1、 在生产实践和科学研究中,除了应用已经学过的直线知识外,还常常用到圆、椭圆、双曲线和抛物线等曲线。例如,油罐车上油罐的封头和人造地球卫星的轨道等都是椭圆形的;发电厂里冷却塔的剖面是双曲线形的;物体平抛时的运行轨迹是抛物线等。第一节曲线与方程一、曲线与方程的关系在第九章里研究过直线的各种方程,讨论了直线和二元一次方程的关系,下面进一步研究一般曲线和方程的关系。平面直角坐标系中第一、三象限角平分线的方程是x-y=0,即如果点M(x0,y0)是这条直线上任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即x0=y0,那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解;反过来,如果(x0,y0)是方程x-y=0的解,
2、即x0=y0,那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等,它一定在这条平分线上,如图10-1所示。又如,函数y=ax2(a0)的图像是关于y轴对称的抛物线,如图10-2所示,这条抛物线是所有以方程y=ax2(a0)的解为坐标的点组成的,即如果M(x0,y0)是抛物线上的点,那么(x0,y0)一定是这个方程的解;反过来,如果(x0,y0)是方程y=ax2(a0)的解,那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。这样,就说y=ax2(a0)是这条抛物线的方程。一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:1)曲线上点的坐标都是这个方程
3、的解;2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。由曲线的方程的定义可知,如果曲线C的方程是,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是。由于曲线与方程之间具有这样的对应关系,因此可以用代数的方法来研究几何问题。例1 判定点A(-3,4)和B(3,5)是否在曲线x2+y2=25上。解把点A的坐标代入所给方程,得(-3)2+42=25,这就是说,点A的坐标满足所给方程,所以点A(-3,4)在曲线x2+y2=25上。把点B的坐标代入所给方程,得32+5225,这就是说,点B的坐标不满足所给方程,所以点B(3,5)不在曲线x2+y2=25上。
4、二、求曲线的方程下面讨论根据条件求曲线的方程。例2 设A、B两点的坐标是A(-1,-1),B(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。解设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点(如图10-3),按题意得MA=MB。根据两点间的距离公式,得 图10-3化简,得x+2y-7=0证明方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程:首先,由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标都是方程x+2y-7=0的解;其次,设点M1的坐标(x1,y1)是方程x+2y-7=0的解,即 点M1到A、B的距离分别是 所以M1A=M1B 即点M1在线段AB的垂直平分线上。由以上证明可知,方程x+2y-7=0是
5、线段AB的垂直平分线的方程。图 10-4例3 两个定点A、B之间距离为2r,动点M与A、B两点的连线互相垂直,求动点M的轨迹方程。解取A、B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图10-4),则A点坐标为(-r,0),B点坐标为(r,0)。设动点M的坐标为(x,y),由题意知MAMB,即AMB是直角三角形。由勾股定理,得MA2+MB2=AB2 由两点间的距离公式,得 化简得x2+y2=r2 (xr)这就是动点M 的轨迹方程。练一练:上例中,取A、B所在直线为x轴,A为原点,建立直角坐标系,求动点M的轨迹方程,并与已求得的方程比较,会得到什么结论?第二节圆一、圆的标准方程我们知
6、道,平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径。图10-5 根据圆的定义,求圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程,如图10-5所示,设M(x,y)是圆上任意一点,由已知条件,得 由两点间的距离公式,得 两边平方,得 式(10-1)就是圆心在点C(a,b),半径为r的圆的方程,把它叫做圆的标准方程。特别地,当a=b=0时,式(10-1)成为 这就是以原点为圆心,r为半径的圆的方程。把式(10-1)展开,得 设-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,代入上式,得 这个方程叫做圆的一般方程。圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式
7、上的特点:(1)x2与y2的系数相等,且不等于0(2)不含xy项(即xy项的系数等于0)将式(10-3)配方,得 1)当D2+E2-4F 0时,式(10-3)表示以为圆心,以为半径的圆;2)当D2+E2-4F=0时,式(10-3)表示一个点,有时也称它为点圆;3)当D2+E2-4F0,所以方根取正值),于是 所求支柱A2P2长度为3.86m。第三节椭圆一、椭圆的定义和标准方程下面先介绍一种画椭圆的方法。取一根适当长的细绳,在平板上将绳的两端分别固定在F1、F2两个点上(F1F2小于绳的长度)。如图10-8所示,用笔尖绷紧细绳,在平板上慢慢移动一周,就可以画出一个椭圆。图10-8从上面的画图过程
8、可以看出,椭圆是与点F1、F2的距离的和等于定长(即这条绳长)的点的集合。把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。根据椭圆的定义,我们来求椭圆的方程。如图10-9所示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系Oxy。图10-9设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c0)。那么,焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设点M与F1和F2距离的和为常数2a,根据椭圆的定义,得 由两点间距离公式,得 移项,两边平方,得 整理,得a=a
9、2-cx两边平方,得 整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由于2a2c,得a2-c20,令b2=a2-c2代入上式,得 两边同除以a2b2,得 图10-10这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)和F2(c,0),这里c2=a2-b2。如果使点F1、F2在y轴上,点F1、F2的坐标分别为F1(0,-c)、F2(0,c),如图10-10所示,a、b的意义同上,所得方程变为 这个方程也是椭圆的标准方程,其中c2=a2-b2。例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),椭圆上一点到两焦点距离的和
10、等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且椭圆经过点。解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,因此 所以所求椭圆的标准方程为 (2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以b2=a2-c2=10-4=6因此,所求椭圆的标准方程为 二、椭圆的性质和图像在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,也就是说,通过对曲线方程的讨论,得到曲线的形状、大小和位置,下面我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质。1.对称性在曲线的方程里,如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线
11、上时,它关于x轴的对称点P(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称。同理,如果以-x代x方程不变,那么曲线关于y轴对称;如果同时以-x代x,以-y代y方程不变,那么曲线关于原点对称。2.范围讨论方程中x、y的取值范围,可以得到曲线在坐标系中的范围。由方程+=1可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 即xa,yb这说明椭圆位于直线 x=a 和y=b 所围成的矩形里(如图10-11)。图 10-113.顶点研究曲线上某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=b,这说明B1(0,-b)、B2(
12、0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y=0,得x=a,即A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a、2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。观察图10-11,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即 在RtOB2F2中,OF22=B2F22-OB22,即c2=a2-b2。这就是我们令b2=a2-c2的几何意义。4.离心率椭圆的焦距与长轴的长的比,叫做椭圆的离心率,通常用e表示,即e=。
13、因为ac0,所以0e0),那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0)。图10-15设M(x,y)为双曲线上任意一点,它到两焦点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(a0),那么根据双曲线的定义,得 根据两点间的距离公式,得 移项,得 两边平方,得 化简,得 两边平方,得 整理,得 由双曲线定义可知,2c2a,即ca,所以c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入上式得 两边同除以a2b2,得 这个方程叫做双曲线的标准方程,焦点坐标为 若双曲线的焦点在 y轴上,即焦点坐标为,用类似的方法可得到它的方程为 6),a、b、c仍满足 c2=a2+b2。图10-16这个方程是焦点在
14、y轴上的双曲线的标准方程(如图10-1例1 已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。解因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 因为2a=6,2c=10所以a=3,c=5所以b2=52-32=16因此所求双曲线的标准方程为 例2 设双曲线的焦点是F(0,7),a=2,求双曲线的标准方程。解因为双曲线的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 由已知a=2,c=7,则 故双曲线的标准方程是 例3 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)已知A、B两地相距8
15、00m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程。解 (1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上。(2)如图10-17所示,建立直角坐标系Oxy,使A、B两点在x轴上,并且原点为线段AB的中点。设爆炸点P的坐标为(x,y),则 即2a=680,a=340又AB=800所以2c=800,c=400 图 10-17因为PA-PB=6800所以x0 所求双曲线方程为 上例说明,利用两个不同的观测点测得炮弹爆炸的时间差,可以确定爆炸点所在的曲线的方程,但不能确定爆炸
16、点的准确位置,如果再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置,这是双曲线的一个重要应用。想一想:如果A、B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点应在什么曲线上。二、双曲线的性质和图像我们只对中心在原点,焦点在x轴上的双曲线来研究它的几何性质,对于焦点在y轴上的双曲线 我们可以用类似的方法来讨论。1.对称性双曲线关于每一个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。2.范围由双曲线的标准方程可知,双曲线上点的坐标(x,y)都适合不等式
17、1,即x2a2,得x-a或xa。可见,双曲线的一支在直线x=-a的左边,另一支在直线x=a的右边,而在直线x=-a和x=a之间,没有双曲线的点。3.顶点在双曲线的标准方程里,令y=0,得x=a。因此,双曲线和 x 轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0)。因为 x 轴是双曲线的对称轴,所以双曲线和它的对称轴有两个交点。A1、A2即为双曲线的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴的长。令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根,说明双曲线和y轴没有交点,在y轴上取点B1(0,-b)和B2(0,b),线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长 图 10-18等于2
18、b,b叫做双曲线的虚半轴的长。观察图10-18,在RtA2OB2中,即A2B22=a2+b2 于是A2B2=c,这就是我们令c2-a2=b2的几何意义。4.渐近线经过A1、A2作y轴的平行线x=a,经过B1、B2作x轴的平行线y=b,四条直线围成一个矩形,矩形的两条对角线所在的直线的方程是y=x(图 10-19),由图可以看出,双曲线-=1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。图 10-19我们把两条直线y=x叫做双曲线-=1 (a0,b0)的渐近线。5.离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=,叫做双曲线的离心率,因为ca0,所以双曲线的离心率e1,由等式c2-a2=b2,可得 因此,e越大,也
19、越大,即渐近线y=x的斜率的绝对值也越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。例4 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴的长和虚半轴的长,焦点坐标、离心率、渐近线方程。解把方程化为标准方程 由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,故 焦点在y轴上,焦点坐标为 F1(0,-5),F2(0,5)。离心率e=渐近线方程为x=y,即y=x。例5 作出双曲线x2-4y2=16的图像。解先将方程化为标准方程 得a=4,b=2,所以双曲线的顶点为A1(-4,0),A2(4,0)。作出直线x=4和y=2所围成的矩形,画出它的对角线并延长,即得渐近线。由关系
20、式y=,列表(先在第象限里取点)如下:用描点法作出第象限内的图像,再根据双曲线的对称性、顶点坐标和渐近线的位置,作出双曲线的图像(如图10-20)。图 10-20由上例我们可总结出作双曲线图像的方法步骤如下:1)将方程化为标准方程-=1;2)作出由直线x=a与y=b所围成的矩形,并画出它的对角线所在直线,即双曲线的渐近线;3)根据关系式y=,给出满足xa的几个x值,求出相应的y值,列表;4)用描点法作出双曲线在第象限内的图形;5)利用双曲线的对称性及其渐近线的位置关系画出双曲线例6 已知双曲线的焦点为(,0),渐近线方程为y=x,求双曲线的标准方程。解设所求双曲线的标准方程为-=1。由已知条件
21、,得 解此方程组,得 于是所求双曲线的标准方程为 三、等轴双曲线在双曲线-=1中,如果a=b,那么双曲线的方程为x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a,我们把实轴和虚轴的长相等的双曲线,叫做等轴双曲线。这时,因为a=b,双曲线的渐近线方程为 由于渐近线y=x是直线x=a和y=a所围成正方形的对角线所在直线,所以等轴双曲线的两条渐近线是互相垂直的(如图10-21)。图10-21类似地,由双曲线-=1,当a=b时,得 它也是等轴双曲线,只是它的实轴在y轴上,虚轴在x轴上。第五节抛物线一、抛物线的定义和标准方程 把一根直尺固定在图板上直线l的位置(如图10-22),把一块三角尺的一条直角边紧
22、靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上画出一条曲线。从图10-22可以看出,这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等,这条曲线就是我们常见的抛物线。平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。下面我们根据抛物线的定义,来求抛物线的标准方程。如图10-23所示,取过点F且垂直于l的直线为x轴,
23、垂足为K,线段KF的中点为原点,建立直角坐标系xOy。设|KF|=p(p0),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为x=-。设点M(x,y)是抛物线上任意一点,作 MNl,垂足为N,则N点的坐标为,由抛物线的定义知|MF|=|MN|根据两点间的距离公式,得 两边平方,得x2-px+y2=x2+px+化简得y2=2px (p0)这个方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是,它的准线方程是x=-。类似地,若把抛物线的焦点选择在x轴的负半轴、y轴的正半轴或y轴的负半轴上,还可得出如下三种形式的标准方程:这四种抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程以及图形见表10-1。表10-
24、1表10-1例1 (1)求抛物线y2=6x的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。解 (1)因为2p=6,则p=3,且焦点在x轴上,所以焦点坐标是,准线方程是x=-;(2)因为焦点在y轴的负半轴上,并且-=-2,则p=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y。二、抛物线的性质和图像我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p0)(10-6)来研究它的几何性质。1.对称性以-y代y,式(10-6)不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。2.范围因为p0,由式(10-6)可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x0。所
25、以这条抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,开口向右。3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。在式(10-6)中,当y=0 时,x=0,因此,式(10-6)的抛物线顶点就是坐标原点。4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准钱的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,由抛物线的定义可知,e=1。类似地,可以知道:抛物线y2=-2px(p0)关于x轴对称,顶点在原点,图像在y轴左侧,开口向左;抛物线x2=2py(p0)关于y轴对称,顶点在原点,图像在x轴的上方,开口向上;抛物线x2=-2py(p0)关于y轴对称,顶点在原点,图像在x轴下方
26、,开口向下。例2求以原点为顶点,对称轴重合于坐标轴,并且经过点M(-2,5)的抛物线的标准方程。解因为抛物线顶点在原点,对称轴可能是x轴,也可能是y轴,而点M(-2,5)在第象限,所以抛物线是开口向上或开口向左两种情况,设标准方程为(1)设抛物线标准方程为x2=2py(p 0),因为点M(-2,5)在抛物线上,所以有(-2)2=2p5,得p=。所以所求抛物线方程为x2=y(2)设抛物线标准方程为y2=-2px(p0),因为点M(-2,5)在抛物线上,所以有 即p=所以所求抛物线的标准方程为y2=-x。例3求抛物线2x-y2=0的焦点坐标和准线方程,并画出图像。解将方程2x-y2=0化为y2=2
27、x。由2p=2,得p=1所以焦点坐标为,准线方程为x=-。由性质知,抛物线y2=2x的顶点在原点,对称轴为x轴,开口向右,根据关系式y=(x0)(先在第象限内取点)列表:描出第象限内的点,再根据对称性,即可画出抛物线y2=2x的图像(如图10-24)图 10-24由上例可以看出抛物线的画法步骤如下:(1)将所给抛物线方程化为标准方程;(2)根据标准方程,判断抛物线的开口方向和对称轴;(3)取某个象限内抛物线上x、y的对应值列表;(4)描出该象限内的点,并根据对称性,画出抛物线的图像。第六节坐标轴的平移一、坐标轴平移公式我们知道,点的坐标、曲线的方程都和坐标系的选择有关,在不同的坐标系中,同一个
28、点有不同的坐标,同一条曲线有不同的方程,图10-26例如,图10-26中,圆O的圆心O点,在平面直角坐标系Oxy 中的坐标是(3,2),圆O的方程是(x-3)2+(y-2)2=52,如果取坐标系Oxy(OxOx,OyOy),那么在这个坐标系中,圆心和圆方程就分别变成(0,0)和x2+y2=52。图10-27下面研究在平移情况下,同一个点在两个不同的坐标系中坐标之间的关系。设点O在原坐标系Oxy中的坐标为(h,k)。以O为原点平移坐标轴,建立新坐标系Oxy,设平面内任一点M在原坐标系中的坐标为(x,y),在新坐标系中的坐标为(x,y),点M到x轴、y轴的垂线的垂足分别为M1、M2,从图10-27
29、中可以看出x=OO1+O1M1=h+xy=OO2+O2M2=k+y因此,点M的原坐标、新坐标之间有下面的关系x=x+h,y=y+k(10-7)或者写成x=x-h,y=y-k(10-8)式(10-7)、式(10-8)叫做坐标轴的平移公式。它们给出了同一点的新图10-28例1平移坐标轴,把原点移到O(3,-4)(如图10-28),求下列各点的新坐标:O(0,0),A(3,-4),B(5,2),C(3,-2)。解 把已知各点的原坐标分别代入式(10-8)得x=x-3,y=y+4便得到它们的新坐标:O(-3,4),A(0,0),B(2,6),C(0,2)。例2平移坐标轴,把原点移到O(2,-1),求曲
30、线+=1在新坐标系下的方程。解设曲线上任意一点的原坐标为(x,y),新坐标为(x,y)根据题意,有x=x+2,y=y-1将它们代入所给曲线的方程,就得到新方程(如图10-29)+=1图10-29二、坐标轴平移公式的应用从前面的例子可以看出,适当地平移坐标轴可以化简曲线的方程。现在,我们研究如何选择适当的新坐标系,利用坐标轴平移公式来化简方程。先看下面的例子:例3利用坐标轴的平移,化简方程x2-y2+8x-14y-133=0,使新方程不含一次项,并作图。解把x=x+h,y=y+k代入方程,得 即x2-y2+(2h+8)x-(2k+14)y+h2-k2+8h-14k-133=0图10-30令2h+
31、8=0,2k+14=0解得h=-4,k=-7代入方程,得x2-y2=100这是等轴双曲线(如图10-30)。例4利用坐标轴的平移,化简方程2y2+5x+12y+13=0,使新方程不含y的一次项和常数项,并作图。解把 x=x+h,y=y+k代入方程,得 即2y2+5x+4(k+3)y+(2k2+5h+12k+13)=0(2)根据题意,令 解此方程组,得k=-3,h=1代入式(2),得新坐标系下的方程为2y2+5x=0即y2=-x这就是说,当原点平移到O(1,-3)时,所给方程化为抛物线的标准方程,它的对称轴是y=-3,开口向左(如图10-31)。图10-31从上面的例子可以看到,通过坐标平移可以
32、化简二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(没有xy项),如果A、C都不为零,则消去x和y的一次项;如果A(或C)为零,这时C(或A)不为零,则消去y(或x)的一次项和常数项,从而求得平移公式中的h、k的值,再将它们代入原方程,即得新方程。在实用上,我们利用配方法来化简方程,是比较方便的,就是把所给方程分别按x、y进行配方,从而得出新原点的坐标O(h,k),现举例说明。例5利用坐标轴的平移,化简二次方程x2+4y2-2x-16y+1=0使新方程不含一次项。解将方程x2+4y2-2x-16y+1=0分别按x、y进行配方,得 即+=1令x-1=x,y-2=y,代入上式,便得在新坐标系下的方程+
33、=1在这里,x=x-1,y=y-2,与式(10-8)比较得h=1,k=2。因此,方程是中心在新原点O(1,2)的一个椭圆。从上面的例子可以推出:(1)方程+=1或+=1的图像是椭圆,它的中心是点O(h,k),对称轴为 x=h,y=k。当a=b=r 时,方程表示圆心在O(h,k),半径为 r 的圆,即(2)方程-=1或-=1的图像是双曲线,它的中心为点O(h,k),对称轴为直线x=h和y=k。(3)方程(y-k)2=2p(x-h)的图像是抛物线,它的顶点为O(h,k),对称轴为直线y=k。(4)方程(x-h)2=2p(y-k)的图像是抛物线,它的顶点在点O(h,k),对称轴为直线x=h。在上面的
34、方程中,如果利用平移公式(10-8)x=x-h,y=y-k那么平移坐标轴,把原点移到点O(h,k),上面的方程就可以化为椭圆(圆)、双曲线和抛物线在新坐标系中的标准方程。另外,利用上述二次方程的形式,根据已知条件,可求出曲线的方程。*第七节极坐标与参数方程在直角坐标系中,可以通过有序实数对来确定平面内点的位置,但它并不是确定平面上点的位置的唯一方法,在某些实际问题中用这种方法并不方便,例如,炮兵射击时是以大炮为基点,利用目标的方位角及目标与大炮的距离来确定目标的位置的,在航空、航海中也常使用类似的方法,下面研究如何用角和距离来建立坐标系。一、极坐标系在平面内取一个定点O,从O点引一条射线Ox,
35、再取定一个单位长度并规定角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系(如图10-33),点O叫做极点,射线Ox叫做极轴。图10-33设M为平面内的任意一点,连接OM,令OM=,表示从Ox到OM的角度,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)叫做点M的极坐标。极点的极坐标是(0,),其中可以取任意值。在极坐标系中,给定极坐标(,),就可以在平面内确定点的位置,如在极坐标系中,坐标分别为(4,0)、(3,)、的点A、B、C、D、E、F的位置如图10-34所示。反之,给定平面内的一个点,由于终边相同的角有无穷多个,所以,它的极坐标不是唯一的,(,)和(,+2k)(kZ)表示同一个
36、点,如图10-34中点A、B、C、D、E、F的坐标还可以分别表示为(4,2)、(3,-),等。图10-34一般情况下,极径都取正值,但为了实际需要,有时极径也可取负值,规定:当0时,在角的终边的反向延长线上取点M,使|OM|=|,则点M的坐标就是(,)(如图10-35),例如在图10-34中的点A、B,如果取0,00,00)化为直角坐标方程。解将方程=2asin的两边同乘以(0),得2=2asin由式(10-9)知2=x2+y2 由式(10-10)知sin=y故原方程可化为x2+y2=2ay即x2+y2-2ay=0配方,得x2+(y-a)2=a2 该方程为圆心在(0,a),半径为a的圆。四、参数方程前面我们已经研究过,对于平面上的一条曲线,在平面直角坐标系中可以用含有坐标x和y的方程来表示,在极坐标系中可以用含有坐标和的方程来表示。但在实际问题中,有些曲线用这两种方程直接来表示都比较困难,而通过另一个变量间接地表示x和y(或和)之间的关系都比较方便,这就是我们要讨论的参数方程。
