1、专题16 压轴：一次函数综合典例1 （2018秋太仓市期末）如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC45，OCOA=12（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积（3）求EF所在的直线的函数解析式【答案】见解析【解析】解：（1）OCOA=12，可设OCx，则OA2x，在RtAOC中，由勾股定理可得OC2+OA2AC2，x2+（2x）2（45）2，解得x4（x4舍去），OC4，OA8，A（8，0），C（0，4），设直线AC解析式为ykx+b，8k+b=0b=
2、4，解得k=-12b=4，直线AC解析式为y=-12x+4；（2）由折叠的性质可知AECE，设AECEy，则OE8y，在RtOCE中，由勾股定理可得OE2+OC2CE2，（8y）2+42y2，解得y5，AECE5，AEFCEF，CFEAEF，CFECEF，CECF5，SCEF=12CFOC=125410，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知OE3，CF5，E（3，0），F（5，4），设直线EF的解析式为ykx+b，解得k=2b=-6，直线EF的解析式为y2x6【点睛】（1）设OCx，由条件可得OA2x，在RtOAC中，由勾股定理可列方程，则可求得OC的长，可得出A、C的坐标，利用待定系数
3、法可求得直线AC的解析式；（2）可设AECEy，则有OE8x，在RtOEC中，可求得x的值，再由矩形的性质可证得CECF，则可求得CEF的面积；（3）由（2）可求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得CF的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的坐标是解题的关键 典例2 （2018春黄陂区期末）如图，直线y2x+6交x轴于A，交y轴于B（1）直接写出A（_，_），B（_，_）；（2）如图1，点E为直线yx+2上一点，点F为直线yx上一点，若以A
4、，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E，F的坐标（3）如图2，点C（m，n）为线段AB上一动点，D（7m，0）在x轴上，连接CD，点M为CD的中点，求点M的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式，并直接写出在点C移动过程中点M的运动路径长【答案】见解析【解析】解：（1）对于直线y2x+6，令x0，得到y6，令y0，得到x3，A（3，0），B（0，6），故答案为3，0，0，6；（2）A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，ABEF，ABEF，设E（m，m+2），则F（m+3，m+8）或（m3，m4），把F（m+3，m+8）代入yx，得到m+8（m+3），解得m13，E（13，11），F（1
5、0，5），把F（m3，m4）代入yx中，m4（m3），解得m5，E（5，7），F（2，1），当AB为对角线时，设E（m，m+2），则F（m3，6m），把F（m3，4m）代入y=12x中，4m=12（m3），解得m11，E（11，13），F（14，7）（3）C（m，n）在直线y2x+6上，n2m+6，C（m，2m+6），D（7m，0），CMMD，M（3m，m+3），令x3m，ym+3，y=-13x+3，当点C与A重合时，m3，可得M（9，0），当点C与B重合时，m0，可得M（0，3），点C移动过程中点M的运动路径长为：310【点睛】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为A，B，E，F为顶点
6、的四边形是平行四边形，推出ABEF，ABEF，设E（m，m+2），则F（m+3，m+8）或（m3，m4），再利用待定系数法求出m即可；（3）求出点M的坐标（用m表示），即可解决问题，利用特殊位置求出点M的坐标，可以解决点C移动过程中点M的运动路径长；本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题典例3（2018春高新区期末）在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当ab时，点P1的坐标为（a，b）；当ab时，点P1的坐标为（b，a）（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1
7、、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y2x+6上的任一点，当ab时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求点M的函数解析式并写出自变量的取值范围；（3）直线y2x+6上所有点的变换点组成一个新的图形L，直线ykx+1与图形L有两个公共点，求k的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）A（5，6）的变换点坐标是（6，5），B（3，2）的变换点坐标是（3，2），C（4，4）的变换点坐标是（4，4）；（2）当ab时，ab2，（2，2）的变换点为（2，2），当ab时，点P（a，b）的变换点坐标为（b，a），x2，（0，6）的变换点为（6，0），点P（a，b）的变换点经过（2，2）和（6，0），设点
8、M的函数解析式为ykx+m，则有2k+m=-26k+m=0解得k=12b=-3，y=12x3（x2）.（3）由题意，新的图形L的函数解析式为y=12x-3(x2)2x-6(x2)新图形L的拐点坐标为（2，2），画出图形如图所示当ykx+1过点（2，2）时，有22k+1，解得：k=-32；当ykx+1与y2x6平行时，k2；当ykx+1与y=12x3平行时，k=12结合图形可知：直线ykx+1与图形L有且只有两个公共点时，-32k12【点睛】（1）根据“变换点”的定义解答即可；（2）根据“变换点”的定义得出（2，2），（0，6）的变换点的坐标，进而得出解析式即可；（3）首先确定求出新的图形L的函
9、数解析式，依照题意画出图形，并找出直线ykx+1与图形L有且只有两个公共点的临界点，结合图形即可得出结论本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及一次函数图象，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键典例4（2018春郾城区期末）已知：直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求AOB的面积；（2）若点B关于x轴的对称点为C，点D为线段OA上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90得到线段DE，求直线CE的解析式；（3）在（2）的条件下，直线CE与x轴交于点F，与直线AB交于点P，当点D在OA上移动时，直线AB上是否存在点Q，使以F，P，D，Q为顶点的四边形为
10、平行四边形？若存在请直接写出Q，D的坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）直线y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（2，0），B（0，4），OA2，OB4，SAOB=12OAOB=12244；（2）过E作EGx轴于点G，如图，点B关于x轴的对称点为C，C（0，4），可设直线CE解析式为ykx4，由题意可知BDED，EDB90，且DOBEGA90，BDO+OBDBDO+EDG90，OBDEDG，在BDO和DEG中BOD=EGDOBD=EDGBD=ED BDODEG（AAS），GDOB4，EGOD，设ODa，则EGa，OG4+a，E（a4，a），点E在直线CE上，ak（a
11、4）4，解得k1，直线CE解析式为yx4；（3）要使以F、P、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，则有DAFA，PAQA，即A为FD和PQ的中点，在yx4中，令y0可得x4，F（4，0），且A（2，0），D（0，0），联立直线AB和CE解析式可得y=2x+4y=-x-4，解得x=-83y=-43，P（-83，-43），Q（-43，43）【点睛】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，则可求得AOB的面积；（2）过E作EGx轴于点G，由C点坐标可设出CE的解析式，再由条件可证得DEGBDO，设ODa，则可表示出EG和OG的长，则可表示出E点坐标，把E点坐标代入直线CE解析式可求得k的值，则可求得直线C
12、E的解析式；（3）由条件可知当四边形为平行四边形时，可得到DAFA，PAQA，则可求得D、Q的坐标本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平行四边形的性质等知识在（1）中求得A、B坐标即可，在（2）中用OD的长表示出E点坐标是解题的关键，在（3）中确定出A为平行四边形的中心是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中典例5（2018春随县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OBEC的顶点E坐标为（12，6），直线l：yx与对角线BC交于点A（1）求出点A的坐标；（2）如果点D是线段OA上一动点，当COD的面积为12时，求直线CD的函数表
13、达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）直线l：y=12x，E（12，6）直线l经过点E点A是BC与OE的交点即点A是矩形OBEC对角线的交点A点的坐标是（6，3）（2）C（0，6），设D（a，a）SCOD6a12a4D（4，2），设直线CD的函数表达式为ykx+bC（0，6），D（4，2），解得k=-1b=6，直线CD的函数表达式为yx+6（3）存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形如图所示，分三种情况考虑：四边形OP1Q1C为菱形时
14、，由COP190，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1OC6，即P1（6，0）当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P2纵坐标为3，把y3代入直线直线CD的解析式yx+6中，可得3x+6，解得x3，此时P2（3，3）当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3OCCP3P3Q36，设P3（x，x+6），x2+（x+66）262解得x32或x32（舍去），此时P3（32，36），综上可知存在满足条件的点P坐标为（6，0）或（3，3）或（32，36）【点睛】（1）只要证明点A是矩形的对角线的交点即可解决问题；（2）设D（a，a），利用三角形的面积公式构建方程求出a，可得点D坐标
15、，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分三种情形分别讨论求解即可；本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.典例6.（2018春武昌区期末）在平面直角坐标系xoy中，直线yx+m（m0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上（1）如图1，若m1，点P在线段AB上，POA60，求点P的坐标；（2）如图2，以OP为对角线作正方形OCPD（O，C，P，D按顺时针方向排列），当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由；（3）如图3，在（1）的条件下，Q为y轴上一动点，连AQ，以AQ为边作正方
16、形AQEF（A，Q，E，F按顺时针方向排列），连接OE，AE，则OE+AE的最小值为_【答案】见解析【解析】解：（1）如图1所示：过点P作PGOA，垂足为Gyx+m，A（m，0），B（0，m）OBOAm1PAG45又PGA90，PGGAPOG60，PGO90PGOG（1）OG1OG1，PG点P的坐标为（1，3）（2）的值不变如图2所示，过点O作OMOP交PC的延长线与M，连接BM四边形OCPD是正方形，OCPC，OCP90，OPC45MOP90，OMPOPM45，OPOMA（m，0）、B（0，m），OAOBmBOAMOP90，POAMOBOAOB，POAMOB，OPOM，POAMOB，OAPO
17、BM135，MBP90，C为PM的中点，BCCPOP，BCOP=22（3）如图3所示：过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）可证明OAQKQEOQKEa，AOKQ=3+1E（a，a+3+1）点E在直线yx+3+1上运动，点B在直线yx1上设直线yx1交x轴与NN（1，0）BNO45作点O关于直线yx1的对称点O1，连接AO1，交直线yx1与E1，连接OE1、O1N、O1EOE1O1E1OE1+AE1O1AO1E+AE，OE+AE的最小值为线段O1A的长BNOBNO145，ONO1N，ANO190在RtO1NA中，O1A故答案为：15+5【点睛】（1）过点P作PGOA，垂足为G则OBOAm1，然
18、后可证明PGAG，然后再由特殊锐角三角函数值可知PGOG，最后由OG+AGOA可求得OG的值，从而可求得点P的坐标；（2）过点O作OMOP交PC的延长线与M，连接BM接下来，再证明POAMOB，依据全等三角形的性质可得到OAPOBM135，接下来，再证明MBP90，依据直角三角斜边上中线的性质可证明BCCP，然后依据OP与CP的比值为定值可得到问题的答案；（3）过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）可证明OAQKQE，则E（a，a1），设直线yx1交x轴与N，则BNO45，作点O关于直线yx1的对称点O1，连接AO1，交直线yx+3+1与E1，连接OE1、O1N、O1E，则OE+AE的最小值为
19、线段O1A的长，最后，在RtO1NA中依据勾股定理求得O1A的长即可本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质，确定出OE+AE取得最小值的条件是解题的关键巩固练习1（2018春岚山区期末）在如图平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A（3，0）、B（0，4）两点，动点P从点O开始沿OA向点A以每秒13个单位长度运动，动点Q从点B开始沿BO向点O以每秒59个单位长度运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，连接PQ且点P、Q分别从点O、B同时出发，运动时间为t秒（1）请直接写出直线AB的函数解析式：_；（2）当t4时，四边形
20、BQPM是否为菱形？若是，请说明理由；若不是，请求出当t为何值时，四边形BQPM是菱形【答案】见解析【解析】解：（1）设直线AB的解析式为：ykx+b（k0）把点A（3，0）、B（0，4）分别代入，得3k+b=0b=4解得故直线AB的函数解析式是：y=-43x+3故答案是：y=-43x+3（2）当t4时，四边形BQPM是菱形理由如下：当t4时，BQ=594=209，则OQ4-209=169当t4时，OP=43，则AP=53由勾股定理求得PQ=OQ2+OP2=(169)2+(43)2=209=BQPMOB，APMAOB，APOA=PMOB，即533=PM4，解得PM=209四边形BQPM是平行四
21、边形，当t4时，四边形BQPM是菱形2（2018春中山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-43x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线AB上有一点C（m，4）点D（0，n）是y轴上任意一点，连结CD，以CD为边在直线CD下方，作正方形CDEF（1）填空：m_；（2）若正方形CDEF的面积为S，求S关于n的函数关系式；（3）点A关于y轴的对称点为A，连接AB，是否存在n的值，使正方形的顶点E或F落在ABA的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）C（m，4）在直线y=-43x+8上，4=-43m+8，m3，故答案为3（2）D（0，n）
22、，C（3，4），SCD232+（n4）2n28n+25（3）如图1中，当点F在直线BA上时，作CNy轴于N，FMCN于M则CNDFMC，CNFM3，DNCMn4，F（7n，1），直线AB的解析式为y=43x+8，1=43（7n）+8，n=494如图2中，当点E落在直线AB上时，连接EC交OB于R，此时点F在y轴上，DRCR3，OR4，OD7，n7如图3中，当点E落在AA上时，作CROB于R则CRDDOE，DOCR3，n3如图4中，当点F落在直线AB上时，作CROB于R，FNCR于N则CRDFNC，FNCR3，CNDR4n，F（7n，1），把F（7n，1）代入y=-43x+8得到，1=-43（7
23、n）+8，n，综上所述，满足条件的n的值为494或7或3或743（2018春南安市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D（1）线段OB的长度为_；（2）求直线BD所对应的函数表达式；（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）在RtABC中，OA12，AB9，OB=OA2+AB2=92+122=15故答案为15（2）如图
24、，设ADx，则ODOAAD12x，根据轴对称的性质，DEx，BEAB9，又OB15，OEOBBE1596，在RtOED中，OE2+DE2OD2，即62+x2（12x）2，解得 x=92，ODOAAD12-92=152，点D（152，0），设直线BD所对应的函数表达式为：ykx+b（k0）则，解得，直线BD所对应的函数表达式为：y2x15（3）过点E作EPBD交BC于点P，过点P作PQDE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EFOD于点F，由12OEDE=12DOEF，得EF，即点E的纵坐标为185，又点E在直线OB：y=34x上，185=34x，解得x=245，E（，），由于
25、PEBD，所以可设直线PE：y2x+n，E（245，），在直线EP上185=2245+n，解得 n6，直线EP：y2x6，令y9，则92x6，解得x=152，P（152，9）4（2018春汶上县期末）已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PEx轴于点E，PFy轴于点F，连接EF，问：若PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）令x0，则
26、y8，B（0，8），令y0，则2x+80，x4，A（4，0），（2）连接OP点P（m，n）为线段AB上的一个动点，2m+8n，A（4，0），OA4，0m4SPAOOAPE=124n2（2m+8）4m+16，（0m4）；（3）存在，理由：PEx轴于点E，PFy轴于点F，OAOB，四边形OEPF是矩形，EFOP，当OPAB时，此时EF最小，A（4，0），B（0，8），AB45SAOBOAOBABOP，OP=OAOBAB=4845=855，EF的最小值OP5（2018春涵江区期末）已知：如图，直线yx+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形O
27、CDE连接BE、CE（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；（2）若点C横坐标为t，BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式【答案】见解析【解析】解：（1）作CFOA于F，EGx轴于GCFOEGO90，令x4，y4+62，C（4，2），CF2，OF4，四边形OCDE是正方形，OCOE，OCOE，OCOE，COF+EOG90，COF+OCF90，EOGOCF，CFOOGE，OGOF4，OGCF2，G（2，4）（2）直线yx+6交y轴于B，令x0得到y6，B（0，6），令y0，得到x6，A（6，0），OAOB6，OA
28、BOBA45，AOBEOC90，EOBCOA，OEOC，EOBCOA，BEAC，OBEOAC45，EBC90，即EBAB，C（t，t+6），BC=2t，ACBE=2（6t），S=12BCEB=122t2（6t）t2+6t（3）当点C在线段AB上运动时，由（1）可知E（t6，t），设x6t，yt，tx+6，yx+66（2018春广元期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点A、B分别在两条直线y2x和ykx上，点C、D是x轴上两点（1）若正方形ABCD的边长为2，试求k的值；（2）若正方形ABCD的边长为m，则k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若发生变化，试求出k的值；（3）如图2
29、，在（1）的条件下直线ykx沿y轴向下平移得到直线l：yax+b，使直线1经过点C，点P是直线l上的一个动点，当|PAPB|的值最大时，求点P的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）正方形ABCD的边长为2，ADCDBCAB，点A的横坐标为2，针对于直线y2x，令y2，x1，点D（1，0），C（3，0），B（3，2），将点B（3，2）代入ykx中，3k2，k；（2）k的值不会发生变化，理由：正方形ABCD的边长为m，ADCDBCAB，点A的横坐标为m，针对于直线y2x，令ym，x=-12m，点D（-12m，0），C（-32m，0），B（-32m，2m），将点B（-32m，2m）代入ykx中，-32mkm，k=-23，k的值不会会发生变化；（3）由（1）知，k=-23，直线1经过点C（3，0），由平移知，直线l的解析式为yx2，当|PAPB|的值最大时，点，A，B，P在同一条直线上，ABx轴，B（3，2），点P的纵坐标为2，点P是直线l上的一个动点，直线l的解析式为y=-23x2，x22，x6，P（6，2）
