1、第8章 弯 曲 内 力8.1对称弯曲的概念梁的计算简图 在工程中常遇到这样的直杆在工程中常遇到这样的直杆,其所受的外力是作用线垂直于杆轴线其所受的外力是作用线垂直于杆轴线的横向力的横向力(包括力偶包括力偶)所组成的平衡力系。在这样的受力情况下杆的所组成的平衡力系。在这样的受力情况下杆的任意两横截面绕垂直于杆轴线的横向轴作相对转动任意两横截面绕垂直于杆轴线的横向轴作相对转动,同时杆的轴线同时杆的轴线弯成曲线。杆件的这种变形形式称为弯成曲线。杆件的这种变形形式称为弯曲弯曲。以弯曲为主要变形的杆以弯曲为主要变形的杆件称为件称为梁梁。8.1.1对称弯曲的概念工程中常见的梁工程中常见的梁,例如车轴例如车
2、轴(图图8-1)、起重机大梁、起重机大梁(图图8-2)等等,它们具有共它们具有共同的特点同的特点,梁的横截面至少具有一个对称轴梁的横截面至少具有一个对称轴,即梁有一个纵向对称面即梁有一个纵向对称面,梁梁上外力都在此对称面内上外力都在此对称面内(图图8-3)。梁变形时。梁变形时,其轴线弯成在此对称面内的其轴线弯成在此对称面内的平面曲线。这种弯曲称为平面曲线。这种弯曲称为对称弯曲对称弯曲。图8-1图8-3图8-2在对梁进行计算前在对梁进行计算前,需将实际的梁及其载荷、支座进行简化。通常需将实际的梁及其载荷、支座进行简化。通常用梁的轴线代表梁用梁的轴线代表梁;梁上的载荷一般可简化成三种类型梁上的载荷
3、一般可简化成三种类型:集中载荷集中载荷(图图8-4a),集中力偶集中力偶(图图8-4b)及分布载荷及分布载荷(图图8-4c、d);对于梁的支座对于梁的支座则应根据它对支座处梁的横截面的约束情况加以简化。则应根据它对支座处梁的横截面的约束情况加以简化。8.1.2梁的计算简图图8-4a)集中载荷b)集中力偶c)均布载荷d)线性分布载荷当载荷是平面力系时当载荷是平面力系时,通常将支座简化成以下三种基本形式通常将支座简化成以下三种基本形式:图8-51)固定铰支座固定铰支座 如图如图8-5a所示。它能阻止梁在支座处的截面沿任何方向的线位移所示。它能阻止梁在支座处的截面沿任何方向的线位移,但但不能阻止其绕
4、横向轴的转动。因此不能阻止其绕横向轴的转动。因此,这种约束可以用两个约束力表示这种约束可以用两个约束力表示,如沿梁轴线方向和垂直于轴线的两个约束力。如沿梁轴线方向和垂直于轴线的两个约束力。2)活动铰支座活动铰支座 如图如图8-5b所示。它只能阻止梁在支座处的截面沿梁的横向移动所示。它只能阻止梁在支座处的截面沿梁的横向移动,但不能阻止其沿纵向的移动和绕横向轴的转动。因此但不能阻止其沿纵向的移动和绕横向轴的转动。因此,这种约束这种约束只有一个横向约束力。只有一个横向约束力。3)固定端固定端 如图如图8-5c所示所示,它使梁在固定端的截面既不能作任何移动它使梁在固定端的截面既不能作任何移动,又不能又
5、不能作转动。因此作转动。因此,这种约束有三个约束力这种约束有三个约束力,即沿纵向和横向的两个约即沿纵向和横向的两个约束力和一个约束力偶。束力和一个约束力偶。根据上述分析根据上述分析,车轴和起重机大梁的计算简图分别如图车轴和起重机大梁的计算简图分别如图8-1b、图、图8-2b所示。所示。工程中常见的静定梁如图工程中常见的静定梁如图8-6a、b、c所示所示,它们分别称为它们分别称为简支梁简支梁、外伸梁外伸梁和和悬臂梁悬臂梁。它们都可用平面力系的三个平衡方程求出其三个。它们都可用平面力系的三个平衡方程求出其三个未知约束力。未知约束力。图8-6 有时为了工程上的需要有时为了工程上的需要,可设置较多的支
6、座可设置较多的支座(图图8-6d、e),从而使梁的从而使梁的约束力数目多于独立的平衡方程数目约束力数目多于独立的平衡方程数目,这样就不能单凭静力平衡方这样就不能单凭静力平衡方程求出全部约束力。这种梁称为超静定程求出全部约束力。这种梁称为超静定梁梁。梁在两支座间的部分称为梁在两支座间的部分称为跨跨,其长度称为梁的其长度称为梁的跨度跨度。8.2剪力和弯矩现以受集中载荷作用的简支梁现以受集中载荷作用的简支梁(图图8-7a)为例为例,来说明梁在外力作用下所产来说明梁在外力作用下所产生的内力和内力的计算。生的内力和内力的计算。先用平衡方程先用平衡方程 和和 分别求得约束力为分别求得约束力为0BM0AMb
7、AFFLaBFFL和和其指向如图其指向如图8-7a中中所示。图8-7计算梁的内力时计算梁的内力时,仍用截面法。例如在求距离左支座仍用截面法。例如在求距离左支座A为为x的横截面的横截面mm上的内力时上的内力时,沿该截面假想地将梁截分为沿该截面假想地将梁截分为、两段两段(图图8-7b、c)。现。现先研究先研究段梁段梁(图图8-7b)的平衡。由平衡方程的平衡。由平衡方程0yF 0ASFF可得可得SAFF这种沿着横截面的内力称为这种沿着横截面的内力称为剪力剪力。由于剪力。由于剪力FS与外力与外力FA构成力偶构成力偶,显然显然,为了使此段梁保持平衡为了使此段梁保持平衡,在截面在截面mm上必然还有一内力偶
8、上必然还有一内力偶,此内力偶的此内力偶的矩用矩用M表示。以截面表示。以截面mm的形心的形心C为矩心为矩心,由平衡方程由平衡方程0,0CAXMMF0,0CAXMMF可得可得AXMF这种位于与横截面垂直的平面内的内力偶矩称为这种位于与横截面垂直的平面内的内力偶矩称为弯矩弯矩。由作用与反作用原理可知由作用与反作用原理可知,段梁在截面段梁在截面mm上必然也存在有剪力和上必然也存在有剪力和弯矩弯矩,其数值与前述相同其数值与前述相同,但其方向均相反但其方向均相反(图图8-7c)。这一结论也可从。这一结论也可从段段梁的平衡方程得到。梁的平衡方程得到。为了使从截开后的两段梁所求得的同一截面上的剪力和弯矩具有相
9、为了使从截开后的两段梁所求得的同一截面上的剪力和弯矩具有相同的正、负号同的正、负号,与拉、压、扭转类似与拉、压、扭转类似,按变形情况来规定它们的正、负。按变形情况来规定它们的正、负。为此为此,自梁内取出自梁内取出dx微段微段,剪力以使微段发生左端向上和右端向下的错剪力以使微段发生左端向上和右端向下的错动时为正动时为正(图图8-8a),反之为负反之为负(图图8-8b);弯矩以使微段发生上凹下凸的弯弯矩以使微段发生上凹下凸的弯曲时为正曲时为正(图图8-8c),反之为负反之为负(图图8-8d)。按照上述规定。按照上述规定,图图8-7b、c中所中所示的剪力和弯矩都是正的。示的剪力和弯矩都是正的。图8-
10、88.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力和弯矩随横截面位置的变化情况可用函数来表示。剪力和弯矩随横截面位置的变化情况可用函数来表示。FS=FS(x),M=M(x)分别称为分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。将上述方程用图形来表示剪力和弯矩沿梁轴的变化最为方便。作图时常将上述方程用图形来表示剪力和弯矩沿梁轴的变化最为方便。作图时常按选定的比例尺按选定的比例尺,以横截面沿梁轴线的位置为横坐标以横截面沿梁轴线的位置为横坐标,以剪力或弯矩为纵以剪力或弯矩为纵坐标。这样绘出的图形分别称为坐标。这样绘出的图形分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。通常将正值的剪力。通常将正值的剪力或弯矩画在横
11、轴的上方或弯矩画在横轴的上方,负值的画在下方。负值的画在下方。8.4弯矩、剪力与分布载荷集度之间的关系图图8-15a所示的梁上作用有任意的分布载荷所示的梁上作用有任意的分布载荷q(x),规定载荷向上时为正规定载荷向上时为正,并将并将坐标原点取在梁的左端坐标原点取在梁的左端,由梁中截取长度为由梁中截取长度为dx的微段的微段(图图8-15b)来研究。来研究。图8-15 此微段梁上的载荷集度此微段梁上的载荷集度q(x)可认为是不变的。设微段左边截面上的剪可认为是不变的。设微段左边截面上的剪力和弯矩分别为力和弯矩分别为FS(x)和和M(x),且均为正号且均为正号;则右边截面上的剪力和弯矩将则右边截面上
12、的剪力和弯矩将分别为分别为FS(x)+dFS(x)和和M(x)+dM(x),考虑考虑dx段的平衡段的平衡()()()0(,0ySSSFF xF xdF xq x dx()()(8 1)S xdFq xdx得得()()()()()0,0CSMM xF x dxM xdM xq x dx 略去二阶微量后可得略去二阶微量后可得()()82)(SdM xF xdx()()8 2)(SdM xF xdx由式由式(8-1)和式和式(8-2)还可得到还可得到22()8(3)d M xq xdx 上述三式即是直梁的弯矩、剪力与分布载荷集度之间普遍存在的关上述三式即是直梁的弯矩、剪力与分布载荷集度之间普遍存在的
13、关系。系。从微分学可知以上各式所具有的几何意义从微分学可知以上各式所具有的几何意义:式式(8-1)说明了剪力图上某说明了剪力图上某点处的斜率与梁上相应截面处的载荷集度相等点处的斜率与梁上相应截面处的载荷集度相等;式式(8-2)说明了弯矩图上说明了弯矩图上某点处的斜率与梁上相应截面上的剪力相等某点处的斜率与梁上相应截面上的剪力相等;从式从式(8-3)可知可知,q(x)的正、的正、负号与弯矩图上曲率的正、负号相同。负号与弯矩图上曲率的正、负号相同。根据上述性质根据上述性质,可得出如下一些规律可得出如下一些规律:(1)梁上某段无分布载荷时梁上某段无分布载荷时,则该段剪力图为水平线则该段剪力图为水平线
14、,弯矩图为斜直线。弯矩图为斜直线。如剪力图是正号如剪力图是正号,则弯矩图递增则弯矩图递增();如剪力图是负号如剪力图是负号,则弯矩图递减则弯矩图递减();如剪力图为零如剪力图为零,则弯矩图为水平线。则弯矩图为水平线。(2)梁上某段有向下的均布载荷时梁上某段有向下的均布载荷时,则该段剪力图为递减斜直线则该段剪力图为递减斜直线(),弯弯矩图为向上凸的二次抛物线矩图为向上凸的二次抛物线();当有向上的均布载荷时当有向上的均布载荷时,则剪力图为则剪力图为递增斜直线递增斜直线(),弯矩图为向下凸的二次抛物线弯矩图为向下凸的二次抛物线()。(3)在集中力在集中力F作用处作用处,剪力图有突变剪力图有突变(突变值等于集中力突变值等于集中力F),弯矩图有弯矩图有折角。在集中力偶折角。在集中力偶Me作用处作用处,剪力图无变化剪力图无变化,弯矩图有突变弯矩图有突变(突变值突变值等于力偶矩等于力偶矩Me)。(4)某截面某截面FS=0,则在该截面弯矩取极值。则在该截面弯矩取极值。(5)|M|max不但可能发生在不但可能发生在FS=0的截面上的截面上,也可能发生在集中力作用也可能发生在集中力作用处或集中力偶作用处的两侧截面上。处或集中力偶作用处的两侧截面上。利用上述规律可以简捷地绘制和校核剪力图和弯矩图利用上述规律可以简捷地绘制和校核剪力图和弯矩图。
