1、主讲：主讲：汪强汪强注意上课听讲！注意上课听讲！重 积 分 第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线
2、,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k,),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束 2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄片的质量 M.度为),(),(常数若yx设D 的面积为,则M若),(yx非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域.D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2,1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束 yx两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I,使nkkkkfI10),(lim可积可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积
5、元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在
6、有界闭区域 D 上除去有 例如例如,yxyxyxf22),(在D:10 x10 y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k 为常数)Dyxgyxfd),(),(.221d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxf,1),(.4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积,则),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxf
7、d),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证:由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解解:积分域
8、D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它与 x 轴交于点(1,0),.1相切与直线 yx而域 D 位,1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解:分积分域为,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21(3猜想结果为负 但不好估计.舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.估计下列积分之值10:cos
9、cos100ddI22yxDyxyxD解解:D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo D8.设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyx
10、yxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(x
11、yxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)
12、3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解:321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因 0 y 1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxy
13、yox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:,2d)cossin(122Dyx其中D 为.10,10yx解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1,
14、故结论成立.yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 P78 2，4，5 P95 1(1),8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业5.04.0I备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为DxyyxI162d22.20,10yx解解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0,0(fM的最大值),(yxfD上在51431)2,1(22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2.判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2
15、)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.设,),(,),(
16、zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素,vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积,积和式”极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先
17、一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz
18、),(1yxzz yxdd微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底,d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(
19、ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时,因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd
20、),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x)1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz例例2.计
21、算三重积分,ddd2zyxz.1:222222czbyax其中解解:zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一”zDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zzd
22、ddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中为由例例3.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例
23、4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面42rzvdddd原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页
24、 返回 结束 xyzo如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(51
25、5R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐
26、标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1.将.)(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42,1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成,:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设,1:222zyx计算vzyxzyxzd1)1ln(222222提示提示:利用对称性原式=1
27、22ddyxyx0奇函数222211222222d1)1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zoxy23.设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成,计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P106 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中 由1,1,12222yz
28、xzxy分析分析：若用“先二后一”,则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁!采用“三次积分”较好.1zxy1o1机动 目录 上页 下页 返回 结束:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221,1,1222yzxzxy由所围,故可 思考思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4,1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzD
29、dd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的.那么，有没有简便的计算方法呢那么，有
30、没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此,先介绍：先介绍：1、积分域、积分域 D:如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型区域的特点型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个；b、).()(21xx（1）X-型域（2）Y-型域：型域：,dyc
31、Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界的交点不多于两个。线与区域边界的交点不多于两个。b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),(yxfz)(1xy)(2xy 2、X-型域下二重积分的型域下二重积分的计算计算:由几何意义，若由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：DVdxdyyxf),(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)0),(yxf则则yZ)(x1)(x2),(y
32、xfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注:若若(x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意:1 1）上式说明）上式说明:二重积分可化为二次定二重积分可化为二次定积分计算积分计算;2 2）积分次序）积分次序:X-:X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法:域中一线插域中一线插,内限定上下内限定上下，域边两线夹，外限依靠域边两线夹，外限依靠它它。为方便，上式也常记为为方便，上式也常记为：3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分
33、的计算：同理：同理：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB 于是于是 Ddcyydyyxfdyxf),(),()()(21面积为：面积为：为曲边梯形，为曲边梯形，常数截立体，其截面也常数截立体，其截面也用y用y 知的立体体积.知的立体体积.亦为平行截面面积为已亦为平行截面面积为已 1）积分次序）积分次序:Y-型域型域,先先x后后Y;2）积分限确定法）积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行于须用平行于X X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意:注意：二重积分转化为二次定积分时，关键注意：二重积分转化
34、为二次定积分时，关键在于正确确定积分限在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4 4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型,确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解：解：两两曲曲线线的的交交
35、点点),1,1(,)0,0(22 yxxy2xy 2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)(1022dxxxxxx)(21)(42102 .140332xy 2yx Y型型yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 D例例2 2解：解：围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49.21,1:xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其
36、中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例3解解：（如图）将如图）将D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2,4-122yx 2 yx 1,1 xy)(yx后后先先5、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型，又是又是Y型型,则有则有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),(dcyydyfdx)()(21 例例 4 4 改改变变积积分分 yydxyxfdydxyxfdy20303110),(
37、),(的的积积分分次次序序.xxdyyxfdx32120),(.解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30,31xyxx 321,20原式原式例例 5 5 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序.axy2 解解：=ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例6 6解：解：.10,11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，
38、如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 例例 7 7 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyy
39、dxyxfdydyxf Y型型X型型7.小结三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,
40、cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 直系与极系下的二重积分关系（如图）iiiiirrr 2221)(21i（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式）二重积分转换公式：.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：rdrddxdyDDryrxrxysincos2 极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出,r的的
41、上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）区域如图）区域如图1,).()(2
42、1 r具体地（如图）具体地（如图）图图1（2）区域如图）区域如图2,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3）区域如图）区域如图3,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4）区域如图）区域如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 R 的的圆
43、圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域.解解在极坐标系下在极坐标系下D：Rr 0，20.dxdyeDyx 22 Rrrdred0202 ).1(2Re 20)1(212deR例例2 2 求求广广义义积积分分 02dxex.解解|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0 yx0,0|),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred002
44、2);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4,所求广义积分所求广义积分 02dxex2.,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 3 3 求求双纽双纽线线)(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2,得得交交点点)6,(aA,所求面积所求
45、面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a解解)0,(yx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244.,2acos 20D r，0：在极系下在极系下：（如图（如图）.)(2)(4例2222222所围成图形的面积和求双纽线ayxyxayxcos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a例例 5 5 写写出出积积分分 21110),(xxdyyxfdx的的极极坐
46、坐标标二二次次积积分分形形式式 1 yx122 yx解解如如图图：在在极极坐坐标标系系下下 sincosryrx圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd20 计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点：先要考虑积分区域的形状，先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。用极坐标后函数表达式能否简化
47、并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分其次，化二重积分为二次积分。根据区域形状和根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。定外限。最后，计算二次积分最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。积分计算时，外层积分变量看做常量。四、小结一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章
48、1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.解解:曲面1S的切平面方程为2020
49、00122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xoy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D),(000zyx在点Drrrdd2例例1.求曲面rr dd10320机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoyza2例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drr
50、vdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),(,),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即机
