1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 高斯公式 通量与散度一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)231zyxyxD),(yxRyxyxRdd),(,),(:11yxzz 证明证明:设yxDyxyxzyxzyxz),(,),(),
2、(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域,),(:22yxzz 则yxyxRdd),(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),(),(1yxz所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加,即得所证 Gauss 公式：例例1.用Gauss 公
3、式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?例例2.利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,2
4、1上在介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2yxhyxDdd2421hhozyxh1例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10drr221drz202dcos103drr41zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标三、通量与散度三、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQiz
5、yxPzyxv),(),(),(),(理意义可知,设 为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd若 为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.n流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为zyxzRyQxPdddn方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点
6、M 处的特性,M在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.),(定义定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP0divA表明
7、该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)2.通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为),(RQPA SnAdzRyQxPA
8、div思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R31Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
