1、专题12 一次函数知识网络重难突破一. 一次函数的认识一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k0）的函数叫做一次函数.正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.典例1（2018春青龙县期末）下列关系式中：y3x+1、y=3x、yx2+1、y=12x，y是x的一次函数的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】解：函数y3x+1，y=3x，yx2+1，y=12x中，是一次函数的是：y3x+1、y=12x，共2个故选：B【点睛】利用一般地，形如ykx+b（k0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键典例2（2
2、018春颍东区期末）已知函数y（m1）x|m|+5m是一次函数，则m的值为（）A1B1C0或1D1或1【答案】B【解析】解：由题意可知：解得：m1故选：B典例3（2018秋浦东新区期末）已知函数y（m1）x+m21是正比例函数，则m_【答案】1【解析】解：由正比例函数的定义可得：m210，且m10，解得：m1，故答案为：1【点睛】由正比例函数的定义可得m210，且m10本题考查了正比例函数的定义解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数ykx的定义条件是：k为常数且k0，自变量次数为1典例4（2017秋沙坪坝区校级期末）若函数y（k2）x|k|1是正比例函数，则k_【答案】-2【解析】解：
3、函数y（k2）x|k|1是正比例函数，|k|-1=1k-20，解得k2，故答案为：2【点睛】根据正比例函数的定义可得|k|11，且k20，再解方程即可此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握形如ykx（k是常数，k0）的函数叫做正比例函数二. 一次函数的图象与性质1一次函数ykxb(k0)的图象是一条经过点（0，b）、（）的直线，一次函数ykxb的图象也称为直线ykxb.2一次函数ykxb的性质（1）增减性（2）图象所过象限（3）倾斜度典例1（2017秋太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：yax，ybx，ycx，将a，b，c从小到大排列并用“”连接为（）AabcBcab
4、CcbaDacb【答案】D【解析】解：根据三个函数图象所在象限可得a0，b0，c0，再根据直线越陡，|k|越大，则bc则bca，即acb故选：D【点睛】根据直线所过象限可得a0，b0，c0，再根据直线陡的情况可判断出bc，进而得到答案此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小同时注意直线越陡，则|k|越大典例2 （2018秋雅安期末）直线l1：ykx+b与直线l2：ybx+k在同一坐标系中的大致位置是（）ABCD【答案】C【解析】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y
5、1kx+b中，k0，b0，y2bx+k中，b0，k0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1kx+b中，k0，b0，y2bx+k中，b0，k0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1kx+b中，k0，b0，y2bx+k中，b0，k0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1kx+b中，k0，b0，y2bx+k中，b0，k0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C【点睛】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题解答本题注意理解：直线ykx+b所在的位置与k、b的符号有直接
6、的关系典例3（2018春武昌区期末）已知一次函数y（m4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（）Am4Bm4Cm4Dm-12【答案】B【解析】解：根据题意得m-402m+10，解得-12m4故选：B【点睛】依据一次函数y（m4）x+2m+1的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数ykx+b（k0），k0，b0ykx+b的图象在一、二、三象限；k0，b0ykx+b的图象在一、三、四象限；k0，b0ykx+b的图象在一、二、四象限；k0，b0ykx+b的图象在二、三、四象限典例4（201
7、8春德阳期末）若实数a，b，c满足a+b+c0，且abc，则函数ycx+a的图象一定不经过（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限【答案】C【解析】解：a+b+c0，且abc，a0，c0，（b的正负情况不能确定），a0，函数ycx+a的图象与y轴负半轴相交，c0，函数ycx+a的图象经过第一、三、四象限故选：C【点睛】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点典例5（2018春大余县期末）下图中表示一次函数ymx+n与正比例函数ynx
8、（m，n是常数，且mn0）图象的是（）ABCD【答案】B【解析】解：A、根据图中正比例函数ynx的图象知，n0；m，n是常数，且mn0，m0，一次函数ymx+n的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；B、根据图中正比例函数ynx的图象知，n0；m，n是常数，且mn0，m0，一次函数ymx+n的图象经过第一、二、四象限；故本选项正确；C、根据图中正比例函数ynx的图象知，n0；m，n是常数，且mn0，m0，一次函数ymx+n的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；D、根据图中正比例函数ynx的图象知，n0；m，n是常数，且mn0，m0，一次函数ymx+n的图象经过第一、二、四象限；故本选项错
9、误；故选：B【点睛】根据正比例函数的图象确定n的符号，然后由“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出n的符号，再根据一次函数的性质进行判断本题综合考查了正比例函数、一次函数图象与系数的关系一次函数ykx+b（k0）的图象有四种情况：当k0，b0，函数ykx+b的图象经过第一、二、三象限；当k0，b0，函数ykx+b的图象经过第一、三、四象限；当k0，b0时，函数ykx+b的图象经过第一、二、四象限；当k0，b0时，函数ykx+b的图象经过第二、三、四象限典例6（2018春镇原县期末）已知函数y（2m+1）x+m3；（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴的截距为2，求m的值；（
10、3）若函数的图象平行直线y3x3，求m的值；（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）函数图象经过原点，m30，且2m+10，解得：m3；（2）函数图象在y轴的截距为2，m32，且2m+10，解得：m1；（3）函数的图象平行直线y3x3，2m+13，解得：m1；（4）y随着x的增大而减小，2m+10，解得：m-12【点睛】（1）根据函数图象经过原点可得m30，且2m+10，再解即可；（2）根据题意可得m32，解方程即可；（3）根据两函数图象平行，k值相等可得2m+13；（4）根据一次函数的性质可得2m+10，再解不等式即可此题主要考查了一
11、次函数的性质，关键是掌握与y轴的交点就是ykx+b中，b的值，k0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降典例7（2018春确山县期末）小慧根据学习函数的经验，对函数y|x1|的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：（1）函数y|x1|的自变量x的取值范围是_；（2）列表，找出y与x的几组对应值x1023yb02其中，b_；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）写出该函数的一条性质：_【答案】见解析【解析】解：（1）x无论为何值，函数均有意义，x为任意实数故答案为：任意实数；（2）
12、当x1时，y|11|2，b2故答案为：2；（3）如图所示；（4）由函数图象可知，函数的最小值为0故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）【点睛】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把x1代入函数解析式，求出y的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键三. 待定系数法求一次函数解析式用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：设一次函数解析y=kx+b(k0)；代入两个已
13、知点的坐标，得到关于k、b的方程组；解方程组得到k、b的值；写出一次函数的解析式.若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.典例1（2018秋蚌埠期末）已知y与（x2）成正比例，当x1时，y2则当x3时，y的值为（）A2B2C3D3【答案】A【解析】解：y与（x2）成正比例，设yk（x2），由题意得，2k（12），解得，k2，则y2x4，当x3时，y2342，故选：A【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键典例2（2018春泸县期末）如图，已知直线yx+4与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段A
14、B交于点C，并把AOB的面积分为2：3两部分，求直线l的解析式【答案】y=-23x或yx 【解析】解：直线l的解析式为：ykx，对于直线yx+4的解析式，当x0时，y4，y0时，x4，A（4，0）、B（0，4），OA4，OB4，SAOB448，当直线l把AOB的面积分为SAOC：SBOC2：3时，SAOC=165，作CFOA于F，CEOB于E，AOCF，即4CF=165，CF=85当y=85时，x=-125，则85=-125k，解得，k=-23，直线l的解析式为y=-23x；当直线l把ABO的面积分为SAOC：SBOC3：2时，同理求得CF=125，解得直线l的解析式为y=-32x故答案为y=
15、-23x或yx【点睛】根据直线yx+4的解析式可求出A、B两点的坐标，当直线l把ABO的面积分为SAOC：SBOC2：3时，作CFOA于F，CEOB于E，可分别求出AOB与AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；当直线l把ABO的面积分为SAOC：SBOC2：3时，同（1）本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键，涉及到三角形的面积公式及分类讨论的方法典例3（2018春茌平县期末）已知一次函数ykx+b的图象经过点A（1，1）和点B（1，3）求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的
16、面积；（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为ykx+b，把A（1，1）B（1，3）带入得：k+b1，k+b3，解得：k1，b2，一次函数表达式为：yx2；（2）设直线与x轴交于C，与y轴交于D，把y0代入yx2，解得x2，OC2，把x0代入yx2，解得：y2，OD2，SCODOCOD=12222；（3）作A与A1关于x轴对称，连接A1B交x轴于P，则P即为所求，由对称知：A1（1，1），设直线A1B解析式为yax+c，得k+b1，k+b3，解得：k2，b1，y2x1，另y0得2x10，解得：x=-12，P（-12，0
17、）【点睛】（1）设ykx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）分别令x与y为0求出y与x的值，确定出OC与OD的长，即可求出三角形COD面积；（3）作A与A1关于x轴对称，连接A1B交x轴于P，则P即为所求，利用待定系数法求出直线A1B解析式，确定出P点坐标即可此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，以及轴对称最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键典例4（2018春郾城区期末）如图，过点A（3，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB5（1）求点B的坐标；（2）若ABC的面积为
18、9，求直线l2的解析式【答案】见解析【解析】解：（1）点A（3，0），AB5BO4点B的坐标为（0，4）；（2）ABC的面积为9BCAO9BC39，即BC6BO4CO2C（0，2）设l2的解析式为ykx+b，则，解得k=23b=-2l2的解析式为yx2【点睛】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；（2）先根据ABC的面积为9，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式本题主要考查了两条直线的交点问题，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，反之也成立四. 一次函数
19、的图象变换1一次函数平移的方法：左加右减，上加下减2一次函数图象的常见对称变换：对于直线y=kx+b（k0，且k，b为常数），关于x轴对称，就是x不变，y变成y：y=kx+b，即y=kxb（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；关于y轴对称，就是y不变，x变成x：y=k（x）+b，即y=kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；关于原点对称，就是x和y都变成相反数：y=k（x）+b，即y=kxb（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）典例1（2018春永清县期末）若一次函数ykx+b（x0）（k0）与一次函数y=12x+1的图象关于x轴对称，则一次函数ykx
20、+b的解析式为_【答案】y=-12x1【解析】解：ykx+b与y=12x+1关于x轴对称，b1，k=-12，y=-12x1故答案为：y=-12x1【点睛】根据一次函数ykx+b（k0）与函数y=12x+1的图象关于x轴对称，解答即可本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键典例2（2018春松滋市期末）在同一直角坐标系中，将一次函数yx3（x1）的图象，在直线x2（横坐标为2的所有点构成该直线）的左侧部分沿直线x2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象若关于x的函数y2x+b的图象与此图象有两个公共点，则b的取值范围是（）A8b5B8b5C8b5
21、D8b5【答案】B【解析】解：在yx3（x1）中，令x2，则y1，若直线y2x+b经过（2，1），则14+b，解得b5；在yx3（x1）中，令x1，则y2，点（1，2）关于x2对称的点为（3，2），若直线y2x+b经过（3，2），则26+b，解得b8，关于x的函数y2x+b的图象与此图象有两个公共点，b的取值范围是8b5，故选：B【点睛】根据直线y2x+b经过（2，1），可得b5；根据直线y2x+b经过（3，2），即可得到b8，依据关于x的函数y2x+b的图象与此图象有两个公共点，即可得出b的取值范围是8b5解决问题给的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
22、ykx+b巩固练习1（2017秋简阳市期末）下列函数关系中表示一次函数的有（）y2x+1 y=1xy=x+12-xs60ty10025xA1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】解：y2x+1是一次函数；y=1x自变量次数不为1，不是一次函数；y=x+12-x是一次函数；s60t是正比例函数，也是一次函数；y10025x是一次函数故选：D2（2018春柳林县期末）已知一次函数ykx+b，若kb0，则该函数的图象可能（）ABCD【答案】A【解析】解：在一次函数ykx+b中kb0，ykx+b的图象在一、三、四象限或一、二、四象限故选：A3（2018春德阳期末）对于函数y=-x+2，x32x-7，x
23、3下列说法正确的是（）A当x3时，y随x的增大而增大B当x3时，y随x的增大而减小C当x0时，y随x的增大而减小D当x4时，y2【答案】C【解析】解：A、当x3时，y随x的增大而减小，错误；B、当x3时，y随x的增大而增大，错误；C、当x0时，y随x的增大而减小，正确；D、当x4时，y1，错误；故选：C4（2018春遵义期末）函数yax+b与ybx+a的图象在同一坐标系内的大致位置是（）ABCD【答案】B【解析】解：分四种情况：当a0，b0时，yax+b的图象经过第一、二、三象限，ybx+a的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；当a0，b0时，yax+b的图象经过第一、三、四象限；ybx+a
24、的图象经过第一、二、四象限，B选项符合；当a0，b0时，yax+b的图象经过第一、二、四象限；ybx+a的图象经过第一、三、四象限，B选项符合；当a0，b0时，yax+b的图象经过第二、三、四象限；ybx+a的图象经过第二、三、四象限，无选项符合故选：B5（2018春诸城市期末）若一次函数y（3m）x+5的函数值y随x的增大而减小，则（）Am0Bm0Cm3Dm3【答案】C【解析】解：根据题意得3m0，解得m3故选：C6（2017秋蜀山区期末）已知nm，在同一平面直角坐标系内画出一次函数ynx+m与ymx+n的图象，则有一组m，n的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）ABCD【答案】B【解
25、析】解：A、m0，n0，则ymx+n过第一、二、四象限，ynx+m经过第一、三、四象限；所以A错误；B、m0，n0，则ymx+n过第一、二、三象限，ynx+m经过第一、二、三象限；所以B正确；C、两直线与x轴的交点坐标为（-mn，0）和（-nm，0），所以C错误；D、m0，n0，则ymx+n过第一、二、三象限，ynx+m经过第一、二、三象限；所以D错误故选：B7（2018春繁昌县期末）八个边长为1的正方形如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则这条直线的解析式是_【答案】y=910x【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作A
26、By轴于点B，过点A作ACx轴于点C，如图所示正方形的边长为1，OB3经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，两边分别是4，三角形ABO面积是5，OBAB5，AB=103，OC=103，点A的坐标为（103，3）设直线l的解析式为ykx，点A（103，3）在直线l上，3=103k，解得：k=910，直线l解析式为y=910x故答案为：y=910x8（2018春营山县期末）如图，把RtABC放在直角坐标系内，其中CAB90，BC10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线yx5上时，线段BC扫过的面积为（）A80B88C96D100【答
27、案】B【解析】解：点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），AB6，CAB90，BC10，CA=102-62=8，C点纵坐标为：8，将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线yx5上时，y8时，8x5，解得：x13，即A点向右平移13211个单位，线段BC扫过的面积为：11888故选：B9（2018春廉江市期末）已知：如图，正比例函数ykx的图象经过点A，（1）请你求出该正比例函数的解析式；（2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值；（3）请你判断点P（-32，1）是否在这个函数的图象上，为什么？【答案】见解析【解析】解：（1）由图可知点A（1，2），代入ykx得：k2，k2，则正比例函数解析式为y2x；（2）将点B（m，m+3）代入y2x，得：2mm+3，解得：m1；（3）当x=-32时，y2（-32）31，所以点P不在这个函数图象上
