1、一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzaozyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:
2、称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.)(tyy)(tzz M例例1.将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数,txcostysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z
3、 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzyxC1o例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1)1()1(1:222222zyxzyxCzxyo1C又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投
4、影曲线所围之域.内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习思考与练习 P51 题 1，2，7（展示空间图形）P51 题1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:(3)zxyo oaoa222azx222ayxP51 题2(1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xyyz2x3思考思考:by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP51 题2(2)19422yx3yP51题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyxEx:求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的
