1、数学 第 1 页（共 6 页） 2020 年北京市高考适应性测试 数 学 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 （1）在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为 （A）(1, 2) （B）( 1, 2) （C）(2, 1) （D）(2,1) （2）已知集合2Ax x=” 是“ n a 为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）
2、充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A，B，C，D，E五个等级某班共 有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示该班 学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另 外一科等级为B则该班 （A）物理化学等级都是B的学生至多有12人 （B）物理化学等级都是B的学生至少有5人 （C）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生 至多有18人 （D）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生 至少有1人 等级 科目 A B C D E 物理10 16 9 1 0 化学8 19 7 2 0
3、数学 第 3 页（共 6 页） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分。 （11）已知双曲线 2 2 2 1 x y a =(0)a 的一条渐近线方程为0xy+=，则a= （12）已知向量(1,)m=a，(2,1)=b，且ab，则m= （13）抛物线 2 4yx=上到其焦点的距离为1的点的个数为 （14）在ABC中，4a =，5b =，6c =，则cos A = ，ABC的面积为 （15）函数 ( )f x的定义域为 1,1) ，其图象如图所示函数 ( )g x是定义域为R的奇函数，满足 (2)( )0gxg x+= ，且当 (0,1)x 时， ( )( )g
4、xf x= 给出下列三个结论： ； 函数 ( )g x在( 1,5) 内有且仅有3个零点； 不等式() 0fx 的解集为 | 1 0xx ？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由 从 2q= ， 1 2 q =， 2q =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 P A B C N M D 数学 第 5 页（共 6 页） （18） （本小题14分） 为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需 要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况现 分别从A, B,C三块试验田中各
5、随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米） ： 假设所有植株的生长情况相互独立从A, B,C三组各随机选1株，A组选出的植株记为 甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙 （）求丙的高度小于15厘米的概率； （）求甲的高度大于乙的高度的概率； （）表格中所有数据的平均数记为 0 从A, B,C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植 物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位：厘米） 这3个新数据与表格中的所有数据构 成的新样本的平均数记为 1 ，试比较 0 和 1 的大小 （结论不要求证明） （19） （本小题15分） 已知函数 2 1 ( )e (1)e 2 xa f xxx
6、=，0a （）求曲线 ( )yf x= 在点(0, (0)f 处的切线方程； （）求函数( )f x的极小值； （）求函数( )f x的零点个数 组 组 组 A10111213141516 B12131415161718 C13141516171819 数学 第 6 页（共 6 页） （20） （本小题14分） 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A，(0,1)B，焦距为2 3 （）求椭圆C的方程； （） 已知直线ym=与椭圆C有两个不同的交点,M N， 设D为直线AN上一点， 且直线BD， BM的斜率的积为 1 4 证明：点D在x轴上 （21） （本小题14分） 设数阵 1112 0
7、2122 aa A aa = ， 其中 11122122 ,1,2,6aaaa ? 设 12 , 1,2,6 l Se ee=?， 其中 12l eee?，lN*且6l 定义变换 k 为 “对于数阵的每一行， 若其中有k或k， 则将这一行中每个数都乘以1；若其中没有k且没有k，则这一行中所有数均保持不变” （ 12 , l ke ee=?） 0 () S A表示“将 0 A经过 1 e 变换得到 1 A，再将 1 A经过 2 e 变换得到 2 A， ， 以此类推，最后将 1l A经过 l e 变换得到 l A” ，记数阵 l A中四个数的和为 0 () S T A （）若 0 1 2 1 5
8、A = ，写出 0 A经过 2 变换后得到的数阵 1 A； （）若 0 13 36 A = ， 1,3S = ，求 0 () S TA的值； （）对任意确定的一个数阵 0 A，证明： 0 () S T A的所有可能取值的和不超过4 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 1 2020 年北京市高考适应性测试 数学答案 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 1 10 0 题，每题题，每题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。一项。 1-5.BCCAA 6-10.DB
9、CAD 二、填空题共二、填空题共 5 5 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11.1 12.2 13.1 14. 3 4 ，15 7 4 . 15. （见视频解读) 15.解析. 因为函数( ) g x是定义域为 R 的奇函数，所以正确； 由()2( )0gxg x+=知函数( )yg x=的图像关于点()1,0成中心对称， 由此作出函数的图像如下，由图像知函数 ( )yg x= 在() 1,5 内有 5 个零点，故错误； 对于，方法一是利用与关于 y 轴对称，由图像知正确。 方法二是利用函数 ( )yf x= 的图像，直接解不等式01,10xx 即得。故而正 确。
10、注：15 题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他 得 3 分. 三、解答题共三、解答题共 6 6 题，共题，共 8585 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题 14 分） （）证明： 因为 M，N 分别为 AD，PD 的中点 所以PA MN P , 2 又因 PAMNC MNMNC 平面 平面 所以/ /PAMNC平面； （）由题意建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz。 设 AD=2，则 (0,0,4),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),C(0,2,0)PBMN
11、则(2,2, 4),( 1,0,2),( 1,2,0)PBMNMC= = uuu ruuuu ruuu u r 设平面 MNC 的法向量为=( , , )nx y z r ， 则 20 20 n MNxz n MCxy = += = += r uuuu r r uuu u r，令2,=1,=1xyz=则，即=(2,1,1)n r 设直线 PB 与平面 MNC 所成角为，则 4241 sin 66 2 6 n PB nPB + = r uuu r ruuu r 即直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值为 1 6 . 17.（本小题 14 分） 答案：当 2q = 时，存在， min 10k=
12、 。 当 1 2 q =时，不存在。 当 2q = 时，存在， min 11k= 。 理由分别如下。 当 2q = 时， 1 1 3,3 2n n aa = ， 3 3 2 3 23 1 2 n n n S = 。 由3 232020 k 得 1 2674 3 k ， 910 2512 , 21024kN+=Q， min 10k= 当 1 2 q =时， 1 1 1 48,48 2 n n aa = ， 1 4848 12 9696 1 2 1 2 n n n S = 。 3 由 1 96962020 2 k 得 4811 242 k ，不等式无解。此时不存在。 当 2q = 时，() 1 1
13、 3,32 n n aa = ， () () () 332 12 12 n n n S = 。 由()122020 k 得()22019 k ， ()()() 91011 2512 , 2102422048 kN+= = Q，,， min 11k= 18.（本小题 14 分） 解： （1）设“丙的高度小于 15 厘米”为事件 M 因为丙的高度小于 15 厘米的有 13 厘米、14 厘米的两株，所以 2 () 7 P M =. 即丙的高度小于 15 厘米的概率为 2 7 。 (2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件 N. 记 A 组 7 株植物依次分别为 1,234567 ,.A A A A A
14、A A B 组 7 株植物依次分别为 1,234567 ,.B B B B B B B 从 A 中选出甲，从 B 中选出乙共有7 749=种情况， 其中满足甲的高度大于乙的高度的有： 41515261626371727374 (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) .A BA BA BA BA BA BA BA BA BA B、 共 10 种. 所以 10 () 49 P N =. 即甲的高度大于乙的高度的概率为 10 49 (3) 01 . 19.19. （本小题 15 分） 解：(1) ( )f x定义域为：R ( )(1 +() xxaxa fxe
15、xee xx ee=） 4 (0)1f= Q 切点为(0, 1) (0)0 f =Q ( )yf x=在(0, 1)处的切线方程为：1y = . (2) 令( )0fx=，解得： 12 0,xxa=（0a ） x (, )a a ( ,0)a 0 (0,)+ ( )fx + 0 0 + ( )f x ( )f x在(, )a、(0,)+单调递增，在( ,0)a单调递减. ( )f x在0x =处取得极小值为(0)1f= . (3)由（2）知( )f x的极大值为 22 11 )(1)(1)0 22 aaa f ae ae aaa e= （,(0)a (0)10f= ， 2 )2 a fee=（
16、2， 0, 01, (2)0 a aef Q 函数( )f x的零点个数为 1. 20.（本小题 14 分） 解答： （）由题意知3c =， 222 , 1,4acbxabc=+=Q只能且焦点在 轴上， 所以椭圆 C 的方程为： 2 2 1 4 x y+=。 （）由题意可设 00 (,),(,)Mx m N x m ,11m 。则 22 0 4(1)xm=- 因为点 D 为直线 AN 上一点，所以 0 (,1)ADANx m= uuu ruuu r ， 所以()()0,11ODANOAxm=+=+ uuu ruuu ruuu r 5 所以 00 (1)211 4 BDBM mm KK xx +
17、 = 整理得 22 0 4 (1)8(1)mmx+= 将代入整理得() 1 (1) 10mm+= ， 10, (1) 10mm+ + =Q ，即 0 D y = 所以点 D 在x轴上。 21.（本小题 14 分） 设 数 阵 1112 0 2122 , a a A a a = 其 中 11122122 ,1,2,6aaaa ， 设 12 , 1,2,6, l Se ee= 其 中 * 12 ,6. l eee lNl且定义变换 k 为“对于数列的每一行，若其中有k或k ，则这一行 中所有数均保持不变” （） 120 (, ).() ls ke eeA= 表示“将 0 A经过 1 e 变换得到
18、1 A，再将 1 A经过 2 e 变换得到 2 A， , 以此类推，最后将 1l A经过 l e 变换得到 l A” ，记数阵 l A中四个数的和为 0 () s T A . （）若 0 1 1 A = 2 5 ，写出 0 A经过 2 变换后得到的数阵 1 A； （）若 0 1 3 A = 3 6 ，1,3,S =求 0 () s T A 的值； （）对任意确定的一个矩阵 0 A，证明： 0 () s T A 的所有可能取值的和不超过-4. 解（）经过 2变换1 1 1 A 2 5 （） 0 1 3 A 3 6 经过 1变换得到1 1 3 A 3 6 经过 3变换得到 3 1 3 A 3 6
19、6 所以 0 ()13( 3 + S TA）（-6)= -5 （）因为集合S共有含空集在内的子集64个，令 00 ()AA,对于第一行 11 a和 12 a 若 1112 aa， 则含 11 a的子集有 32 个， 这 32 个 l A中第一行为 11 a， 12 a； 不含有 11 a的子集有 32 个， 这 32 个 l A中第一行为 11 a， 12 a，所有 l A中第一行的和为0。 若 1112 aa，则含 11 a且 12 a的子集有 16 个，不含有 11 a且不含 12 a的子集有 16 个，这 32 个 l A中第一 行为 11 a，12a； 不含有 11 a含 12 a的子集有16 个， 含有 11 a不含 12 a的子集有16个， 这 32个 l A中第一行为 11 a， 12 a；所有 l A中第一行的和为0。 同理，所有 l A中第二行的和为0。即 0 ()0 USU TA 但是 00 ()AA，所以 0011122122 ()0()()4 SS TATAaaaa
