1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020高考模拟卷高三理科数学（七）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）AB
2、CD【答案】D2已知复数满足，为的共轭复数，则（ ）ABCD【答案】A3如图，当输出时，输入的可以是（ ）ABCD【答案】B4已知为锐角，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C5如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部内的概率为（ ）ABCD【答案】B6的展开式中，的系数为（ ）ABCD【答案】B7已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（ ）ABCD【答案】C8如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）ABCD【答案】D9已知数列的前项和
3、为，且满足，则（ ）ABCD【答案】A10已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的最大值是（ ）ABCD【答案】D11已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，若，则四边形的面积的最小值为（ ）ABCD【答案】C12已知，方程与的根分别为，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知，且向量，的夹角是，则_【答案】14已知实数，满足，则的最大值是_【答案】15已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为_【答案】16如图，在三棱锥中，平面，已知，则
4、当最大时，三棱锥的表面积为_【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知在中，分别为内角，的对边，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【解析】（1）由及正弦定理得，即，又，所以，又，所以（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以所以的面积为18如图，在直三棱柱中，点为的中点，点为上一动点（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值【解析】（1）存在点，且为的中点证明如下：如图，连接，点，分别为，的中点，所以为的一条中位线，又平面，平面，所以平面（2）设，则，由，得，解得由题意以点为坐标原点
5、，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，故，设为平面的一个法向量，则得令，得平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量为，故二面角的余弦值为故二面角的正弦值为19某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望【解析】（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐
6、超过站且不超过站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是（2）由题意可知的所有可能取值为：，因此的分布列如下：所以的数学期望20在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为（1）求直线的斜率；（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，求证：存在常数，使得【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，所以，所以，所以，所以椭圆的方程为直线的方程为，联立消去得，所以或，所以，从而得线段的中点所以直线的斜率为（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为联立得所以点Q
7、的坐标为所以，所以联立消去得，由已知得，又，得设，则，所以，故所以所以存在常数，使得21已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）证明：【解析】（1）由题易知，当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）的定义域为，要证，即证由（1）可知在上递减，在上递增，所以设，因为，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，而，所以请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值【解析】（1）把展开得，两边同乘得将，代入即得曲线的直角坐标方程为（2）将代入式，得，易知点的直角坐标为设这个方程的两个实数根分别为，则由参数的几何意义即得23选修4-5：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）当时，原不等式可化为若，则，即，解得；若，则原不等式等价于，不成立；若，则，解得综上所述，原不等式的解集为：（2）由不等式的性质可知，所以要使不等式恒成立，则，所以或，解得，所以实数的取值范围是5
