1、第四章第四章 不定积分不定积分4.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质4.2 换元积分法和分步积分法换元积分法和分步积分法4.3 有理函数的积分有理函数的积分 数学中很多运算都存在数学中很多运算都存在逆运算逆运算，例如：，例如：加法加法与与 减少、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数减少、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等等等，都是互逆运算。等，都是互逆运算。求导运算也存在逆运算求导运算也存在逆运算,这个逆运算就是这个逆运算就是本章所要讲的本章所要讲的不定积分不定积分。现在先看不定积分中。现在先看不定积分中遇遇到的第一个概念。到的第一个概念。4.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不
2、定积分的概念4.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质例如例如,cos)(sinxx定义定义4.1.1)()(xfxF)(xF)(xf则称则称为为在区间在区间I上的一个上的一个原函数原函数.xsinxcos是是的一个原函数的一个原函数.)(sin cx,cos x cx sin也是也是xcos的原函数的原函数.问题问题dx)x(f)x(dF(1)何种函数具有原函数何种函数具有原函数?(2)函数若具有原函数函数若具有原函数,怎样写出原函数怎样写出原函数?4.1.1、原函数、原函数设设f(x)是定义在某区间上的已知函数是定义在某区间上的已知函数 如果存如果存在一个函数在一个函数F(x)对于该
3、区间上每一点都满足对于该区间上每一点都满足结论结论:若函数若函数)(xf在区间在区间I上上连续连续,则存在可导函数则存在可导函数),(xF 使使)(Ix)()(xfxF连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数性质性质1 若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.原函数的性质原函数的性质;)()()()(xfxFxfxF的一个原函数，是证：).(0)()()(xfxfCxFCxF又.的原函数是由原函数的定义可知：)()(xfCxFC.F(x)-G(x)1 知：知：推论推论由拉格朗日中值定理的由拉格朗日中值定理的0.f(x)-f(x)
4、(x)F-(x)G)F(x)-(G(x)又f(x);(x)Gf(x)G(x)的另一个原函数，的另一个原函数，是是证：设证：设性质性质 2 若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（为常数）为常数）C不定积分的定义不定积分的定义函数函数f(x)的全体原函数叫做的全体原函数叫做f(x)的的不定积分，不定积分，若若)()(xfxF 则则)(xf的的不定积分不定积分为：为：CxFdxxf)()(定义定义4.1.2dxx 2,)31(23xx.3132Cxdxx补例补例1 求不定积分求不定积分解解 因为因为 所以所以.简称积分法方法称为不定积分法，求已知
5、函数的原函数的的一个元素。集合，后者是该集合中个个不同的概念，前者是不定积分与原函数是两补例补例3dxx1求 xlndxx 1)ln(xCxdxx )ln(1总之总之,0 1 x,Cxlndxx补例补例2.求求dxx211解解.,)(211xdxx 211.cxarctan 0 x解解当当时时,Cxln 0 x当当时时,xarctanx1)1(1 xx1 不定积分不定积分表示的是一族函数表示的是一族函数,从几何上看从几何上看,代表一族代表一族曲线曲线,称为称为积分曲线族积分曲线族.4.1.2 不定积分的几何意义不定积分的几何意义曲线曲线:CCxFy(,)(为为任意常数任意常数)在在(x0 ,y
6、0)的切线的切线的斜率为的斜率为 f(x0)yox设设F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则称则称曲线曲线y=F(x)为为f(x)的一条积分曲线的一条积分曲线.如果把这条积分曲线沿如果把这条积分曲线沿y轴平行移轴平行移动动C个单位个单位,就得到就得到f(x)的全体积分的全体积分曲线曲线y=F(x)+C,叫做叫做f(x)的的积分曲线积分曲线族族,而而f(x)正是积分曲线的斜率正是积分曲线的斜率.因因为 不 论 常 数为 不 论 常 数 C 取 何 值取 何 值,都 有都 有F(x)+Cf(x),所以在每一条所以在每一条积分曲线上横坐标相同的点处其积分曲线上横坐标相同的点处其切线都是彼此
7、平行的切线都是彼此平行的,如图所示如图所示.补例补例4.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任意点处的切线斜且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.)(xf解解)(xfy xdxdy2 xxf2)(即即,由题意知由题意知Cx 2dxx 2又曲线通过点又曲线通过点(1,2),1C1)(2 xxf此曲线的方程为此曲线的方程为12 xy设所求曲线方程为：设所求曲线方程为：xyo11212 xy。试求物体的运动方程时且当的运动速度为已知物体在时刻补例)(,21,.52tSStttC)F()(,)()F(xdxxfxfx的一个原函数的一个原
8、函数是是证明：设证明：设)(0)()()(xfxfCxFCxF dxxfdxxfdCxdFCxFd)(0)()()(4.1.3 不定积分的基本性质不定积分的基本性质)()(xfdxxf dxxfdxxfd)()(1)C)F()(F,)(F)F(xdxxxx的一个原函数的一个原函数是是证明：证明：.)()()(CxFdxxFxdFCxxdCd ,eesinxsinx如如：CxFdxxF )()(CxFxdF )()(2)求不定积分的运算与求导数运算是互逆的求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.结论结论dxxgxf)()()3(;)()(dxxgdxxf dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)
9、()().()(xgxf 等式成立等式成立.证证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）dxxkf)()4(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k)()()(xkfdxxfkdxxfk对等式右边求导：.)()(的全体原函数的全体原函数是是故故xkfdxxfk 4.1.4 基本积分表基本积分表dxk )(1dxx )2(dxx 1 )3(Cxarctan dxx 211 )10(xdxcos )7(8)2dxxsec Ckx 1 11 Cx Cxln dxx 211 )11(Cxarcsin xdxsin )6(Ccos x Csinx Cxtan d
10、xx2csc (9)(12)dxxtanxsec dxxcotxcsc (13)(5)dxex cotCx cscCx Caaxln (4)dxax secCx Cexdxx 1Cxdxxdxx 121112121Cx 2例例4.1.4 求求解解例例4.1.5求dxxx)5(2解解dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx212552772xCx 23310dxxx231dxxxxx223133dxxxx)33(21Cxxxx1ln3322dxxx231例例4.1.6 求解解例例4.1.7 求求.2dxexx dxedxexxx)2(2.)2ln()2(Ceex 解解例例4.1.8.求
11、dxxx241解解dxxx 241dxxx 24111dxxx )111(22331x x Cx arctan补例补例6.求dxxx221解解dxxx221dxxx22111dxx)111(2xCxarctan补例补例7.求dxxex32解解dxxex32dxxdxex132xe2Cx ln3补例补例8.求dxxx221213解解dxxx221213dxxdxx22112113xarctan3Cx arcsin2补例补例9.求dxxeexx1解解dxxeexx1dxxex21xeCx 2dxxdxex21补例补例10.求dxexx3解解dxexx3dxex3 Ceex3ln)3(补例补例11.
12、求dxxxx32533解解dxxxx32533dxx3253x3Cx322ln3ln5dxdxx3253补例补例12.求dxxx211解解dxxx211dxxx45434774xCx414dxxxxx )1(122dxxxxdxxxx )1()1(1222 211xdxdxx.lnCarctgxx .)1(122dxxxxx 例例4.1.9 求求解解例例4.1.10 求求dxx 2sin2 dxx)cos1(21.)sin(21Cxx .2sin2dxx 解解例例4.1.11 求求.2cos2sin122dxxx 解解dxx 2)2sin(1.2cos2sin122dxxx xdx2csc4C
13、xcot4补例补例13 求求.2cos11dxx解解dxx2cos21.2cos11dxxxdx2sec21Cxtan21例例4.1.12.求dxxx22cossin1解解dxxcosxsin 221dxxcosxsinxcosxsin 2222dxxcos 21dxxsin 21dxxsec 2dxxcsc 2xtan Cxcot 补例补例14.求dxx 2tan解解dxxtan 2dxx )1(sec2 Cxxtan 补例补例15.求dxxx3)1(解解dxxx3)1(dxxxxx133232772xCx 2dxxdxxdxxdxx21212325332556x232x补例补例16.求dx
14、xx22121解解dxxx22121dxxx221322x2Cx arctan3dxxdx21132dxx2132补例补例17.求dxxx)1(128解解dxxx)1(128dxxxxx22881)1(Cxxxxx7537151311arctandxxxxxdxx86422111111dxxxxx84221111思路点拨：利用添项、减项法和分项积分法，使其变简单，再直接积分。,2sin21Cx解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.用变量用变量代换的方法来计算不定积分代换的方法来计算不定积分过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct s
15、in21.2sin21Cx xdx2cos1.第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）4.2.1 换元积分法换元积分法问题问题定理定理4.2.1凑微分法的关键步骤在于凑微分法的关键步骤在于)(xu 有原函数有原函数 和和 可导可导,如果积分如果积分 可化为可化为 dxxf)(dxxxg)()(的形式的形式,且设且设)(ug)(uF)(xu 则有则有dxxxgdxxf)()()()()(xdxg CxF )(C)u(F 化为化为)()(xdxf dxxxf)()(换元法换元法公式公式（凑微分法）（凑微分法）dxx 2cos例例4.2.1 求求解解 先利用导数把已给不定积分化为先利用导数把
16、已给不定积分化为Cu sin21由于观察重点不同，所得结论不同由于观察重点不同，所得结论不同.务必务必熟记基本积分表和一些凑的技巧熟记基本积分表和一些凑的技巧.dxx 2cosdxx 22cos21xdxxu22cos212 duu cos21Cx 2sin21 )23(23121xdxCxln 2321dxx231例例4.2.2 duu121Culn 21例例4.2.3dxxex3)(23xdex )3(323xdex Cex 332 ,lnlnlndxxxdxxxdxxx ln例例4.2.4 求求解解 xxd lnln CxCu 22ln2121例例 4.2.5 )ln31(xxdx xx
17、dln31)(ln.|ln31|ln31Cx xxdln31)ln31(31补例补例1dtet 5Cet55)5(515tdet补例补例2dxx3)23(Cx4)23(81)23()23(213xdx补例补例3dxx211Cx 21ln21)21(21121xdx补例补例4dxx3321Cx32)32(21)32(321313xdx补例补例6dxxex3)3(323xdex)(23xdex补例补例5dxxx21 )1(12122xdxCx 232)1(31 dxxx)1(21122Cex 332补例补例7)1(1xdex .1Cex dxexx121 dxxex补例补例8 xdex2Cex 2
18、补例补例9bxdebaxdaxabx)(sin1.cosCbeaaxbxdxeaxbxsindtttsin补例补例10tdtsin2Ct cos2dxxxcossinxdxcoscos1Cx cosln xdxtanCx cosln xdxcotCx sinlnxdxtan例例4.2.8dxxa221Caxaarctan1证明证明:)0(arcsin122aCaxdxxaCaxaxadxaxln21122(1)(2)(3)说说 明明以上三式可作为公式用以上三式可作为公式用.dxxa221(1)证证 dxaxa22111 axdaxa2111Caxarctana 1dxxa221(2)Caxar
19、csin dxaxa2111 axdax211dxax221(3)Caxaxlna 21 dxaxaxa1121 axaxdaxaxda)()(21补例补例11322xxdx22)2()1(xdx22)2()1()1(xxd.21arctan21Cx补例补例12dxxx2491例例4.2.8 xdxxdxsincsc 2cos2sin2xxdx 22sec21)2(2cos2122xdxxtgxdxxtg解解Cxtgxtgdxtg 2ln221Cctgxx csclnCxcotxcscln xdxcsc证明证明公式公式 2cos2sin2tanxxx 2cos2sin22sin22xxx xx
20、sincos1 xxcotcsc xdxxdxsincscdxxxxx 2cos2sin22cos2sin22法二法二 )2(2sin2cos)2(2cos2sinxdxxxdxx )2(sin2sin1)2(cos2cos1xdxxdxCxtg 2ln )2()2csc(sec xdxxdxCxctgx )2()2csc(ln Ctgxx secln补例补例13 解解1 xdxsecCxtanxsecln 证明证明公式公式解解2 dxxtgxxtgxxxdxsec)sec(secsec tgxxtgxxdsec)(sec.seclnCtgxx xdx3sin求求补例补例14解解xdx3sin
21、xdxxsinsin2xxdcossin2xdxcoscos12Cxx3coscos3xdxx52cossin求补例补例15解解xdxx52cossinxdxxxcoscossin42xdxxsinsin1sin222xdxxxsinsinsin21sin422xdxxxsinsinsin2sin642Cxxx753sin71sin52sin31补例补例16 求求.sec33xdxxtg xxdxtgxdxxtgsecsecsec2233 xxdxsecsec)1(sec22Cxx 35sec31sec51解解补例补例17 求求.sin2xdxdxxxdx 22cos1sin2Cxx 42si
22、n2解解dxx222cos1dxxx2cos2cos21412补例补例18.求xdx4cosxdx4cos解解dxxx24cos12cos2141dxxx24cos2cos22341Cx 4sin321x83x2sin41例例4.2.10 求求(1).sec4xdx xdxtan)1(tan2Cxx 3tan31tan解解 xdx4sec xdxx22secsec补例补例19 xdxtan4求求解解 xdxtan4 xdxtanxtan22 xdxtanxsec221 dxxsecxsecxtan1222Cxxtanxtan 331 xdxx2cos3cos求求补例补例20解解 xdxx2co
23、s3cos dxxx)5cos(cos21Cxsinxsin 510121 xtanxdtan2 xdxsec2 dx补例补例21 dxxxcossin1xdx2sin2 )2(2cscxxdCxx 2cot2cscln解法1 dxxxcossin1xxdxtansec2)(tantan1xdxCx tanln解法2 dxxxcossin1说明说明1).用凑微分法计算不定积分用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换作适当的代数或三角恒等变换.2).有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.补例补例23 xxx
24、dxlnlnln xxxdlnlnln)(ln xxdlnln)ln(ln.|lnln|lnCx xedx1 1xxedxe.)1ln(1)1(Ceeedxxx补例补例22 例例4.2.10 求求(1).sec4xdx xdxtan)1(tan2Cxx 3tan31tan解解 xdx4sec xdxx22secsec例例4.2.10 求求(2).sec33xdxxtg xxdxtgxdxxtgsecsecsec2233 xxdxsecsec)1(sec22Cxx 35sec31sec51解解 xdxx2cos3cos求求例例4.2.11解解 xdxx2cos3cos dxxx)5cos(cos
25、21Cxsinxsin 5101212.第二类换元法第二类换元法证证定理定理4.2.2 (第二换元法第二换元法)(变量代换法变量代换法)设设)(tx单调可微单调可微,且且,0)(t若若,)()()(CtFdtttf则则dxxf)(.)(1CxF)(1xFdxd)(1xtdxdtdtdF)()(ttf)(1t)(xfdxxf)(.)(1CxF )t(x dtttf)()(CtF )()x(t1 还原还原作代换作代换 )()(tdtf xdx1则则令令xt 2tx tdtdx2 dtttxdx121dtt )111(2dttt 1112补例24.)1ln(2Cxx Ctt )1ln(2有理代换有理
26、代换例例4.2.12 求dxxx 2解解 令,2tx ,22 txtdttt222 dtt)2(22 Ctt )231(23Cxx 24)2(323tdtdx2 dxxx 2补例补例25.求3xxdx解解 令,6tx,6tx 3xxdxdtttt2356dttt163dttt11163dtttt)111(6232t23tt 6Ct|1|ln6x233 x66 xCx|1|ln66dttdx56 例例4.2.13 求dxex 1解解 令,1tex ),1ln(2 txdtttdx122 dxex 1dtttt 122dttt 111222dtt )111(22Cttt 11ln2Ceeexxx
27、1111ln12).0(22 axadx,cos,sintdtadxtax Ctdttatatataxadxcoscoscoscos22Cax arcsin补例补例26(公式公式19)求求解解 设设 ),22(t三角代换三角代换 dxxa22解解22xa tsinaa222 tcosa 例例4.2.140 22adxxa求 tdtcosatcosa tdtcosa22Ctcostsinata 2222axarcsina22 Cxaxaxarcsina 222212,t22 ,sintax 设 dttcosa2212Ctsinata 24222Caxa 22axa22 三角代换三角代换由变换由变
28、换 x=asint 可得图可得图12-2，所以，所以 ax22xa taxt sinaxat22cos dxxa 22Cttta )cossin(221222)(arcsin2Caxaaxaxa Cxaxaxa 2222arcsin2axtarcsin ax22ax t由变换由变换 x=atant 可得图可得图12-2，所以，所以axt tan例例4.2.160 22aaxdx求解解,tantax 设,t22 22ax 222attana tseca 22axdx 2dttsecatseca tdtsecCttantsecln Caxaax 22ln原式原式Calnxaxln 22122Cxa
29、xln axt.ln22Caxx aCaxxlnln122 ).0(22 aaxdx例例4.2.17 求求解解 设设x=asect,(0t0)作变量代换作变量代换，这样的代换，这样的代换叫做倒代换。叫做倒代换。)1(24xxdxdtttt)1()11(11224 dttdxtx21,1 解：令解：令dttt 241例例4.2.18 )1(24xxdxdttdtt 2211)1(Cttt arctan33Cxxx 1arctan3113 )2(7xxdxdttttxxdx)1()21(11)2(277 dttdxtx21,1 令令dttt 7621Ct 721ln141 7721)21(141t
30、td补例补例 28补例补例29 求)0(222 axaxdx说明说明:本题可用三角代换本题可用三角代换,tantax,22t倒代换倒代换解解 令令),0(1ttx 222xaxdx,12dttdxdtttat 1-12222 122dttat 1)1(2122222tatadaCtaa11222Cxxaa2221解解 因为,tan2cos)(cos22xxxf 例例4.2.19 设函数设函数 定义于定义于(0,1)上上,且满足且满足)(xf求的求的 表达式表达式.)(xfxxxxxxxf222222cossinsincostan2cos)(cos xxx222coscos11cos2 令令,c
31、os2tx 则得到则得到 10,122)(ttttfCtttdttttf ln2)122()(2从而)1,0(,ln2)(2 xCxxxxf4.2.2 分部积分法分部积分法vuuv)(),(xvvxuu设函数设函数具有连续导数，具有连续导数，uv由由uvvu得得vu 两边求不定积分，得两边求不定积分，得 vdxuuvdxvu vduuvudv应用分部积分法的关键在于应用分部积分法的关键在于u,v的选择是否恰的选择是否恰当当v,u的选择原则是的选择原则是:1).v由基本凑微分公式要易求得由基本凑微分公式要易求得;2).vdu要比要比vud 易求易求.说明说明定理定理1.dxxex cexexx
32、补例补例30 求求 xxxdedxxe dxexexx补例补例31 求求.ln xdxx,ln xu 22xv 解解 设设 2ln2xxd dxxxxx12ln222 xdxxln xdxxx21ln22cxxx 4ln222xdxxcos例例4.3.1求 xxd sinxsinx Cxcosxsinx 解解 xdxcosx xdxsin取,xu,sinxv 由分部积分公式,得dxxex cexexx 例例4.3.2 求求 xxxdedxxe dxexexx xdxlnx例例4.3.3 32ln23xxd dxxx13223xlnx 3223xlnx 3223 dxx32xlnx 3223Cx
33、 9423 xdxlnx例例4.3.4 求求.arctgxdx,xvarctgxu dxxxxarctgxarctgxdx21Cxxarctgx )1ln(212 所以所以解解 设设例例 4.3.5 求求.sin,cos21xdxeIxdxeIxx .sin,cos2121xeIIxeIIxx即即解解 因为因为 ,sinsin,coscos1221IxexdeIIxexdeIxxxx.)cos(sin21.)cos(sin2121CxxeICxxeIxx 所以所以.sin xdxex求 xxexxxedsindsin解解：（法法一一）xdexexxsinsin xdxexexxcossin x
34、xdexxe cossinxdexexexxxcoscossin xdxexexexxxsincossin Cxxexdxexx)cos(sin21sin补例补例 32.sin xdxex求 xexxexxcosddsin)(法二法二解：解：xdxexexxcoscos xdexexxsincos dxexxexexxx sinsincosCxxexdxexx)cos(sin21sin1)cos(sinsin2Cxxexdxexx补例补例32例例4.3.6 求求 dxx)ln2sin(解解解得解得 dxx)ln2sin()ln2sin()ln2sin(xxdxx dxxxx)ln2cos(2)
35、ln2sin()ln2sin(2)ln2cos(2)ln2sin(dxxxxxx dxx)ln2sin(51)ln2cos(2)ln2sin(Cxxxx dxx)ln2sin(Cxxxx )ln2cos(2)ln2sin(51例例4.3.7 求求 dxaxInn)(122解解解得解得 dxaxxnaxxInnn122222)(2)(dxaxaaxnaxxInnn12222222)(2)(122222)(nnnnInanIaxxI122222)(nnnnInanIaxxI)12()(212221nnnInaxxnaI 补例补例33 求求.sec3xdx xdxxxdxIsecsecsec23解解
36、则则 xdtgxsec xdxxtgxtgxI2secsec dxxxxtgx)1(secsecsec2 xdxIxtgxsecsectgxxIxtgx seclnsec解得解得.seclnsec21CtgxxxtgxI xdxsinx2补例补例34.求 xdxsinx2解解 )cos(2xdxxcosx2 xdxxcos)(2xcosx2 xdxcosx2xcosx2 Cxcosxsinx 22解解dxexx2补例补例35.求 xdex2xdxex2Cexeexxxx22Cxxex222dxexx2xex2xex2 xxde2xex22dxexexx2arctan2xxdxxxx221112
37、1arctan2Cxxxxarctan21arctan22Cxxx21arctan1212xdxxarctan补例补例36 2arctan2xxddxxx22112xdxarccos补例补例37dxxx21Cx 21xx arccosxx arccosxdx2ln补例补例38xx2lndxxxx1ln2xx2lnxdxln2xx2ln1ln2dxxxxxxx2lnCxxx2ln2解解,2tx dttet2 Ctet 12 Cxex 12说说 明明有时在积分过程中有时在积分过程中,需要同时用到换元法需要同时用到换元法和分部积分法和分部积分法.dxex例例4.3.8 ,2 tdtdx ,tx 令d
38、xex ttde2)(2dtetett dxxxex2)1(例例4.3.9 dxxeexexxx2)1(dxxedxxexx2)1(1 )11(1xdedxxexx dxxexedxxexxx111Cxex 1补例补例39.设,00)12ln(2sin)(xxxxxf解解dxxxFx)12ln()(0时，当1)12ln(21)12ln(Cxxxx0021)12ln(21)12ln(2cos21)(xxCxxxxCxxF则2121,0)(,0CCxxFx则需要处连续在要保证时，当xdxxFx2sin)(0时，当。的原函数求函数)()(xFxfdxxxxx122)12ln(22cos21Cx)(是
39、任意常数C4.3 有理函数的积分有理函数的积分4.3.1有理函数的定义有理函数的定义两个多项式的商两个多项式的商表示的函数称之为表示的函数称之为有理函数有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(部分分式部分分式:由一个真分式分解成几个真分式的代数和,则这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分部分分式或分项分式分式或分项分式.的部分分式叫做原分式)1)(13(35xxx分式其中两个比较简单的真部分分式部分分式11132)1)(13(35xxxxx11,132xx例如例如:其中其中a,b是待定常数是待定常数,去分母去分母,得得:5x-3=a(x-1)
40、+b(3x-1)于是有于是有5x-3=(a+3b)x-(a+b)比较两边同次比较两边同次系数系数,得得:a+3b=5 a=2 a+b=3 b=1113)1)(13(35 xbxaxxx设设用用带定系数法带定系数法求部分分式求部分分式11132)1)(13(35 xxxxx 多项式多项式g(x)在实数集内能分解成一次因式的幂与二在实数集内能分解成一次因式的幂与二次质因式的幂的乘积次质因式的幂的乘积,即即 g(x)=b0(x-a)k(x-b)m(x2+px+q)(x2+rx+s)式之和：可以分解为如下部分分则真分式xgxf，（042 qp）042 sr)()(22222211qpxxDxCqpxx
41、DxCqpxxDxC)()(22222211srxxFxEsrxxFxEsrxxFxEkkaxAaxAaxAxgxf)()()()()(221mmbxBbxBbxB)()()(221注意注意:1)(x-a)k代表代表k重因式重因式,即即k个个(x-a)相乘相乘.(x-a)(x-a)2)分母是分母是k重一次因式可拆成重一次因式可拆成k个部分分式之个部分分式之和和;且分子均为常数且分子均为常数,分母由分母由1重重,2重重,k重重递增递增.3)重二次质因式作分母可拆成重二次质因式作分母可拆成 个部分分式个部分分式之和，且分子均为一次因式之和，且分子均为一次因式.解:原分式为假分式应先化为带分式.为部
42、分分式、化分式补例xxxxxx231212334xxxxxxxxxxxx2313)1(23122322334)2)(1(13)1(2xxxxxx1102233423xxxxxxx23423)xxxxxx232xxx2323132 xx去分母得x2+3x+1=a(x+1)(x+2)+bx(x+2)+cx(x+1)用数值代入法数值代入法求a,b,c,21)2)(1(132 xcxbxaxxxxx设设212110aax，即，得令12111311bbx，即，得211221642ccx，即，得 于是2x2+1=a(x2+x+1)+(bx+c)(x-1)即 2x2+1=(a+b)x2+(a-b+c)x+a
43、-c 比较两边同次项系数,解这个三元一次方程组,得 a+b=2 a=1 a-b+c=0 b=1 a-c=1 c=0 为部分分式、化分式补例112232xx11112232xxcbxxaxx111112232xxxxxx所以，故设解：因11123xxxx例例4.3.1 将有理真分式将有理真分式 分解为部分分式分解为部分分式2)1(1 xx解解 设设2)1(1xxxA2)1(xC1xB两边去掉分母两边去掉分母,得得CxxBxxA)1()1(12令令0 x得得;1A令令1x得得;1C比较两边比较两边2x项系数项系数,得得,0 BA.1B即即于是于是,2)1(1 xx2)1(1111 xxx 即x2-
44、2x+5=a(x-2)(1-2x)+b(1-2x)+c(x-2)2 为部分分式、化分式补例)21()2(52322xxxxxcxbxaxxxx21)2(2)21()2(52222)21(917)2(35)2(94)21()2(522222xxxxxxx所以94212acax，即的系数得：比较两边9172215141212ccx，35415442bbx，解：根据定理原式可设dxaxA 1 .lnCaxAaxaxdAdxaxA nnaxaxdAdxaxA 2 CaxnAn 111 .11CaxnAn )0(;32 MdxqpxxNMx例例4.3.2 求求 .2212dxxxx dxxxdxxxx3
45、21232222122解解Cxxx 21arctan2)32ln(212 dxxxx3212 .322)22(212dxxxx 2222)2()1()1(232)32(21xxddxxxxxd例例4.3.3 求求.)1(4322dxxx 解解dxxx 22)1(43dxxdxxx 2222)1(14)1(3dxxxxd 22222)1(14)1()1(23dxxx 222)1(14)1(23由例由例4.3.7的递推公式有的递推公式有dxxanI 222)1(11,2Cxxx arctan21)1(22Cxxx arctan2)1(2342原式原式补例补例4 求求.)2(22223dxxxx 2
46、222223)2(221)2(2 xxxxxxx dxxxdxxxdxxxx2222223)2(221)2(2所以所以解解 把被积函数化成分项分式把被积函数化成分项分式dxxxdxxdxxx 2222)2(2212221 222222)2()2(22)2(21xxdxdxxxdCxxarctgx 21221)2ln(2122观察法观察法 补例补例5 求求.)2(22223dxxxx dxxxdxxxdxxxx2222232223)2(2)2()2(2dxxdxxx 21)2(2122222Cxarctgxx 22121)2ln(2122dxxxdxx 21)2()2(222122222dxxx
47、dxxdx 21)2()2(1)2(2121222222补例补例6 求求.443dxxx补例补例7.求求 dxxx)1)(21(12解解 设设)1)(21(12xxxA2121xCBx两边去掉分母两边去掉分母,得得)21)()1(12xCBxxA令令,2/1x得得,5/4A比较两边比较两边2x项系数项系数,得得,02 BA,5/2B即即比较两边常数项比较两边常数项,得得,1CA,5/1C即即dxxx)1)(21(12dxx21154dxxx211251|21|ln52x|1|ln512xCx arctan51Cxxxarctan1)21(ln5122补例补例8.求求 dxxx2)1(1解解 设
48、设2)1(1xxxA2)1(xC1xB两边去掉分母两边去掉分母,得得CxxBxxA)1()1(12令令0 x得得;1A令令1x得得;1C比较两边比较两边2x项系数项系数,得得,0 BA.1B即即于是于是,dxxx2)1(1dxxxx)1(11112|ln x|1|lnxCx111lnxxCx11补例补例9.求求 dxxxxx48345解解.利用综合除法利用综合除法,得得xxxx48345xxxxxx481644322xxxx4816432)2)(2(81642xxxxxxA2xB2xC即即)2()2()2)(2(81642xCxxBxxxAxx令令0 x得得;2A令令2x得得;5B令令2x得得
49、.3Cdxxxxx483454(2xxx225xdxx)23331x221xx4|ln2x|2|ln5xCx|2|ln3例例4.3.5求求 dxxx135解解1:利用综合除法利用综合除法,得得135 xx1322 xxx dxxx135)1(312)1(3122 xxxxx dxxxxxdxdxx11231)1(3122Cxxxx 1ln311ln31323解解2:先将被积函数进行整理先将被积函数进行整理,得得 1)(31133335xxdxdxxx 1311)(313333uuduxuxxdxduuu 11131Cuu 1ln31Cxxxx 1ln311ln31323 .10423522dx
50、xxx 222222221481510424855104235 xxxxxxxx 222222211221145xxdxdxx原式原式 222222222222851uduuudxu 218152852 xarctgxx Cxxx 52412 Cxarctgxxx 2181528722补例10小结小结(1).求有理函数积分时求有理函数积分时,首先要看是否为真分式首先要看是否为真分式.若是假分式若是假分式,应先将其化为多项式与真分式之和应先将其化为多项式与真分式之和,然后将真分式分解为最简分式然后将真分式分解为最简分式,再积分再积分.(2).有些问题除满足一般规律外有些问题除满足一般规律外,还存
