1、1主要内容主要内容1.1.动态系统的外部稳定性动态系统的外部稳定性2.2.动态系统的内部稳定性动态系统的内部稳定性3.3.李雅普诺夫判稳第一方法李雅普诺夫判稳第一方法4.4.李雅普诺夫判稳第李雅普诺夫判稳第二二方法方法5.5.李雅普诺夫方法在李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性系统中的应用2控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化：指系统在零输入条
2、件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。所定义的内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入输出无关。本身的结构和参数有关，与输入输出无关。是控制系统能否正常工作的前提条件。是控制系统能否正常工作的前提
3、条件。34.1 动态系统的外部稳定性动态系统的外部稳定性有界输入，有界输出稳定性定义：有界输入，有界输出稳定性定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ，当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满足 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。k0tt，tu tku y t yta k4对于零初始条件的定常系统，设初始时刻 ，单位脉冲响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 ，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使 的每一个元 满足0i jgtd tk00t tG sG 1,2,1,2,ijgtiq jp
4、 tG或者 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 的所有极点处在左半复平面。ijgs sG54.2 4.2 动态系统的内部稳定性动态系统的内部稳定性1.1.系统的平衡状态系统的平衡状态2.2.状态向量范数状态向量范数3.3.李雅普诺夫意义下稳定性定义（李雅普诺夫意义下稳定性定义（4 4种）种）稳定稳定渐近稳定渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定不稳定不稳定6：对所有时间：对所有时间t，如果满足，如果满足 ，称，称xe为系统为系统的平衡状态或平衡点。的平衡状态或平衡点。稳定性稳定性针对平衡状态而言。针对平衡状态而言。0)(eexfx 3、对任意、对任意 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐
5、标，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。：1、对于线性定常系统：、对于线性定常系统：A为非奇异阵时，为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。是其唯一的平衡状态。A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。0)(Axxfxee2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。0 ex4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状
6、态。样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。7212n222211)()()(eneeexxxxxxxxexx8李氏稳定几何表示法：李氏稳定几何表示法：设设 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数，都可以找到另一个正实数 或球或球域域 ，当初始状态，当初始状态 满足满足 时，对由此出发时，对由此出发的的X的运动轨迹有的运动轨迹有 ，则称平衡状态则称平衡状态 在李雅普诺在李雅普诺夫意义下是夫意义下是稳定稳定的。的。如果如果 与初始时刻与初始时刻 无关，则称平衡状态是无关，则称平衡状态是
7、一致稳定一致稳定的。的。0 )(S),(0t )(S0 x),(00txxe etxxlim 0texex9如果如果 与初始时刻与初始时刻 无关，则称平衡状态无关，则称平衡状态x xe e为为一致渐近稳定一致渐近稳定。设设x xe e为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t t趋趋向于无穷大时，有：向于无穷大时，有：0lim etxx即收敛于平衡状态即收敛于平衡状态x xe e，则称平衡状态，则称平衡状态x xe e为为渐近稳定渐近稳定的。的。0t渐近稳定渐近稳定几何表示法：几何表示法：10 如果对状态空间的任意点，如果对状态空间的任意点，
8、都有渐，都有渐近稳定特性，即：近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡状态对所有点都成立，称平衡状态x xe e为大范围渐近稳定的。其为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。渐近稳定的最大范围是整个状态空间。0lim etxx：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。围渐近稳定的。：整个状态空间中，只有一个平衡状态。：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有（假设有2 2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）1
9、1 如果对于某一实数如果对于某一实数 ，不论，不论 取得多么小，由取得多么小，由 内内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 ，则称平衡状态，则称平衡状态xe是是不稳定的。不稳定的。0 )(S)(S 不稳定几何表示法：不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了说明：虽然不稳定的轨迹超出了 ，但并不一定趋向于，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于无穷远处，有可能趋向于 外的某个极限环。外的某个极限环。)(S)(S1213内部稳定性判据内部稳定性判据：线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定的充分必要条件为：的充分必要条件为：A阵的所有特阵的所有特征值征值全为负
10、实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于根全部位于s s平面的左半部。平面的左半部。线性定常连续系统的传递函数是线性定常连续系统的传递函数是 ，当且仅，当且仅当其极点都在当其极点都在s的左半平面时，系统才是的左半平面时，系统才是输入输出稳定输入输出稳定的。否的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据外部稳定性判据：BAsICsG1)()(稳稳定定区区不不稳稳定定区区临临界界稳稳定
11、定mIeRS S平面平面图解表示图解表示：14 设系统方程为：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。试确定其外部稳定性、内部稳定性。xyuxx10,121160 （1）系统的传递函数为：）系统的传递函数为：)3(1)3)(2()2(1211610)()(11 ssssssBAsICsG极点位于极点位于s左半平面，左半平面，s=2的极点被对消掉了。的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。系统是有界输入有界输出稳定的。求系统的特征方程：求系统的特征方程：0)3)(2(116)det(AI3221 ，求得：求得：系统不是渐近稳定的。系统不是渐近稳定的。15etxx lim)(xV)(
12、xV)(xV：直接法，用能量观点分析稳定性：直接法，用能量观点分析稳定性16李雅普诺夫函数说明：李雅普诺夫函数说明：1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为数为(半半)负定。负定。2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。可以。3）李氏函数最简单形式是二次型）李氏函数最简单形式是二次型 ，P是是正定实对称方阵正定实对称方阵。PxxxVT)(17标量函数标量函数V(x)：1 1）正定性：当且仅当）正定性：当且仅当x
13、=0 x=0时，才有时，才有 ；对任意；对任意 非零非零X X，恒有，恒有 ，则，则 为正定。为正定。0)(xV0)(xV)(xV2）负定性：当仅当）负定性：当仅当X=0时，才有时，才有 ；对任意非零；对任意非零x,恒有恒有 ，则，则 为负定。为负定。0)(xV0)(xV)(xV183）半正定和半负定）半正定和半负定 如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ,则则V(X)为半正定。为半正定。如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ,则则V(X)为半负定。为半负定。5）不定性）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正可为正值也可为负值，则值也可为负值，则
14、V(x)为不定。为不定。0 x0)(xV0)(xV4）(半半)正定和正定和(半半)负定间的关系负定间的关系 V(x)为正定，则为正定，则V(x)为负定；为负定；V(x)为半正定，则为半正定，则V(x)为半负定；为半负定；0 x19如果如果 ，则称，则称P P为实对称矩阵。为实对称矩阵。kiikpp PxxxxxpppppppppxxxxVTnnnnnnnn 21212222111211,21,)(1、二次型函数、二次型函数V(x)：20 nnnnnnpppppppppP2122221112110,0,0222112112111 Ppppppn 1）二次型二次型 为正定，或实对称矩阵为正定，或实
15、对称矩阵P为正定的充要为正定的充要条件是条件是P的所有主子行列式均为正，即：的所有主子行列式均为正，即：PxxxVT)(则则P为正定，即为正定，即V(x)正定。正定。如果如果 2）二次型二次型 为为负定负定，或实对称阵，或实对称阵P为负定的为负定的充要条件是充要条件是P的主子行列式满足的主子行列式满足 ；（i为偶数）为偶数）i=1，2，3，,n。为奇数）为奇数）ii(0 0 i PxxxVT)(2、二次型函数、二次型函数V(x)正正(负负)定性判定：赛尔维斯特判据定性判定：赛尔维斯特判据21)(xfx 0 ex)(xV)(xV)(xV x)(xV：判据：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数
16、是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。22)(xfx 0 ex)(xV)(xV0)(xV)(xV0t00 x0tt 0 x)(xV：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。的曲面相切。CxV)(23：设系统状态方程为：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数为其平衡状态。如果存在一个标量函数 ，它具有连续的
17、一阶偏函数，且满足下列条件：它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：在原点的某一邻域内是在原点的某一邻域内是正定正定的，的，在同样的邻域内是在同样的邻域内是正定正定的，的，则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。)(xfx 0 ex)(xV)(xV)(xV24令令 ，得，得 是系统唯一的平衡状态。是系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数）选取李氏函数 选选 ，则，则 正定的正定的 2221)(xxxV 0)(2221 xxxV 负定的负定的0)(2)(2)(222)(22221222121222211212211 xxxxxxxxxxxxxxxxxV1）平衡状态）
18、平衡状态 0,021 xx0,021 xx3）当）当 ，即，即 X 212221xx，得，得 2221)(xxxV则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由判据由判据1可知可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx25 设系统方程为：设系统方程为：试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。21221xxxxx ：1）平衡状态）平衡状态 令令 ，得，得 是系统唯一的平衡状
19、态。是系统唯一的平衡状态。0,021 xx0,021 xx同时有同时有 不可能恒为零。不可能恒为零。2）选李氏函数）选李氏函数正定正定0)(2221 xxxV222211222)(xxxxxxV 0)(0,021 xVxx时，时，0)(0,021 xVxx时时，半半负负定定)(xV由判据由判据2可知可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。222)(xxV 2627：选择二次型函数：选择二次型函数 为李氏函数。为李氏函数。PxxxVT)(QxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxPxxxVTTTTTTTT )()()()(负定负定正定正定由
20、上一节讨论的判据由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：知道系统渐近稳定，故有以下判据：且标量函数且标量函数 就是系统的一个李氏函数。就是系统的一个李氏函数。：线性连续定常系统：线性连续定常系统：在平衡状态在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：使满足：Axx QPAPAT 0 exPxxxVT)(Axx 28 1）因为）因为正定对称矩阵正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断的形式可任意给定，且最终判断结果和结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取的不同形式选
21、择无关，所以通常取 。IQ 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。）该定理阐述的条件，是充分且必要的。：3）如果）如果 除了在除了在 时有时有 外，外，不恒等于零不恒等于零,则则由上一节判据由上一节判据2可知，可知，Q可可 取做取做半正半正定定。为计算简单，此时。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：可取作如下矩阵：QxxxVT )(100000000Q0 x0)(xV)(xV29 用李氏第二法，求使下列系统稳定的用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。值。2xuy1x1 sk3x21 ss11、写出状态空间表达式、写出状态空间表达式 ky 2x2 u1x1 3x30,001012001032132
22、1ukxxxkxxx 321001xxxy状态空间状态空间描述为：描述为：2、用李氏第二法判稳（令、用李氏第二法判稳（令u=0）状态状态所以原点是其唯一平衡所以原点是其唯一平衡,0|kA1）Q能不能取做半正定？能不能取做半正定？100000000QQ可以取半正定：可以取半正定：所以所以0)(,)(23不恒等于不恒等于故故xVxQxxxVT 2）计算使实对称矩阵）计算使实对称矩阵P为正定的为正定的k值范围值范围由判据由判据4 得：得：QPAPAT 31 1000000001012001010120010332313232212131211333231232221131211kpppppppppp
23、ppppppppkT注意：注意：P为正定实对称矩阵。为正定实对称矩阵。kkkkkkkkkkkkkkP212621202122123212602126212122解得：解得：根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则正定，则12-2k0，且，且k0 所以系统稳定的所以系统稳定的k值范围为值范围为0k632线性定常离散系统的状态方程为线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点则系统在平衡点Xe=0Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵任意给定的对称正定矩阵Q Q，都存在对称正定矩阵，都存在对称正定矩阵P P，使得：使得：)()1(k
24、Gxkx QPPGGT 且系统的李雅普诺夫函数是：且系统的李雅普诺夫函数是：)()()(kPxkxkxVT：代替，则有：的导数用对于线性离散时间系统)()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 33 当取当取 时：时：如果：如果 沿任意一解序列不恒等沿任意一解序列不恒等于零，于零，Q也可取为也可取为半正定半正定的。的。)()()(kQxkxkxVT IQ IPPGGT QPPGGT 仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵仿线性连续系统，先给出正定对称矩
25、阵Q Q，从以下方程中解出，从以下方程中解出实对称阵实对称阵P P，然后验证，然后验证P P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。负负定定，即即：正正定定要要使使系系统统渐渐近近稳稳定定，则则)(,)(kxVkxV 为正定。为正定。PPGGQT 34试用李氏第二法确定系统在平衡点试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的为渐近稳定的k值范围。值范围。0 ex根据根据 得：得：IQ QPPGGT 取：取：100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知线性离散时间系统状态方程为：已知线性离散时间系统状态方程为：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG35根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则正定，则 ，即：，即：k2，所以系统渐近稳定的，所以系统渐近稳定的k值范围为值范围为0k2 222)2/(13000)2/(1)2/(20001kkkP解得：解得：0)2/(12 k36
