1、第9单元 空间中的位置关系与体积、表面积第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，为异面直线，直线，则与（ ）A一定异面B一定相交C不可能相交D不可能平行【答案】D【解析】若，因为直线，则可以得到，这与，为异面直线矛盾，故与不可能平行，选项D正确，不妨设，为正方体中的棱，即为棱，为棱，由图可知，而此时与相交，故选项A错误，选项C也错误，当取时，与异面，故选项B错误，故选D2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）ABCD【答案】B【解析】通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选B3在正方体中，与所成
2、角的余弦值是（ ）ABCD【答案】C【解析】如图：因为正方体中与平行，所以即为与所成角，设正方体棱长为，则，在中，故选C4下列说法错误的是（ ）A垂直于同一个平面的两条直线平行B若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面
3、内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D5设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】若，则有可能在面内，故A错误；若，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误；若，则由直线与平面平行的性质知，故D正确，故选D6若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A240B264C274D282【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，所以
4、表面积故选B项7已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B8已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，所以在中，即球的半径为，所以球的体积为，故选D9在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面
5、为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，到面的距离为6，则这个“羡除”体积是（ ）A96B72C64D58【答案】C【解析】如图所示，多面体切割为两个三棱锥EAGD，FHBC和一个直三棱柱GADHBC，因为，且到平面的距离为6，所以这个“羡除”体积为故选C10如图，平面四边形中，是，中点，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）A平面B异面直线与所成的角为C异面直线与所成的角为D直线与平面所成的角为【答案】C【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：
6、取边中点，连接，则，所以为异面直线与所成角，又，即，故C错误；D选项：因为平面平面，连接，则，所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，又，sin，D正确，故选C11如图，在三棱柱中，底面，ACB=90，为上的动点，则的最小值为（ ）ABC5D【答案】C【解析】由题设知为等腰直角三角形，又平面，故=90，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知，由余弦定理得12体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，则球体积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为PA平面ABC，三棱锥PABC的体积为，得，另一方面，可得，由余弦定理得，当且仅当时，
7、等号成立，则，所以，ABC的外接圆的直径的最小值为，则球O的半径的最小值为，因此球O的体积的最小值为故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为，则的值为_【答案】【解析】设圆柱的底面圆的半径为，则高为，则圆锥母线长为，所以，所以，故填14圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm【答案】4【解析】设球半径为r，则由，可得，解得15设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_（1）若，则；（2）若，
8、则；（3）若，且，则；（4）若，则，【答案】（3）（4）【解析】若，则与可能平行，相交或异面，故（1）错误；若，则或，故（2）错误；若且，则，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得，故（4）正确，故答案为（3）（4）16已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆与圆的公共弦的长为，点是弦的中点，则四边形的面积为_【答案】2【解析】圆与圆为该球的两个小圆半径相等，且所在平面互相垂直，可得四边形OABC为正方形，设正方形的边长为x，小圆的半径为r，在中可得，在中可得，即，解得，故四边形的面积为，故答案为2三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤17（10分）如图，在直三棱柱中，是棱的中点（1）求证：；（2）求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）连接AC1，设AC1A1CO，连接OD，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以O为AC1的中点，又因为D是棱AB的中点，所以ODBC1，又因为BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为ACAA1，所以平行四边形ACC1A1是菱形，所以AC1A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，因为AB平面ABC，所以ABAA1，又因为ABAC，ACAA1A，AC
10、平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以AB平面ACC1A1，因为A1C平面ACC1A1，所以ABA1C，又因为AC1A1C，ABAC1A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以A1C平面ABC1，因为BC1平面ABC1，所以BC1A1C18（12分）如图，在四棱锥的底面为矩形，点在底面的射影落在上（1）求证：平面平面；（2）若分别是的中点，且，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）依题意，平面，又平面，所以又，所以平面又平面，所以平面平面（2）因为平面，是的中点，所以是等腰三角形，又，所以因为是的中点，所以到平面的距离等于点到平面距离的一半，连接，所以19（12分
11、）已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（2）求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）如图所示：取BC和BD的中点H、G，连接HG，HG为所求直线，证明如下：因为BC和BD的中点H、G，所以，又平面平面，且，平面BCD，又平面平面，得，所以，即，所以，所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行（2）由（1）可得，即平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，记为，三角形ABC的面积，而三角形ACE的面积，用等体积法，可得，20
12、（12分）如图所示，三棱柱中，平面（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：平面，平面，又平面，平面平面（2）取的中点，连接，又平面平面，且交线为，则平面平面，四边形为菱形，又，是边长为正三角形，面，面，面，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为21（12分）已知三棱柱的底面是等边三角形，侧面底面，是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比【答案】（1）见证明；（2）1：1【解析】（1）取的中点，连接与交于点，连接，则为的中点，且，所以是平行四边形又是棱的中点，所以侧面底面，且，所以平面所以平面，又平面，所以平面平面（2）连接，设三棱柱的体积为故四棱锥的体积，又是棱的中点，的面积是面积的，故四棱锥的体积，故平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比为1:122（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，设点为中点，点为中点，点为上一点，且（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的表面积【答案】（1）见证明；（2）4【解析】（1）连接交于点，连接，点为中点，点为中点，点为的重心，又平面，平面，平面（2）因为，所以全等于，所以，在中，则边上的高为，所以，7
