1、第二章第二章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型第一节第一节 列写系统微分方程列写系统微分方程*第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化第三节第三节 传递函数传递函数第四节第四节 对控制系统的基本要求对控制系统的基本要求第五节第五节 信号流程图信号流程图第六节第六节 脉冲响应函数脉冲响应函数1 人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间关系的关系的数学表达式或图形数学表达式或图形称为系统的数学模型。称为系统的数
2、学模型。建立数学模型有两种方法：建立数学模型有两种方法：机理分析法机理分析法和和实验辨识法实验辨识法。机。机理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数据通过整理编写出来。据通过整理编写出来。本章着重讨论机理分析法。机理分析法通常会先把系统划本章着重讨论机理分析法。机理分析法通常会先把系统划分为若干个独立的部件（环节），分别求出每个部件（环节）分为若干个独立的部件（环节），分别求出每个部件（环节）的动态微分方程，然后再合并各
3、部件（环节），得到整个系统的动态微分方程，然后再合并各部件（环节），得到整个系统的微分方程的微分方程 第一节第一节 列写系统微分方程列写系统微分方程2一、列写环节一、列写环节(部件部件)微分方程的目的、方法与步骤微分方程的目的、方法与步骤 目的：通过该方程确定环节目的：通过该方程确定环节(部件部件)的输出量与给定量之的输出量与给定量之 间的函数关系。间的函数关系。方法与步骤：方法与步骤：（1）根据实际情况，确定）根据实际情况，确定环节环节的输入、输出变量。的输入、输出变量。（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出相关的）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出相关的 微分方程。微分方
4、程。（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。（4）整理，输入量项）整理，输入量项=输出量项。输出量项。列写环节微分方程列写环节微分方程3RCiii0012;iRcuuduiiiCRRdt例例 编写运放电路环节微分方程编写运放电路环节微分方程 解解（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为ui、u0（2）根据运放电路原理列微分方程）根据运放电路原理列微分方程（3）消去中间变量并整理，可得该电路微分方程）消去中间变量并整理，可得该电路微分方程02201iduRR CuudtR注注：简单电路可简单电路可3步；数学模型可急略步；数学模型可急略”
5、负号负号”。4*例例 编写编写RC电路环节微分方程电路环节微分方程 解解（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为ui、u0（2）根据电路原理列微分方程）根据电路原理列微分方程（3）消去中间变量，可得该电路微分方程）消去中间变量，可得该电路微分方程00iduRCuudt00iuRiuduiCdt5*例例 编写编写LRC电路环节微分方程电路环节微分方程解解（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为u、uc（2）根据电路原理列微分方程）根据电路原理列微分方程（3）消去中间变量，可得该电路微分方程）消去中间变量，可得该电路微分方程ccdiuRiLudtduicdt22cccdud uuRCLCu
6、dtdt（4）整理）整理22cccd uduLCRCuudtdt6例例 具有质量弹簧阻尼器的部件具有质量弹簧阻尼器的部件（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为F、y（2）根据力学、运动学原理列微）根据力学、运动学原理列微 分方程分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程）消去中间变量，可得电路微分方程dtdyfFdtydaFFFmaffs22Fkydtdyfdtydm22解解7举例举例 编写电枢控制的他励直流电动机部件的微分方程编写电枢控制的他励直流电动机部件的微分方程 解：（解：（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为ud、n （2）根据电路原理列微分方程）根据电路原理列微分方程
7、根据电动机力矩平衡原理列微分方程根据电动机力矩平衡原理列微分方程nceudtdiLRieedddddddmicMdtdnGDM37528（3）消去中间变量，可得电路微分方程）消去中间变量，可得电路微分方程 令令 edemdddcundtdnccRGDdtndGDRL3753752222emdmdddccRGDTRLT3752edmdmcundtdnTdtndTT22则得则得9二、系统动态微分方程的编写二、系统动态微分方程的编写（1）确定系统输入量、输出量；）确定系统输入量、输出量；（2）从输入端开始将系统划分为若干个部件（环节），依有）从输入端开始将系统划分为若干个部件（环节），依有关定理列写
8、各个部件（环节）的方程组；关定理列写各个部件（环节）的方程组；（3）消去中间变量；）消去中间变量；（4）整理。）整理。列写系统微分方程列写系统微分方程10举例举例 列写直流调速系统的微分方程列写直流调速系统的微分方程 11解解系统组成原理方块图系统组成原理方块图12（1）确定输入、输出量为）确定输入、输出量为Ug、n（2）根据力电路、电动机力矩平衡原理列微分方程）根据力电路、电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量并整理得直流调速系统的动态微分方程）消去中间变量并整理得直流调速系统的动态微分方程其中其中 为正向通道电压放大系数为正向通道电压放大系数 为系统开环放大系数为系统开环放大系数n
9、KucundtdnTdtndTTuKuuuKuffedmmdksdfgk221)(gkrkmkmdUKKndtdnKTdtndKTT)1(112efskCKKKK1CeKKKs/113 *三、负载效应与相似性三、负载效应与相似性负载效应负载效应：后一级的部件影响前一级的输出量。后一级的部件影响前一级的输出量。在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划分时没有在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划分时没有考虑考虑负载效应负载效应，即部件（环节）间存在的，即部件（环节）间存在的耦合关系耦合关系，将不，将不能得到系统准确的微分方程。能得到系统准确的微分方程。14RRCC iu ou1ouou举例举例
10、 列写电容、电阻网络的微分方程，其中列写电容、电阻网络的微分方程，其中 为输入电为输入电压，欲求以电容两端电压压，欲求以电容两端电压 为输出的微分方程。为输出的微分方程。iu15分析分析：方法一：方法一：视为两环节串联视为两环节串联 从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：代入上式中得：代入上式中得：11ooiduRCuudt1oooduRCuudt222()2oooid uduRCRCuudtdt16方法二：方法二：视为一个环节视为一个环节列出电路方程列出电路方程 利用拉氏
11、变换，并消除中间变量利用拉氏变换，并消除中间变量,可以解得：可以解得：RRCC iu oui1i2112122221()011()01iouRiii dtCii dtRii dtCCi dtuC222()3oooid uduRCRCuudtdt17 但实际上第一个网络和第二个网络之间存在但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应负载效应（耦（耦合），因此严格来说，它们不能划分为独立的两个环节串联。合），因此严格来说，它们不能划分为独立的两个环节串联。方法一的结果不够准确。方法二的结果准确。方法一的结果不够准确。方法二的结果准确。若在上述两个若在上述两个RC网络间加入电压跟随器进行隔离，消除
12、负载网络间加入电压跟随器进行隔离，消除负载效应，则方法一合理。效应，则方法一合理。18 以上例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学模以上例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学模型却可以是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统型却可以是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称之为称之为相似系统相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量相似量。对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一的数学模型却是不同的。利用相
13、似系统的概念，我们可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系统的理论出现了仿真研究法。统的理论出现了仿真研究法。相似性相似性：19例例2-6 参向阅参向阅(p17)具有相同的微分方程！具有相同的微分方程！20 对于部分的非线性系统来说，是对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下在一定的条件下可近似可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化。这样做会使
14、问题简化，给控制系统的研究工作带来很大这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。*第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化21线性化原理：线性化原理：设非线性方程为设非线性方程为 ，工作点为，工作点为 ，其各阶，其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数当当 很小时，忽略二次以上导数项很小时，忽略二次以上导数项0020002()1()()()()()()2!rrdf rd f ryf rrrrrdrdr000()()()()rdf ry
15、f rrrdr()yf r00()yf r0()rr22或可表达为或可表达为简写为简写为 式中式中这就是非线性化方程，这种线性化方法叫做这就是非线性化方程，这种线性化方法叫做小偏差方法小偏差方法。注意注意：1.非线性方程必为连续。非线性方程必为连续。原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非法。这类非 线性称为线性称为本质非线性本质非线性。2.K值与工作点的位置有关。值与工作点的位置有关。3.考虑增量考虑增量X较小。较小。)(00rrkyyrkykry 0)(rdrrdfk 23在经典控制理论中，传递函数是重要的一种数学模
16、型在经典控制理论中，传递函数是重要的一种数学模型。第三节第三节 传递函数传递函数rbbaaaammmnnnnnndtrdydtdydtyddtyd001111一、传递函数的定义一、传递函数的定义 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。号的拉氏变换之比。线性定常系统微分方程的一般表达式线性定常系统微分方程的一般表达式:24 在在初始情况为零初始情况为零时，两端时，两端取拉氏变换取拉氏变换：整理得整理得：上式中上式中Y(s)输出量的拉氏变换；输出量的拉氏变换；R(s)输入量的输入量的 拉氏变换；拉氏变换；W(s)为系统
17、或环为系统或环节的传递系数。节的传递系数。11101110()()/()mmmmnnnnG sY sR sb sbsbsba sasa sa)()()()()(0011sRbsRbssyasysasysamnnnn25例例29 图图为集成元件和R、C组成的运算放大器，求其传递函数。解解 对于对于R、L、C组成的电路或运算放大器，用算子阻抗方法求传递函数组成的电路或运算放大器，用算子阻抗方法求传递函数较方便。该电路输入支路和反馈支路的算子阻抗分别为较方便。该电路输入支路和反馈支路的算子阻抗分别为CsRsZ1)(2211)(RsZ由由模拟电路模拟电路，理想运算放大器的输入阻抗为无穷大，可视为，理想
18、运算放大器的输入阻抗为无穷大，可视为“虚虚断断”，同时，同时，B点可视为点可视为“虚地虚地”，所以，所以 )()()()(201sZsUsZsUi26故有故有 TssCsRCsRsZsZsUsUsGi11)()()()()(12120CR2CRT1、注意注意，传递函数是一种数学模型，传递函数是一种数学模型，往往不赋予往往不赋予“正、负号正、负号”，所以上式所以上式中的中的“负号负号”常省略；传递函数有无量纲，由其输入量和输出量决定。由于常省略；传递函数有无量纲，由其输入量和输出量决定。由于运算放大器的输入量和输出量都是电压（运算放大器的输入量和输出量都是电压（V），所以上式的传递函数是无量纲）
19、，所以上式的传递函数是无量纲的。的。27例例 求他励直流电动机的传递函数。求他励直流电动机的传递函数。解解 以电枢电压为输入量，转速为输出量的微分方程已由式（以电枢电压为输入量，转速为输出量的微分方程已由式（222）给出）给出edmmdCundtdnTdtndTT22在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换 edmmdCsUsNsTsTT)()1(2)1(1)()()(2sTsTTCsUsNsGmmded他励直流电动机的传他励直流电动机的传函函28例例 图是单闭环直流电动机调速系统原理图，求系统的传递函数。图是单闭环直流电动机调速系统原理图，求系统的传递函数。2
20、9解解 本章笫一节本章笫一节己求出该系统的微分方程式为22(1)(1)(1)dmmgkkkT TTd ndnKnuKdtKdtK在初始状态为零的条件下，对上式两边取拉氏变换有在初始状态为零的条件下，对上式两边取拉氏变换有2()()()()(1)(1)(1)dmmgkkkT TTKs n ssn sn susKKK2(1)()()(1)(1)(1)dmmgkkkT TTKssn susKKK或 2()()()(1)gdmmkn sKsusT T sT sK系统的传递函数为系统的传递函数为 30 1.传递函数的概念只适应于单输入传递函数的概念只适应于单输入-单输入线性定常系统。单输入线性定常系统。
21、2.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。3.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。二、传递函数主要特点二、传递函数主要特点4.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。5.分母称为特征多项式；分母称为特征多项式；令令特征多项式等于特征多项式等于0，称为，称为系统系统特征特征方程方程式；式；系统系统特征特征方程方程式的根，为式的根，为系统系统特征根，亦称为特征根，亦称为系统系统极点。极点。31 1 1、
22、传递函数的传递函数的多项式比的多项式比的表达形式表达形式 2.2.传递函数的传递函数的零极点零极点表示形式表示形式 3.3.传递函数的传递函数的时间常数时间常数表示形式表示形式njjmiignnnmmmnmpszsKcscscsdsdsdsabsG1101110111)()()(njimiinnnnmmmmsTsKsesesesfsfsfabsG1111111100)1()1(11)(传递函数三种表达式传递函数三种表达式三、三、32例例 己知系统的传递函数己知系统的传递函数 24112102sG sss对应的零极点表达式和时间常数表达式。对应的零极点表达式和时间常数表达式。解解 零极点的形式为
23、零极点的形式为211444135111126632ssssss 24112102sG sss 224141410.51210221 312 651sssG sssssss时间常数表达式为时间常数表达式为33 无论什么样的系统，它的传递函数都是由一些基本因子相无论什么样的系统，它的传递函数都是由一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。图来进行研究，这是研究系统的一种重
24、要方法。（1）比例环节比例环节（放大环节（放大环节/无惯性环节）无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。0tKXr(s)Xc(s)KsRsYsG)()()(r(t)y(t)y(t)/r(t)四、典型环节的传递函数四、典型环节的传递函数34（2）惯性环节惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。输入量的变化，存在时间上的延迟。（3）积分环节积分环节 特点：输出量随时间成正比地无限增加。特点：输出量随时间成正比地无限增加。Xr(S)Xc
25、(S)11Ts11)()()(TssRsYsG0tr(t)/y(t)y(t)r(t)tr(t)0 Y(s)R(s)SKssG1)(y(t)y(t)/r(t)35（4）振荡环节振荡环节 特点：振荡的程度与阻尼系数有关。特点：振荡的程度与阻尼系数有关。02222)(nnnsssGR(s)Y(s)2222nnnSS121)(22TssTsGnt=0.2=0.5=1y(t)/r(t)36（5）微分环节微分环节 特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势。的变化趁势。实践中，理想的微分环节难以实现。实践中，理想的微分环节难以实现。012)(
26、1)()(22sssGssGssGty(t)(理想理想)y(t)(实际实际)y(t)/r(t)37（6 6）延迟环节延迟环节（时滞环节、滞后环节）（时滞环节、滞后环节）特点：输出信号经过一段延迟时间特点：输出信号经过一段延迟时间后，可完全复现输后，可完全复现输入信号。入信号。tsesG)(r(t)y(t)y(t)/r(t)0R(s)Y(s)se38 “结构图结构图”是是“动态结构图动态结构图”的简称，也称为的简称，也称为“方框图方框图”。因为该图是将系统。因为该图是将系统 中中各部件的功能及其相互关系用图形表示，所以，又称它为控制系统（或环节）各部件的功能及其相互关系用图形表示，所以，又称它为
27、控制系统（或环节）图形化的一种数学模型，是分析、设计系统时最常使用的一种数学模型之一。图形化的一种数学模型，是分析、设计系统时最常使用的一种数学模型之一。第四节第四节 系统结构图系统结构图及其及其等效变换等效变换一、结构图的组成要素及绘制方法一、结构图的组成要素及绘制方法1、组成要素、组成要素系统（或环节）的结构图，由系统（或环节）的结构图，由4种基本图形组成。种基本图形组成。（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。（2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。（3）比较点（相加点）：对两
28、个以上信号加减运算。）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。（4）方框：方框图内输入环节的传递函数。）方框：方框图内输入环节的传递函数。39 2.动态结构图的绘制步骤：动态结构图的绘制步骤：（1）确定系统输入量与输出量。）确定系统输入量与输出量。（2）将复杂系统划分为若干个典型环节。）将复杂系统划分为若干个典型环节。（3）求出各典型环节对应的传递函数。）求出各典型环节对应的传递函数。（4）作出相应的结构图。）作出相应的结构图。（5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。起来。40 例例 发电机励磁控制系统发电机励磁控制系统,
29、试绘制该系统的结构图。试绘制该系统的结构图。41 解解 系统是由五个环节组成：比较环节、放大环节环节、励磁回路环节、系统是由五个环节组成：比较环节、放大环节环节、励磁回路环节、发电机电枢环节和反馈环节。分别求出这些环节的微分方程，并在零初始发电机电枢环节和反馈环节。分别求出这些环节的微分方程，并在零初始条件下进行拉氏变换，求出各环节的传递函数。条件下进行拉氏变换，求出各环节的传递函数。（1）比较环节）比较环节 （2）放大环节）放大环节（3）励磁回路环节）励磁回路环节（4）发电机电枢环节）发电机电枢环节（5）反馈环节）反馈环节 sUsUsUfi sUKsUpc sUsTRsIcfff11 sIK
30、sUfgg sIZUsUllg sUKsUff4243发电机励磁控制系统结构图按信号顺序连接按信号顺序连接44例例2-14 绘制绘制直流调速直流调速系统的结构图系统的结构图45解解 系统是由系统是由4个环节组成：比较环节、放大环节环节、个环节组成：比较环节、放大环节环节、电机环节和反馈环节电机环节和反馈环节46 强调指出：强调指出：同一个系统，划分的环节不同，结构图也会不同。也就是说，对于一个系统，同一个系统，划分的环节不同，结构图也会不同。也就是说，对于一个系统，结构图并不是唯一的。但对同一个系统绘出的不同结构图中，系统输入信号结构图并不是唯一的。但对同一个系统绘出的不同结构图中，系统输入信
31、号与输出信号之间的传递关系，即系统的传递函数，一定是相同的。与输出信号之间的传递关系，即系统的传递函数，一定是相同的。47二、结构图的等效变换二、结构图的等效变换 分析系统时往往要对结构图进行等效变换。变换所遵循的原则是，变换分析系统时往往要对结构图进行等效变换。变换所遵循的原则是，变换前后其输入前后其输入-输出变量间的传递关系必须保持不变。输出变量间的传递关系必须保持不变。（一）环节的合并（一）环节的合并 法则一法则一 环节串联，传递函数相乘。环节串联，传递函数相乘。48 法则二法则二 环节并联，传递函数相加。环节并联，传递函数相加。49 法则三法则三 反馈连接的等效传递函数。反馈连接的等效
32、传递函数。50（二）信号相加点及分支点的移动（二）信号相加点及分支点的移动 法则四法则四 相加点从环节输入端移到输出端相加点从环节输入端移到输出端 法则五法则五 相加点从环节输出端移到输入端相加点从环节输出端移到输入端 51法则六法则六 分支点从环节输入端移到输出端分支点从环节输入端移到输出端 法则七法则七 分支点从环节输出端移到输入端分支点从环节输出端移到输入端 52法则八法则八 两个分支点、相加点间可以相互换位。相加点和分支点两个分支点、相加点间可以相互换位。相加点和分支点之间一般不能换位。之间一般不能换位。表表2-1 列出了结构图等效变换的基本法则。列出了结构图等效变换的基本法则。53三
33、、系统结构图的化简三、系统结构图的化简 控制系统的原始结构图，往往是比较复杂的，不方便对系统进行分析研究，控制系统的原始结构图，往往是比较复杂的，不方便对系统进行分析研究，因此，必须对原始结构图先进行化简。化简的目的是，能容易得到系统有因此，必须对原始结构图先进行化简。化简的目的是，能容易得到系统有关的各种传递函数。关的各种传递函数。例例 简化图所示的系统结构图，求系统的传递函数。简化图所示的系统结构图，求系统的传递函数。54解解55四、闭环系统的传递函数四、闭环系统的传递函数 闭环系统的传递函数有闭环系统的传递函数有5种，分别是闭环系统的开环传递函数；给定输入种，分别是闭环系统的开环传递函数
34、；给定输入作用下的闭环传递函数和偏差传递函数；扰动输入作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数和偏差传递函数；扰动输入作用下的闭环传递函数和偏差传递函数。和偏差传递函数。上面前指出，系统的原结构图往往是比较复杂，因此，难于直接求出系统上面前指出，系统的原结构图往往是比较复杂，因此，难于直接求出系统的各种传递函数。于是在求取传递函数之前，应首先接前面方法进行化简。的各种传递函数。于是在求取传递函数之前，应首先接前面方法进行化简。通常化简直到具有图所示的通常化简直到具有图所示的“典型结构典型结构”后，才能容易求出相关的传递函数。后，才能容易求出相关的传递函数。系统的典型结构图系统的典型结构图561
35、.闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数，常简称为闭环系统的开环传递函数，常简称为“系统开环传递函数系统开环传递函数”。其定义是，其定义是，主反馈信号与偏差信号之比，或者说，前向通道传递函数与主反馈通道主反馈信号与偏差信号之比，或者说，前向通道传递函数与主反馈通道传递函数的乘积，用表示，即传递函数的乘积，用表示，即 sHsGsGsEsBsGk21若系统为单位反馈（1sH），则系统的开环传递函数就是前向通道的传递函数。572给定输入作用下的闭环传递函数给定输入作用下的闭环传递函数 系统输出信号与输入信号之比，称为给定输入作用下的系统闭环传递函数，系统输出信号与输入信
36、号之比，称为给定输入作用下的系统闭环传递函数，用用 表示。典型结构图中，要先令扰动输入为表示。典型结构图中，要先令扰动输入为0，只考虑给定输入作用，只考虑给定输入作用下的情况，如图所示。下的情况，如图所示。sr由给定输入作用下系统闭环传递函数的定义，可写出由给定输入作用下系统闭环传递函数的定义，可写出 sGsGsGsHsGsGsGsGsRsYskrr11212121由上式，可得系统输出量的拉氏变换式由上式，可得系统输出量的拉氏变换式 sRsGsGsGsRsHsGsGsGsGsRssYkrr11212121583给定输入作用下的偏差传递函数给定输入作用下的偏差传递函数 系统偏差信号与输入信号之比
37、，称为系统在给定输入作用下的偏差传递函数系统偏差信号与输入信号之比，称为系统在给定输入作用下的偏差传递函数.在典型结构图中，在典型结构图中，视为输出信号，视为输出信号，给定输入作用下偏差输出的结构图如图所示。如图所示。由偏差传递函数定义，可得由偏差传递函数定义，可得 sGsHsGsGsRsEskrer111121由上式，给定输入作用下系统偏差的拉氏变换式为由上式，给定输入作用下系统偏差的拉氏变换式为 sRsGsRsHsGsGsRssEkerr111121594扰动输入作用下的闭环传递函数扰动输入作用下的闭环传递函数系统输出信号与扰动输入信号之比，称为扰动输入作用下的闭环传递函数。系统输出信号与
38、扰动输入信号之比，称为扰动输入作用下的闭环传递函数。典型结构图中，令输入信号为典型结构图中，令输入信号为0，只考虑扰动输入作用的情况，扰动输入，只考虑扰动输入作用的情况，扰动输入单独作用下系统典型的结构图如图所示。单独作用下系统典型的结构图如图所示。sGsGsHsGsGsGsNsYsknn112212依传递函数定义有 扰动输入下的系统输出的拉氏变换式 sNsGsGsNsHsGsGsGsNssYknn112212605.扰动输入作用下的偏差传递函数扰动输入作用下的偏差传递函数 系统偏差信号与扰动输入信号之比，称为系统的扰动输入下的偏差传递函数。系统偏差信号与扰动输入信号之比，称为系统的扰动输入下
39、的偏差传递函数。典型结构图中典型结构图中,干扰视为输入信号，误差视为输出信号，等效为图。干扰视为输入信号，误差视为输出信号，等效为图。扰动输入下的偏差传递函数为 sGsHsGsHsGsGsHsGsNsEskneen112212扰动输入下的系统偏差信号的拉氏变换式 2212()()()()()()()()()1()()()1()enenkG s H sG s H sEss N sN sN sG s G s H sG s 61*例例62结论：结论：)(1)(2132321HHGGHGGGsGk解解输入作用下闭环传函输入作用下闭环传函!63*例例64143232343211)(HGGHGGHGGGG
40、sGk解解65例例2-16(p37)己知系统结构图如图所示。（）扰动输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数（）扰动输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数。图2-42求求：（）系统开环传递函数系统开环传递函数（）给定输入信号作用下给定输入信号作用下 系统的闭环传递函数和偏差传递函数；系统的闭环传递函数和偏差传递函数；66解解:令令()0N s 12332312()1()kGG G HG sG G HH1.系统开环传递函数系统开环传递函数2.给定输入信号作用下给定输入信号作用下系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数和偏差传递函数；和偏差传递函数；容易写出容易写出？！673.扰动输入信
41、号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数扰动输入信号作用下系统的闭环传递函数和偏差传递函数。68化简化简69容易写出容易写出70一、基本概念及常用术语一、基本概念及常用术语 信号流程图信号流程图简称信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法。简称信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法。第五节第五节 信号流程图信号流程图设系统的描述方程为设系统的描述方程为 其中其中 为输入变量，为输入变量，为输出变量，为输出变量，a为两个变量间的传输。为两个变量间的传输。该系统可以用信号流图表示为：该系统可以用信号流图表示为：21axx 1x2x71系统信号流图系统信号流图,如同如同网络图网络图72常用术语
42、：常用术语：1.节点节点 表示信号表示信号/变量。变量。（1）源节点源节点 只有输出量的节点。只有输出量的节点。（2）汇节点汇节点 只有输入量的节点。只有输入量的节点。（3）混合节点混合节点 既有输入又有输出的节点。既有输入又有输出的节点。732.支路支路 连接两节点间的有向线段。连接两节点间的有向线段。3.支路增益支路增益 表示信号间的因果关系。表示信号间的因果关系。4.通路通路 从一个节点到另一节点的路径，其间每个节点只通过从一个节点到另一节点的路径，其间每个节点只通过一次。一次。（1）前向通路前向通路 从源点到汇点从源点到汇点（2）闭通路闭通路 起点与终点为同一点起点与终点为同一点5.通
43、路增益通路增益 通路中所有支路增益之积通路中所有支路增益之积6.不接触回路不接触回路 回路之间没有公共节点回路之间没有公共节点74二、如何作信号流图二、如何作信号流图方法一方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。例例1 绘制二级绘制二级RC滤波电路的信号流图。滤波电路的信号流图。解解（1）列写系统微分方程组）列写系统微分方程组R1R2C1C2i1i2i3dticuRuuidticuiiiRuui2122323323312121111u2u1u375（2）对上述微分方程作拉氏变换）对上述微分方程作拉氏变换)(1)(1)()()()
44、(1)()()()(1)()()(32222332133121311sIscsURsUsUsIsIscsUsIsIsIRsUsUsI76（3）对上述代数方程作信号流图）对上述代数方程作信号流图（4）综合作出系统信号流图）综合作出系统信号流图11Ru1i1i2u2i3u3u321Rsc11sc21-1-1-1u1i1u211R-1u2i3u321R-1i1i2i3i2u2i3u3-1sc21sc11sc21sc1177方法二方法二：由系统动态结构图变形得来。：由系统动态结构图变形得来。变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。GH-Y(s
45、)R(s)R(s)G-HY(s)78梅逊公式梅逊公式：T闭环传递函数闭环传递函数特征式特征式其中其中 为所有不同回路的增益之和为所有不同回路的增益之和 每两个互不接触回路增益乘积之和每两个互不接触回路增益乘积之和 每三个互不接触回路增益乘积之和每三个互不接触回路增益乘积之和 每每m个互不接触回路增益乘积之和个互不接触回路增益乘积之和nkkkTT11mmLLLL)1(1321三、由梅逊公式求传递函数三、由梅逊公式求传递函数79 n 前向通路的条数前向通路的条数 第第K条前向通路的增益条前向通路的增益 第第K条前向通路的余因子，在条前向通路的余因子，在中除去与第中除去与第K条前向条前向通路相接触的
46、回路增益后剩余的通路相接触的回路增益后剩余的值。值。例例 用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。kTk80解解：（：（1）找出上图中所有的前向通路）找出上图中所有的前向通路 只有一条前向通路只有一条前向通路 （2）找出系统中存在的所有的回路）找出系统中存在的所有的回路 共有三个回路，三个回路的传输之和为共有三个回路，三个回路的传输之和为 （3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程式为：故系统的特征方程式为：43211GGGGT 74321543632GGGGGGGGGGG743215
47、43632111GGGGGGGGGGGL81（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子1=1。（5）故该系统的传递函数为：）故该系统的传递函数为：743215436324321111)()(GGGGGGGGGGGGGGGTTsRsY82注注;系统系统(动态动态)结构图与流程图有一一对应关系，结构图与流程图有一一对应关系，因此，因此，梅逊公式可直接在系统梅逊公式可直接在系统(动态动态)结构图上应用。结构图上应用。例例2-20(P44)83例例2-2184单位脉冲信号：单位脉冲信号：系统系统r(t)单位脉冲函数单位脉冲函数y(t)脉冲响应函数脉冲响应函数)(t00t0t1)(dtt*第六节第六节 脉冲响应函数脉冲响应函数85分析：分析：其拉氏变换其拉氏变换R(s)=1。由由 可知可知结论：系统或环节的单位脉冲响应函数的拉氏变换即为系统或结论：系统或环节的单位脉冲响应函数的拉氏变换即为系统或环节的传递函数。环节的传递函数。)()(ttr)()()(sRsYs)()()()(ssRssY86第第 2 章章 完完87
