1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.6微积分基本定理微积分基本定理第一课时 1.6微积分基本定理微积分基本定理学习目标学习目标v1能说出微积分基本定理。v2能运用微积分基本定理计算简单的定积分。v3能掌握微积分基本定理的应用。v4会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。教学重、难点教学重、难点v重点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。v难点难点 微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。复习引入复习引入1.如何确定曲线上一点处切线的斜率 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积 xy0 xy0 xy
2、o直线几条线段连成的折线曲线？复习引入复习引入3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以直代曲作和逼近复习引入复习引入4.求由连续曲线 对应的曲边梯形面积的方法分割：在区间 上等间隔地插入 个点，将它等分成 个小区间：每个小区间宽度以直代曲：任取 ，第 个小曲边梯形的面积用高为 ，宽为 的小矩形面积 近似地去代替。()yf x,a b1nn 11211,iina xx xxxxbbaxn 1,iiixxi()ifx()ifx复习引入复习引入作和：取 个小矩形面积的和作为曲边梯形面积 的近似值：逼近：所求曲边梯形的面积 为：nS1()niiSfxS10,(),()niixfxS n
3、知识点：微积分基本定理知识点：微积分基本定理 如果 是在区间 上的连续函数，并且 ，则 记：则：是 的导函数，是 的原函数 ()if()()F xf x()()()baf x dx F bF a()()()baF bF aF x,a b()()()()bbaaf x dxF xF bF a()f x()F x()F x()f x例题讲解：例题讲解：例例1：计算下列定积分 211(1)dxx31(2)2xdx解析：解析：利用公式利用公式解题过程：解题过程：(1)(2)1ln xx22111lnln 2ln1ln 2dxxx()()|()()bbaaf x dxF xF bF a32 322112
4、31xdxx知识探究知识探究（1）微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意 的原函数是（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。（3）定积分的值可以是任意实数。1yx()yIn x例题讲解：例题讲解：例例2：计算定积分 322113 xdxx解析：解析：利用公式利用公式首先求出被积函数的原函数。首先求出被积函数的原函数。解题过程：解题过程：原式原式=()()|()()bbaaf x dxF xF bF a 322113,xxxx 3333222211111133x dxdxx dxdxxx3 33331111 17631
5、3 13xx知识点：分段函数与复合函数知识点：分段函数与复合函数（1）当被积函数是分段函数或绝对值函数时，该如何处理呢？（2）当被积函数是复合函数 与 应如何积分？2sinyx2cosyx例题讲解：例题讲解：例例3：计算下列定积分（1）（2）（3）523xdx220sin xdx1220 xe dx解题过程：解题过程：所以所以3,2,3)3,3,5(1)3x xxxx5353522323333(3)(3)xdxxdxxdxx dxxdx23252311(3)(3)22xxxx925996215922252解题过程：解题过程：222001cos2(2)sin2xxdxdx2011(sin 2)2
6、4xx1(sin)0444解题过程：解题过程：112222001(3)2xxe dxe1122e知识探究知识探究（1）在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间 上的积分分成败仗积分和的形式。分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可。,a b知识探究知识探究（2）当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来。例如：对于被积函数 ，其一个原函数应为 ，而其导数应为sin3yx1cos33yx 3cos3yx知识点：微积分基本定理的应用知识点：微积分基本定理的应用 解决定积分
7、中含参数的问题，要以积分为媒介结合积分的计算，列出方程组或函数关系式，然后通过解方程组或利用函数性质来解决。例题讲解：例题讲解：例例4：已知 ，且 求 的值。2()(0)f xaxbxc a10(1)2,(0)0,()2fff x dx,a b c解题过程：解题过程：解：由 ,得(1)2f 2abc()2f xaxb(0)0fb11200()()f x dxaxbxc dx221011()32axbxcx1132abc11232abc 2011232abcbabc 6,0,4abc 得课堂练习课堂练习v1.计算下列各定积分的值：计算下列各定积分的值：1.2.3.4.101dx10 xdx130
8、 x dx21nx dx12141541v2.计算下列各定积分的值：计算下列各定积分的值：5.6.7.8.20 xdx132(1)tdt0(cos)xxedx422t dx2741 e22t2高考真题高考真题v（2014陕西高考，理陕西高考，理3）定积分 的值为（）A.B.C.D.10(2)xxedx2e1ee1eA课堂小结课堂小结1.微积分基本定理：微积分基本定理：2.公式1:公式2:()()()baf x dxF bF a1lnlnlnbbaadxxbax11nbnbaaxx dxnv有关的数学名言有关的数学名言v数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
