1、第四节两类问题:在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:)(0 xf)(00 xxxf200
2、)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,0)(xxf在定理定理1.各阶导数,)(0 x则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.
3、直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开例例1.将函数xexf)(展开成 x 的幂级数.解解:,)()(xnexf),1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足 )(xRne!)1(n1nxxe!)1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn0),(x(在0
4、与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 例例2.将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为,R对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnx),(xxsinn0kn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxxnnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx例例3.
5、将函数mxxf)1()(展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1()11(x称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 对应1,2121m的二
6、项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn2.间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为nnxxx)1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成 幂级数.例例5.将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解:xxf11)()11()1(0 xxnnn从 0 到 x 积分,得x
7、xxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为.11x利用此题可得11)1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛例例6.将xsin展成4x解解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数.2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x例例7.将3412 xx展成 x1 的幂级数.解解:)3)(1(13412xxxx)3(
8、21)1(21xx 14121x 4121x222)1(xnnnx2)1()1(81141x224)1(xnnnx4)1()1(nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x 18141x1内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2
9、)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当 m=1 时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(x思考与练习思考与练习1.函数0)(xxf在处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.2.如何求xy2sin的幂级数?提示提示:xy2cos21210!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(xnx2)2()(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1(xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(nxnnmm!)()1(nx
10、nnmm!)1()1()1(例例3 附注附注Ex:1.将下列函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,)1(02nnnx)1,1(x)0()(fxf002d)1(nxnnxx01212)1(nnnxnx1 时,此级数条件收敛,4)0(f,12)1(4)(012nnnxnxf1,1x因此)1(lnxx1,1(x221x331x441x11)1(nnxn2.将在x=0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf)1ln(x)32)(1(322xxxx1nnnx)11(x)1ln(23xnnnxn)(23)1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)()1(2311
