1、第二章 函数,-2-,2.1函数及其表示,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,1.函数的基本概念(1)函数的定义:设集合A是一个的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),xA,其中叫做自变量.(2)函数的定义域:函数y=f(x)取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域:所有构成的集合 叫做这个函数的值域.(4)函数的两个要素:和.,非空,唯一,x,自变量,函数值,y|y=f(x),xA,定义域,对应法则,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,(5)表示函数的常用方法有:
2、、和图象法.(6)分段函数:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的,值域是各段值域的 .,解析法,列表法,对应法则,并集,并集,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2.映射与函数(1)映射的概念:设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f作用下的象,记作f(x),x称作y的.(2)映射与函数的关系:由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,构成函数的两个集合A,B
3、必须是.,有一个且仅有一个,原象,非空数集,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,3.函数定义域的求法,f(x)0,f(x)0,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)函数是其定义域到值域的映射. ()(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1有两个交点. ()(3)定义域相同,值域也相同的函数一定是相等函数. ()(4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为y|y=x2-1,xR,即为y|y-1. ()(5)分段函数是由两个或两个以上的函数组成的. (),答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,A.-1,
4、1B.(0,1C.-1,0)D.-1,0)(0,1,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.设f,g都是从A到A的映射(其中A=1,2,3),其对应关系如下表: 则f(g(3)等于()A.1B.2C.3D.不存在,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.由于映射中的两个集合是非空集合,函数中的两个集合是非空数集,故函数是特殊的映射.2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看其定义域和对应关系是否相同.3.求分段函数的函数值,要依据自变量所属的区间,选择对应关系求解.当自变量不确定时
5、,需分类讨论.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1以下给出的同组函数中,表示同一函数的有.,(3)f1:y=2x;f2:如图所示.,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考怎样判断两个函数是同一函数?,解题心得两个函数是不是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1下列函数中,与函数y=x相等的是 (),答案,解
6、析,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(),思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.函数的定义域是使函数解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.由实际问题求得的函数定义域,除了要考虑函数的解析式有意义外,还要使实际问题有意义.,-18-,考点1,
7、考点2,考点3,考点4,A.(0,2)B.(0,1)(1,2)C.(0,2D.(0,1)(1,2,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x);(4)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x).思考求函数解析式有哪些基本的方法?,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数解析式的求法:(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;(2)换元
8、法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).提醒:若函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一求分段函数的函数值思考求分段函数的函数值时,如何选取函数的解析式?,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二已知分段函数的等式求参数的值A.2
9、B.4C.6D.8思考求含有参数的分段函数的函数值如何选取函数的解析式?,答案,解析,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向三已知函数值的范围求其自变量的取值范围思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式?,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得分段函数问题的求解策略:(1)分段函数的求值问题,首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,那么应采取分类讨论.(3)解由分段函数值构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4
10、,答案,解析,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应法则决定了函数的值域,同时,定义域和对应法则相同的两个函数是同一个函数,因此,要树立函数定义域优先的意识.2.函数有三种表示方法,即列表法、图象法、解析法;求函数解析式常用的方法有换元法(凑配法)、待定系数法和方程法.3.分段函数“两种”题型的求解策略:(1)根据分段函数解析式求函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值的范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
11、,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.,-33-,抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但从提升能力方面考虑,还应有所涉及.,-34-,典例若函数y=f(x)的定义域是1,2 019,则函数 的定义域是()A.0,2 018B.0,1)(1,2 018C.(1,2 019D.-1,1)(1,2 018点拨利
12、用换元法求出函数f(x+1)的定义域,而函数g(x)的定义域为f(x+1)的定义域与不等式x-10的解集的交集.答案:B解析:要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12 019,解得0x2 018,故函数f(x+1)的定义域为0,2 018.解得0x1或1x2 018.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,2 018,故选B.,-35-,反思提升函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围,即f(x)与f(g(x)的定义域都是自变量x的取值范围,常见有如下两种类型:(1)已知函数f(x)的定义域为D,则函数f(g(x)的定义域就是不等式g(x)D的解集;(2)已知函数f(g(x)的定义域为D,则函数f(x)的定义域就是函数y=g(x)(xD)的值域.,
