减小误差？如何减小误差？未知未知/复杂情形复杂情形已知已知/简单情形简单情形还还原原高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念7探探 究究曲线和水平直线的区别？曲线和水平直线的区别？高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念8Oxy9Oxyabb 探探 究究现象现象：底边越小底边越小，矩形面积，矩形面积越接近越接近曲边曲边 梯形面积梯形面积.如何减小误差？如何减小误差？Oxya高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念ab
3、)(xfy Step1 Step1 大化小大化小aOxyix1x1 ix1 nx步步 骤骤1x,b2x 1nx0 x nx，),1(,1nixxii 探探 究究高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念在在 a,b 之间任意之间任意插入插入 n-1个个分点分点把区间把区间a,b分成分成 n 个小区间个小区间记区间记区间 的的长长度度为为,1iixx ix 10(分割分割)ix).,1(1nixxii ab)(xfy 上上,1iixx Step2 Step2 直代曲直代曲1,iiiAxx表 示上 对 应的 小 曲 边 梯 形 的 面 积Oxyix1x1 ix1 nx，以，以任取一点任
4、取一点i i iA 为底为底为高，为高，,)(1iiixxf iiixfA )(，小小矩矩形形面面积积近近似似代代替替iA 探探 究究.,2,1ni，步步 骤骤高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念在每个小区间在每个小区间即即11(取近似取近似)ix1x1 ix1 nxab)(xfy 小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，即小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，即探探 究究Step3 Step3 求和式求和式 A高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念Oxy步步 骤骤i 12.1iniA iiixfA )(.)(iixf ab)(xfy Oxy 如何简化？如何
5、简化？0max1 inixiniixfA )(1 探探 究究现象现象：底边越小底边越小，矩形面积，矩形面积越接近越接近曲边曲边 梯形面积梯形面积.高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念如何求出如何求出 A 的精确值？的精确值？nixi,1,0 13=nixi,10lim 趋近于零时，曲边梯形的面积为趋近于零时，曲边梯形的面积为当分割无限加细时当分割无限加细时,即小区间的最大长度即小区间的最大长度,max21nxxx .)(lim10iniixfA 探探 究究高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念步步 骤骤Step4 Step4 求极限求极限14ix1x1 ix1
6、 nxab)(xfy 总总 结结 高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念Oxyi 求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的思想思想：“分割分割、取近似取近似、求和求和、取极限取极限”是一个是一个“化整为零化整为零，积零为整积零为整”的过程。的过程。15实际问题实际问题 2 2（求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）类类 比比高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度0)(tvv是时间是时间 t 的一个的一个连续函数连续函数.21,TT内所经过的路程内所经过的路程.变速直线运动变速直线运动特特殊殊化化匀速直线运动
7、匀速直线运动还还 原原思路思路：16求物体在时间间隔求物体在时间间隔“分割分割、取近似取近似、求和求和、取极限取极限”212101TtttttTnn ,)(iiitvs 某时刻的速度某时刻的速度iinitvs )(1),max(21nttt iniitvs )(lim10 ,1iiitt 类类 比比),1(1nitttiii ni,1 ，高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念Step1 Step1 大化小大化小Step2 Step2 匀代变匀代变Step3 Step3 求和式求和式Step4 Step4 取极限取极限步步 骤骤17iniitvs )(lim10 iniixfA
8、)(lim10 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程：1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积：上述两个问题的上述两个问题的共性共性:解决问题的解决问题的思想思想相同相同 :“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”所求量的所求量的数学模型数学模型相同相同:特殊和式的极限特殊和式的极限-定积分思想定积分思想总总 结结高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念-定积分定积分18bxxxxxann 1210,1iiixx 时时0max1 inix.)(iixf badxxf)(，即，即iniibaxfdxxf )(lim)(10 ，1 iiixxx那么称极限那么称极限 I 为函数为
9、函数 f(x)ni 1高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念设函数设函数 f(x)在在a,b上上有界有界，若对若对a,b的的任一种分法任一种分法定义：定义：任取任取并作乘积并作乘积得和式得和式如果当如果当总有总有,)(1Ixfiini 在在a,b上的上的定积分定积分，记为，记为19这里记这里记iniixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分和积分和iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量a,b积分区间积分区间积分号积分号高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念20dttvsTT 21)(badxxfA)(2.变速直线运动的路程：变速直线运动的路程：1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积：高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念212 2定积分的定义：定积分的定义：1 1定积分的思想：定积分的思想：“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”高等数学高等数学 5.15.1定积分的概念定积分的概念22iniibaxfdxxf )(lim)(10
