1、计量经济学第一章第一章 概率论基础概率论基础 一、随机现象、随机试验和随机事件一、随机现象、随机试验和随机事件 1.统计规律性、随机现象、随机试验统计规律性、随机现象、随机试验 确定性现象确定性现象 有一类现象，在一定条件下必然发有一类现象，在一定条件下必然发 生。这类现象称为确定性现象。生。这类现象称为确定性现象。不确定现象不确定现象 有一类现象，在一定条件下不一定发生。有一类现象，在一定条件下不一定发生。这类现象称为不确定性现象这类现象称为不确定性现象A.统计规律性统计规律性 统计规律性统计规律性 在一定条件下，不确定现象可能出现在一定条件下，不确定现象可能出现,可可 能不出现，但在大量的
2、重复试验中能不出现，但在大量的重复试验中,它按照一它按照一 定的规律分布。这种在大量重复试验或观察定的规律分布。这种在大量重复试验或观察 中所显现出的固有规律性，称为统计规律。中所显现出的固有规律性，称为统计规律。B随机现象随机现象 在个别试验中其结果显出不确定性，但大在个别试验中其结果显出不确定性，但大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。称为随机现象。在相同条件下试验可以重复进行。在相同条件下试验可以重复进行。在每次试验之前不能准确地预言该次试验将在每次试验之前不能准确地预言该次试验将 出现哪一种结果。出现哪一种结果。C随机试验随
3、机试验一般用一般用E表示随机试验表示随机试验每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验 之前可以明确试验的所有可能结果。之前可以明确试验的所有可能结果。2.随机事件随机事件 A.样本空间、样本点样本空间、样本点 样本空间样本空间 将随机试验的所有可能结果组成的集合称为将随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为的样本空间，记为 样本点样本点 样本空间中的元素，即试验样本空间中的元素，即试验E的每个结果，的每个结果，称为样本点。称为样本点。随机试验随机试验E的样本空间的样本空间 的子集称为随机事件，的子集称为随机事件，简称为事件。简称为事件。基本事
4、件基本事件 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。B.随机事件、基本事件随机事件、基本事件必然事件必然事件 在每次试验中它总是发生，称它为必然事件。在每次试验中它总是发生，称它为必然事件。不可能事件不可能事件 在每次试验中都不会发生，称之为不可能事件。在每次试验中都不会发生，称之为不可能事件。随机事件随机事件C C事件间的关系及事件的运算事件间的关系及事件的运算 1.1.事件包含。若事件事件包含。若事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B 发生发生,则称事件则称事件B B包含事件包含事件A A。2.2.事件和。事件和。AB BxAxx或|3.3
5、.事件积。事件积。AB BxAxx且|称为事件称为事件A A与事件与事件B B的积事件的积事件 称事件称事件A A与事件与事件B B的和事件的和事件4.事件事件 BABxAxx且|称为称为A事件和事件和B事件的差事件事件的差事件 则称事件则称事件A与事件与事件B是互不相容事件，是互不相容事件，或互斥事件，也就是事件或互斥事件，也就是事件A和事件和事件B不能不能同时发生。同时发生。5.若若 BA6.若若 BA且且 BA则称事件则称事件A与事件与事件B是互为逆事件，也称是互为逆事件，也称事件事件A与事件与事件B互为对立事件。互为对立事件。D.随机事件运算法则随机事件运算法则设设A、B、C 为事件为
6、事件 A B B A交换律：交换律：ABBA结合律：结合律：()()ABCABC()()ABCABC 分配律：分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC德德.摩根定律：摩根定律：_BABA_BABA 二、随机事件的频率与概率二、随机事件的频率与概率 1.随机事件的频率随机事件的频率A.随机事件频率的一般定义随机事件频率的一般定义在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n n次试验，次试验，在试验中，事件在试验中，事件A A发生的次数记为发生的次数记为n nA A,称为事件称为事件A A发生的频数发生的频数.nA/n 称为事件称为事件A发生的频率，并记成发生的频率，并记成f
7、n(A)B B频率的基本性质：频率的基本性质：)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf 0)(Afn11.()1nf 2.kAAA,2,1 是两两不相容的事件，则 3.2.随机事件的概率随机事件的概率（1）概率的定义）概率的定义如果集合函数如果集合函数P(A)满足下列条件：满足下列条件：1.对于每个事件对于每个事件A，有，有 0)(AP3.设设,21AA是两两不相容的事件，即对于是两两不相容的事件，即对于ji)()()(2121APAPAAP,1,2,i j 则有：则有：jiAAA.随机事件概率的一般定义随机事件概率的一般定义1)(P2.则称则称P（A）为事件）为事件A的概率的
8、概率此式称为概率的可列可加性此式称为概率的可列可加性(2)概率的性质概率的性质 0)(P12)()()(),(2121nnAPAPAPAAAP3 更有1)(0AP BA，则有)()(BPAP若若nAAA,21 是两两不相容的事件，则有 若若)(1)(_APAP5 5 对于任意的事件对于任意的事件A A、B B，有，有 )()()()(ABPBPAPBAP此性质推广到任意的此性质推广到任意的n个事件个事件 nAAA,21之和，之和，则有：则有：12111121()()()()(1)()nniijiij nnijknij k nP AAAP AP A AP A A AP A AA 4 B.B.随机
9、事件古典概型随机事件古典概型（1 1）古典概型的定义）古典概型的定义 若试验具有如下特点：若试验具有如下特点：a.a.试验的样本空间的元素只有有限个；试验的样本空间的元素只有有限个；b.b.试验中每个基本事件发生的可能性相同，试验中每个基本事件发生的可能性相同，中基本事件的总数中包含的基本事件数AAP)(C.C.条件概率、随机事件的独立性条件概率、随机事件的独立性1 1条件概率条件概率 设设A A、B B是两个事件，且是两个事件，且 称称)()()|(APABPABP为事件为事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率。发生的条件概率。0)(AP 2 2乘法定理乘法定理 0)
10、(AP设设)()|()(APABPABP则有则有 一般情况下，设一般情况下，设 nAAA,.,21为为n n个事件个事件,2n且且 121(.)0nP A AA则有则有 121211122121(.)()(|).(|.)(|.)nnnnnP AAAP A P AAP AAAAP AAAA3事件的独立性事件的独立性 设设A、B是两个事件是两个事件,如果等式如果等式 )()()(BPAPABP成立，则称事件成立，则称事件A、B为相互独立的事件为相互独立的事件 D全概公式、贝叶斯（全概公式、贝叶斯（Bayes）公式）公式（1）全概公式）全概公式设设E的样本空间为的样本空间为，A为为E的一个事件，的一
11、个事件，nBBB,.,21为的一个划分为的一个划分);,(jjjiBjiBB则则)|()()(1iniiBAPBPAP设设E的样本空间为的样本空间为，A为为E的一个事件，的一个事件，nBBB,.,21为为 的一个划分的一个划分 则则（2）贝叶斯（）贝叶斯（Bayes）公式）公式()0(1,2,)iP Bin()0,P A 1(|)()(|)1,2,()(|)iiinjjjP A B P BP B AinP B P A B三、三、随机变量随机变量 1 1随机变量的定义随机变量的定义2 2分布函数分布函数 设设 X X是一个随机变量，是一个随机变量，x x是任意实数，是任意实数，)()(xXPxF
12、称为称为X X的分布函数的分布函数 函数函数如果对于每一个如果对于每一个 ,有一个实数有一个实数 )(X与之对应与之对应,这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在 上的单实值上的单实值 )(XX,称它为随机变量称它为随机变量.函数函数3 3离散型随机变量、连续型随机变量离散型随机变量、连续型随机变量 A A离散型随机变量离散型随机变量设随机变量设随机变量X X所有可能的取值为所有可能的取值为 (1,2,.),kx k X X取各个可能值的概率取各个可能值的概率 ,即事件即事件kxX 的概率，为的概率，为kkpxXP)(,.2,1k上式为离散型随机变量上式为离散型随机变量X X的概率分布或分布律
13、的概率分布或分布律 B.B.连续型随机变量连续型随机变量 对于随机变量对于随机变量X X的分布函数的分布函数 F(xF(x），），若存在非负函数若存在非负函数f f（x x），使对于任意实数），使对于任意实数x x，有有()()xF xP Xxf t dt则称则称X X为连续型随机变量，为连续型随机变量，其中函数其中函数f f（x x）称为）称为X X的概率密度函数，的概率密度函数，简称为概率密度。简称为概率密度。C.均匀分布、正态随机变量均匀分布、正态随机变量4 4 二维随机变量二维随机变量 A A联合分布函数联合分布函数设设E E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是
14、设设 X X和和Y Y是定义在是定义在 上的随机变量，由它们构成的一上的随机变量，由它们构成的一个向量个向量(X,Y)(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。，叫做二维随机向量或二维随机变量。设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数(x,x,y)y)，二元函数二元函数 (,)()(),F x yP XxYyP Xx Yy称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数，的分布函数，或称为随机变量或称为随机变量X X和和Y Y的联合分布函数。的联合分布函数。（1）二维离散型的随机变量）二维离散型的随机变量 如果二维随机变量如果二维随机变量
15、(X,Y)所有可能取的值是有限所有可能取的值是有限个或可数无限个，则称个或可数无限个，则称(X,Y)是离散型的随机变量。是离散型的随机变量。如果存在非负的二元函数如果存在非负的二元函数f(x,y)使对于任意使对于任意x和和y yxdudvvufyxF),(),(则称则称(X,Y)是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量，函数函数f(x,y)联合概率密度，联合概率密度，或称为随机变量或称为随机变量X和和Y的联合概率密度。的联合概率密度。有有),()(xFxFX),()(yFyFY连续型随机变量的边际分布：连续型随机变量的边际分布：dtdyytfxFxX),()(dvduvufyFyY),()(
16、离散型随机变量的边际分布：离散型随机变量的边际分布：xxjijXipxF1)(1()jYijyy iFyp B 边际分布边际分布 由由(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)确定：确定：C.条件分布、随机变量的独立性条件分布、随机变量的独立性（一）条件分布（一）条件分布 （1）离散型）离散型 (X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的是二维离散型随机变量，对于固定的j，0)(jyYP，则，则*(,)(|)1,2,()ijijijjjP Xx YypP Xx YyiP Yyp为在为在Y=yi条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布律的条件分布律 若若为在为在X=xi条件下随机变量条件下
17、随机变量Y的条件分布律的条件分布律*(,)(|)1,2,()ijijjiiiP Xx YyPP YyXxjP XxP (2)(2)连续型连续型 设设 (X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(F(x,x,y)y)，概率密度为概率密度为f(x,y)f(x,y)。同样对于固定的同样对于固定的i，若若0)(ixXP，则，则0)(yfY则称则称|(,)(,)(|)()()xxX YYYf u y duf u yFx ydufyfy为在条件为在条件Y=yY=y下下X X的条件分布函数的条件分布函数)(),(yfyxfY为为Y=yY=y条件下条件下X X的条件概率密度。的条件概率密度。若在点若在点(
18、x,y)处处f(x,y)连续连续,边际概率密度边际概率密度f Y(y)连续，且连续，且若边际概率密度若边际概率密度f fx x(x)(x)连续，且连续，且0)(xfX则则)(),()|(|xfdvvxfxyFXyXY为在条件为在条件X=xX=x下下Y Y的条件分布函数，的条件分布函数，)(),(xfyxfX为为X=xX=x下下Y Y的条件概率密度的条件概率密度 （二）（二）随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 设设 F(x,y)F(x,y)及及F Fx x(x),F),Fy y(y)(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数及边际分布函数。的分布函数及边际分布
19、函数。若对所有若对所有x,yx,y有有 )()(),(yYPxXPyYxXP则称随机变量则称随机变量X和和Y是相互独立的是相互独立的 随机变量常用的数字特征有：数学期望，方差，随机变量常用的数字特征有：数学期望，方差，相关系数。相关系数。四、四、随机变量的数字特征随机变量的数字特征()1,2kkP Xxpk 若级数若级数1kkkpx绝对收敛，则称级数绝对收敛，则称级数1kkkpx 的值为随机变量的值为随机变量X X的数学期望的数学期望1kkkEXx p即即 记为记为EXEX，A定义定义(1)离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望设设 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律为：的分布律
20、为：1.数学期望数学期望dxxxf)(则称积分则称积分 dxxxf)(记为记为EXEX，()EXxf x dx若积分若积分绝对收敛绝对收敛的值为随机变量的值为随机变量X X的数学期望的数学期望 （2）连续型随机变量的数学期望）连续型随机变量的数学期望 设设 连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 f(x)即：即：CEC a)a)CEXECXEYEXYXE)(d)d)若若X,YX,Y相互独立，则相互独立，则EYEXXYE)(B.B.期望的性质及其应用期望的性质及其应用 （1 1）期望的性质）期望的性质 设设X,YX,Y的数学期望存在，的数学期望存在，C C为常数，则：为常
21、数，则：b)b)c)c)（2）数学期望在经济中的应用数学期望在经济中的应用(例例)C.C.条件期望条件期望（1 1）定义）定义)(),()|(xfyxfxyf引入条件数学期望的定义：引入条件数学期望的定义：(|)(|)E Y xyf y x dy称称E(YE(Y x)x)为为X=xX=x条件下，条件下，Y Y的条件期望的条件期望,又记又记若若 我们在前面已经定义在条件我们在前面已经定义在条件X=x下，随机变下，随机变量量Y的条件概率密度函数的条件概率密度函数存在存在 若若(x,x,y)y)为离散型随机变量则条件期望分为离散型随机变量则条件期望分别由下式给出：别由下式给出：*),()|(ijij
22、jiPyYxXPyxYE jjiiijPyYxXPxyXE*),()|(称称E(XE(X y)y)为为Y=yY=y条件下，条件下，X X的条件数学期望。的条件数学期望。(|)(|)E Xyxf x y dx(2)离散型随机变量的条件期望离散型随机变量的条件期望2DX=var(x)=EXEX记记DX2则则()()XD X)(X为标准差或均方差。为标准差或均方差。2.方差方差 A定义定义 方差记为方差记为 DX 或或 Var(x)称称在经济研究中常常把它作为衡量一个经济行为风险在经济研究中常常把它作为衡量一个经济行为风险大小的标准。大小的标准。方差是刻画一个随机变量偏离它的均值大小的一个量。方差是
23、刻画一个随机变量偏离它的均值大小的一个量。B B方差的性质方差的性质()0D C DXCCXD2)(DYDXYXD)(1)(CXPa a）d d）DX=0DX=0的充要条件是的充要条件是X X以概率以概率1 1取常数取常数C C，即，即b)c）设）设X,Y相互独立，则相互独立，则C C契比雪夫不等式契比雪夫不等式22XP 这一不等式称为契比雪夫不等式这一不等式称为契比雪夫不等式(chebyshev)。成立。成立。设随机变量设随机变量X具有限的具有限的 数学期望数学期望 EX=,不等式不等式 和方差和方差 DX=2,则对任意的正数则对任意的正数 D D 随机变量的变异系数随机变量的变异系数 如果
24、如果 EXEX 0 0，定义函数，定义函数 )(/)()(XEXDXV则称则称V(X)V(X)为随机变量为随机变量X X的变异系数的变异系数 E E几种主要随机变量的分布及其数字特征几种主要随机变量的分布及其数字特征 (1)(1)两点分布两点分布pEX)1(ppDX(2)(2)二项分布二项分布 ()(1)0,1,2kkn knP XkC ppknnpEX)1(pnpDX称称X X为服从参数为为服从参数为n,pn,p的二项分布。的二项分布。(3)Poisson(3)Poisson分布分布 ()0,1,2!kP YkekkEYDY(4)(4)正态分布和对数正态正态分布和对数正态若随机变量若随机变量
25、X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：221()()exp22xuf xx 则称则称X X服从正态分布，记为：服从正态分布，记为：),(2NX EX 2DX若随机变量若随机变量的概率密度为的概率密度为221(ln)()exp (0)22xf xxx 则称则称X X服从对数正态分布。服从对数正态分布。2EX=exp2 22(exp 1)exp2DX(5)(5)分布和指数分布分布和指数分布 3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数 A A协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义 设设X,YX,Y为两个随机变量它们之间的相互关系用它为两个随机变量它们之间的相互关系用它们们 之间的相关系数来描
26、述之间的相关系数来描述EYYEXXE 称为随机变量称为随机变量X,YX,Y的协方差，记为的协方差，记为:),cov(YX即即 cov(,)X YEXEXYEYcov(,)()()XYX YD XD Y 称为随机变量称为随机变量X,Y的相关系数的相关系数),cov(),cov(XYYX ),cov(),cov(YXabbYaX ),cov(),cov(),cov(2121YXbYXaYbXaXC.C.相关系数性质相关系数性质|1XY 的充要条件是，存在常数的充要条件是，存在常数a,b使使1bXaYP(2)1|XY(1)当当1|XY时，时，X X与与Y Y之间以概率之间以概率1 1存在线性关系。存
27、在线性关系。B 协方差的性质协方差的性质即即A.kA.k阶原点矩定义阶原点矩定义(),1,2,kE Xk 存在，称它为存在，称它为X X的的k k阶原点矩。阶原点矩。B.kB.k阶中心矩阶中心矩 ()1,2,kE XEXk 存在，则称它为存在，则称它为X X的的k k阶中心矩。阶中心矩。4.随机变量的矩随机变量的矩设设 X和和Y是随机变量，是随机变量，若若若若C.k+LC.k+L阶混合矩阶混合矩 (),1,2,klE X Yk l 存在，称它为存在，称它为X X和和Y Y的的k+Lk+L阶混合矩。阶混合矩。D.k+L阶混合中心矩阶混合中心矩 )()(lkYEYXEXE存在，称它为存在，称它为X
28、和和Y的的k+L阶混合中心矩。阶混合中心矩。若若若若E.n维随机变量的协方差矩阵维随机变量的协方差矩阵设设n维随机变量（维随机变量（X1 X2 Xn）的二阶混合中心矩）的二阶混合中心矩(,)()(),1,2,ijijiijjcCov XXEXE XXE Xi jn都存在，则称矩阵为都存在，则称矩阵为n维随机变量维随机变量（X1,X2 Xn）的协方差矩阵。）的协方差矩阵。nnnnnncccccccccC212222111211因而上述矩阵是一个对称矩阵因而上述矩阵是一个对称矩阵,一般假定一般假定C为正定的为正定的.(),1,2,ijjiccijijn由由于于五、五、n n维正态变量具有以下三条重
29、要性质维正态变量具有以下三条重要性质(证明略）证明略）1.n 1.n维随机变量（维随机变量（X X1 1 X X2 2X Xn n）服从）服从n n维正态分布维正态分布 的充要条件是的充要条件是X X1 1 X X2 2 X Xn n的任意的线性组合的任意的线性组合 nnXlXlXl2211服从一维正态分布。服从一维正态分布。2.2.若（若（X X1,1,X X2 2,X Xn n）服从）服从n n维正态分布维正态分布 设设 Y Y1 1,Y,Y2 2,Y Yk k是是X Xj j(j=1,2,(j=1,2,n)n)的线性函数，的线性函数，则则 Y Y1,1,Y Y2,2,Y Yk k也服从多
30、维正态分布。这一性质称为也服从多维正态分布。这一性质称为 正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性3.设（设（X 1,X 2,X n）服从）服从n维正态分布，则维正态分布，则 “X1,X 2,X n相互独立相互独立”与与 “X 1,X 2,X n 两两两两 不相关不相关”是等价的是等价的六大数定律、中心极限定理六大数定律、中心极限定理 1大数定律大数定律 设设X1 X2 Xn,.,是相互独立，且具有相同分布是相互独立，且具有相同分布 的随机变量。的随机变量。)(iXE2()(1,2,)iD Xi前前n n个随机变量的算术平均值记为个随机变量的算术平均值记为niinXnX11则对任意的则
31、对任意的 00，有，有0|limnnXP称该随机序列服从大数定律。称该随机序列服从大数定律。它在理论上表明了当试验次数很大它在理论上表明了当试验次数很大,以频率代替以频率代替概率的合理性概率的合理性设它们的数学期望为设它们的数学期望为方差为方差为2 2中心极限定理中心极限定理 定理定理 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn ,相互独立，且相互独立，且 服从同一分布，并具有有限的数学期望和方差：服从同一分布，并具有有限的数学期望和方差：)(iXE2()(1,2,)iD Xi则对一切实数则对一切实数ba 都有都有 baxniindxebnnXaP221121lim第一章小结第一章小结 本章简要地介
32、绍了概率论的基本概念、基本定理和公式。本章简要地介绍了概率论的基本概念、基本定理和公式。主要内容包括：主要内容包括：一、随机现象、随即试验、样本空间、随机事件及其关一、随机现象、随即试验、样本空间、随机事件及其关系，随机事件的运算法则，事件的概率与频率，古典概型，系，随机事件的运算法则，事件的概率与频率，古典概型，乘法公式、全概公式和逆概公式，随机事件的独立性。乘法公式、全概公式和逆概公式，随机事件的独立性。二、在介绍以上基本内容之后，本章还介绍了一维随机变量，二、在介绍以上基本内容之后，本章还介绍了一维随机变量，二维随机变量以及它们的分布函数，还分别介绍了离散型随机二维随机变量以及它们的分布
33、函数，还分别介绍了离散型随机变量与连续型随机变量，条件分布，边际分布和随机变量的独变量与连续型随机变量，条件分布，边际分布和随机变量的独立性。立性。三、这一章的第三部分介绍的内容为随机变量的数字特征。三、这一章的第三部分介绍的内容为随机变量的数字特征。主要内容有：随机变量的数学期望、条件数学期望及它们的主要内容有：随机变量的数学期望、条件数学期望及它们的性质，随机变量的方差及其性质。在这同时还介绍了随机变量性质，随机变量的方差及其性质。在这同时还介绍了随机变量的数字特征和变异系数，切比雪夫不等式等。的数字特征和变异系数，切比雪夫不等式等。五、这一章最后介绍了五、这一章最后介绍了n维正态分布随机
34、向量的性质、大数定维正态分布随机向量的性质、大数定律以及随机事件发生的频率与概率之间的关系，中心极限定理。律以及随机事件发生的频率与概率之间的关系，中心极限定理。四、本章第四部分内容包括随机变量的协方差、相关系数、四、本章第四部分内容包括随机变量的协方差、相关系数、随机变量各阶矩概念及其随机向量的矩阵表示方法。随机变量各阶矩概念及其随机向量的矩阵表示方法。本章要点本章要点1.随机事件、随机事件的概率随机事件、随机事件的概率2.条件概率、全概率公式、贝叶斯公式条件概率、全概率公式、贝叶斯公式3.随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，条件分随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，条件分 布布4.
35、随机变量的数字特征随机变量的数字特征期望和方差、协方差、相关期望和方差、协方差、相关 系数系数5.条件期望、切比雪夫不等式条件期望、切比雪夫不等式6.多元正态分布随机变量的性质多元正态分布随机变量的性质7.大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理8.随机变量矩的概念随机变量矩的概念第二章第二章 矩阵代数矩阵代数 矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念,它它是线性代数的一个重要研究对象是线性代数的一个重要研究对象,也是研究线性方程组解也是研究线性方程组解结构的主要工具。结构的主要工具。在计量经济学研究中，它也占有非常特殊的地位在计量经济学研究中，
36、它也占有非常特殊的地位,应应用矩阵代数理论有时可使计量经济学问题表述简洁明了用矩阵代数理论有时可使计量经济学问题表述简洁明了,尤其重要的是许多表面上看起来不相同的、较为复杂的尤其重要的是许多表面上看起来不相同的、较为复杂的结果结果,在实际上具有同样的结构，而且相对简单。在实际上具有同样的结构，而且相对简单。为了更好地理解本书后面的一些内容为了更好地理解本书后面的一些内容,在这一章介绍在这一章介绍有关矩阵代数的内容有关矩阵代数的内容,这些内容包括矩阵的定义这些内容包括矩阵的定义,矩阵的矩阵的运算，矩阵的逆，线性方程组的解，矩阵的特征根和特运算，矩阵的逆，线性方程组的解，矩阵的特征根和特征向量，线
37、性交换，正交变换等基本概念和结论。征向量，线性交换，正交变换等基本概念和结论。一、矩阵的定义一、矩阵的定义第一节第一节矩阵及其运算矩阵及其运算 矩阵是一些符号（数）的排列矩阵是一些符号（数）的排列,一般用大写字母一般用大写字母A A，B B，C C，表示，如：表示，如：nkknkknnnkijaaaaaaaaaaA212222111211)(其中：元素其中：元素a aijij的下标的下标i i表示这个元素在矩阵中的第表示这个元素在矩阵中的第i i行行,j j表示这个元素在矩阵中的第表示这个元素在矩阵中的第j j列列,k,k表示矩阵表示矩阵A A中有行中有行k,k,n n表示矩阵表示矩阵A A中
38、有中有n n列。列。nkknkknnnkijaaaaaaaaaaA212222111211)(矩阵矩阵A A中中,当当n=kn=k时时,称称A A为方阵；为方阵；当当 a aijij=a=ajiji时时,称称A A为对称阵为对称阵 当当ijij时，时，a aijij=0=0,或当或当jiji时时a aijij=0,=0,则则A A分别称为下三角阵分别称为下三角阵和上三角阵。和上三角阵。当当i i j j时时,a,aijij=0,=0,则称则称A A为对角阵；为对角阵；特别地特别地,当当ijij时时,a,aijij=o,=o,当当ijij时时,a,aijij=1,=1,则称则称A A为单位阵，为
39、单位阵，记为记为I I或或E E。设设 。如果。如果m=km=k，n=Ln=L，且，且 a aijij=b=bijij 对一对一切切i=1,2,j=1,2,ni=1,2,j=1,2,n都成立，则称都成立，则称A=BA=B，即矩阵，即矩阵A A与矩与矩阵阵B B相等。相等。ijA=(a ),m nijB=(b)k l二、矩阵的运算二、矩阵的运算（一）加法（一）加法(二二)零矩阵、负矩阵及矩阵的减法零矩阵、负矩阵及矩阵的减法1 1零矩阵。矩阵中元素全为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵。矩阵中元素全为零的矩阵称为零矩阵。定义定义2.1 2.1 设设 是两个是两个s sn n阶阶 矩阵矩阵,则则 矩阵称为矩
40、阵矩阵称为矩阵A A与与B B之和。之和。ijA=(a ),s nijB=(b )s nij m n(+b)ijca2 2负矩阵。矩阵负矩阵。矩阵3 3矩阵的减法。矩阵的减法定义为：矩阵的减法。矩阵的减法定义为：A-B=A+(-B)A-B=A+(-B)A+(-A)=0A+(-A)=0snssnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵称为矩阵A A的负矩阵，记为的负矩阵，记为-A-A。显然有。显然有(三三)矩阵乘法矩阵乘法称为矩阵与数称为矩阵与数k k的数量乘积，记为的数量乘积，记为kAkA。（四）矩阵的数量乘法（四）矩阵的数量乘法定义定义2.3 2.3 矩阵矩阵 snssnnkak
41、akakakakakakaka212222111211(五）矩阵的转置五）矩阵的转置定义定义2.4 2.4 设设 snssnnaaaaaaaaaA212222111211所谓所谓A A的转置就是指矩阵的转置就是指矩阵snnnssaaaaaaaaaA212221212111显然，显然，s sn n阶矩阵的转置就是阶矩阵的转置就是n ns s阶矩阵。阶矩阵。定义定义2.5 n2.5 n阶方阵阶方阵A A称为可逆的，如果有称为可逆的，如果有n n阶方阵阶方阵B B，使得，使得AB=BA=E AB=BA=E 这里这里E E是是n n阶单位矩阵阶单位矩阵,矩阵矩阵B B称为称为A A的逆矩阵。记为的逆矩
42、阵。记为A A-1-1 2 2逆矩阵的求法。逆矩阵的求法一般有三种方法：逆矩阵的求法。逆矩阵的求法一般有三种方法：（1 1）行变换法）行变换法 012411210A求求A A-1-1。设设六、矩阵的逆六、矩阵的逆将单位矩阵与将单位矩阵与A A矩阵并排构成一个新矩阵，把第一行与矩阵并排构成一个新矩阵，把第一行与第二行互换，使矩阵第一行的第一个元素为非零元素第二行互换，使矩阵第一行的第一个元素为非零元素。将第一行元素乘将第一行元素乘-2-2加到第三行，使得第三行第一个元加到第三行，使得第三行第一个元素为零。素为零。第二行元素乘第二行元素乘3 3加到第三行；第三行乘加到第三行；第三行乘1 1加到第二
43、行，加到第二行，使第二行第三个元素为使第二行第三个元素为0 0。第三行乘第三行乘2 2加到第一行使第一行第三个元素为加到第一行使第一行第三个元素为0 0。第二行乘第二行乘-1-1加到第一行，使第一行第二个元素为加到第一行，使第一行第二个元素为0 0。第三行乘以第三行乘以-1-12 2，使第三行第三个元素为，使第三行第三个元素为1 1。（2 2）列变换。同样以例子说明此方法：）列变换。同样以例子说明此方法：设设012114210A求求A A-1-1。（3 3）代数余子式法。）代数余子式法。a a逆序、逆序数逆序、逆序数定义定义2.6 2.6 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小在一个排列中，
44、如果一对数的前后位置与大小 顺序相反顺序相反,即前面的数大于后面的数，那么它们就称即前面的数大于后面的数，那么它们就称 为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列 的逆序数。的逆序数。定义定义2.7 2.7 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为 奇数的排列称为奇排列。奇数的排列称为奇排列。b b行列式的计算行列式的计算设方矩阵设方矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211它所对应的它所对应的n n阶行列式定义为：阶行列式定义为：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211等于所
45、有取自不同行不同列的等于所有取自不同行不同列的n n个元素的乘积个元素的乘积nnjjjaaa2121的代数和的代数和 c c代数余子式代数余子式定义定义2.8 2.8 在矩阵在矩阵nnnjninijinjaaaaaaaaa111111中划去元素中划去元素a aijij所在的第所在的第i i行与第行与第j j列列,剩下的（剩下的（n-1n-1）个）个元素按原来的排法构成一个元素按原来的排法构成一个n-1n-1阶的行列式阶的行列式 nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111称为元素称为元素
46、a aijij的余子式，的余子式，记为记为M Mijij，称，称 A Aijij=(-1)=(-1)i+ji+j M Mijij为元素为元素a aijij的代数余子式的代数余子式d d矩阵矩阵A A的逆的逆矩阵矩阵A A的逆可表示为：的逆可表示为：*11AdA其中其中 dA1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA(4)(4)逆矩阵的性质逆矩阵的性质11111)()()(ABABAA如果矩阵如果矩阵A A，B B可逆，则可逆，则 与与ABAB也可逆，且也可逆，且A第二节第二节 线性方程组线性方程组一、线性相关与线性无关一、线性相关与线性无关（一）线性相关、线性无关（一）线性相关
47、、线性无关定义定义2.9 2.9 向量向量 称为向量组称为向量组 1,1,2 2 s s的一个线性组合，的一个线性组合，如果存在如果存在k k1,1,k k2 2kks s，使得，使得sskkk2211当向量当向量 是向量组是向量组 1,1,2 2 s s的一个线性组合时，也称的一个线性组合时，也称 可以由向量组可以由向量组 1,1,2 2 s s线性表出。线性表出。定义定义2.10 2.10 如果向量组如果向量组 1 1,2 2,s s，（s2s2）中有一）中有一向量可以经其余向量线性表出，则向量组向量可以经其余向量线性表出，则向量组 1 1,2 2,s s,称为线性相关的。称为线性相关的。
48、定义定义2.11 2.11 一向量组的一个部分一向量组的一个部分向量向量组称为一个极大线性组称为一个极大线性无关组，如果这个部分无关组，如果这个部分向量向量组是线性无关的，并且从这个组是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组线性相关。向量组线性相关。定义定义2.12 2.12 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩为这个向量组的秩.（二）矩阵的秩（二）矩阵的秩1 1、矩阵的行秩与列秩、矩阵的行秩与列秩 定义定义2.13 2.13 所谓矩阵的行秩就是指矩
49、阵的行向量组的秩；所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。2 2、矩阵秩的判别、矩阵秩的判别定理定理2.2 2.2 一个矩阵的秩为一个矩阵的秩为r r的充分必要条件为矩阵中一个的充分必要条件为矩阵中一个r r阶子式不为零，同时所有（阶子式不为零，同时所有（r+1r+1）阶子式全为零。）阶子式全为零。定理定理2.1 矩阵的行秩与列秩相等。矩阵的行秩与列秩相等。定义定义2.14 在一个在一个n阶的行列式阶的行列式D中，任意选中，任意选 k行行k列，位列，位于这些行和列的交点上的于这些行和列的交点上的 k2个元素按照原来的位置组成个
50、元素按照原来的位置组成一个一个k阶行列式阶行列式M，称为行列式，称为行列式D的一个的一个 k阶子式，在阶子式，在D中中划去这划去这k行行k列之后，余下的元素按照原来的位置，组成列之后，余下的元素按照原来的位置，组成的的（n-k）阶行列式称为）阶行列式称为k阶子式阶子式M的余子式。的余子式。二、线性方程组二、线性方程组（一）（一）一般线性方程一般线性方程一般线性方程是指形式为一般线性方程是指形式为11 11221121 1222221 122 ssssnnnssna xa xa xba xa xa xba xa xa xb的方程组的方程组（二）线性方程组有解判别定理（二）线性方程组有解判别定理引
