1、2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1（4分）在实数|3.14|，3，-3，中，最小的数是（）A-3B3C|3.14|D2（4分）下列运算正确的是（）Aa6a3a3Ba4a2a8C（2a2）36a6Da2+a2a43（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A4.2109米B4.2108米C4210
2、7米D4.2107米4（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）ABCD5（4分）如图，直线1112，130，则2+3（）A150B180C210D2406（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A众数是8B中位数是8C平均数是8.2D方差是1.27（4分）不等式组5x+42(x-1)，2x+53-3x-221的解集是（）Ax2Bx2C2x2D2x28（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向，则A，C两港之间的距离为（）kmA30+303B30+103C10+303
3、D3039（4分）如图，ABC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）A32B31C29D6110（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A15B25C35D4511（4分）如图，将O沿弦AB折叠，AB恰好经过圆心O，若O的半径为3，则劣AB的长为（）A12BC2D312（4分）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4C2D22二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最
4、后结果，每小题填对得4分）13（4分）已知关于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+30有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 14（4分）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为 15（4分）如图，AOB90，B30，以点O为圆心，OA为半径作弧
5、交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA3，则阴影部分的面积为 16（4分）若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，则关于x的方程x2+bx52x13的解为 17（4分）在平面直角坐标系中，直线l：yx+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 18（4分）如图，矩形ABCD中，AB36，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是
6、三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19（8分）先化简，再求值：（a9+25a+1）（a1-4a-1a+1），其中a=220（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90x1008第2组80x90a第3组70x8010第4组60x70b第5组50x603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？
7、21（11分）已知一次函数ykx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OBAB，且SOAB=152（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标22（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变求A种粽子最多能购进多少个？23
8、（13分）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点（1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PEEC，如图，求证：AEABDEAP；（3）在（2）的条件下，若AB1，BC2，求AP的长24（13分）若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由25（14分）如图，四边形ABCD是正
9、方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂足为点G（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1（4分）在实数|3.14|，3，-3，中，最小的数是（）A-3B3C|3.14|D【解答】解：|-3|=3|3|3-3（3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B2（4分）
10、下列运算正确的是（）Aa6a3a3Ba4a2a8C（2a2）36a6Da2+a2a4【解答】解：A、a6a3a3，故此选项正确；B、a4a2a6，故此选项错误；C、（2a2）38a6，故此选项错误；D、a2+a22a2，故此选项错误；故选：A3（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A4.2109米B4.2108米C42107米D4.2107米【解答】解：42万公里420000000m用科学记数法表示为：4.2108米，故选：B4（4分）下列图形：
11、是轴对称图形且有两条对称轴的是（）ABCD【解答】解：是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；不是轴对称图形，故本选项错误故选：A5（4分）如图，直线1112，130，则2+3（）A150B180C210D240【解答】解：过点E作EF11，1112，EF11，EF1112，1AEF30，FEC+3180，2+3AEF+FEC+330+180210，故选：C6（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A众数是8B中位数是8C平均数是8.2D方差是1.2【解答】解：由图可得，
12、数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是12（8+8）8，故B选项正确；平均数为110（6+72+83+92+102）8.2，故C选项正确；方差为110（68.2）2+（78.2）2+（78.2）2+（88.2）2+（88.2）2+（88.2）2+（98.2）2+（98.2）2+（108.2）2+（108.2）21.56，故D选项错误；故选：D7（4分）不等式组5x+42(x-1)，2x+53-3x-221的解集是（）Ax2Bx2C2x2D2x2【解答】解：5x+42(x-1)2x+53-3x-221，由
13、得，x2，由得，x2，所以不等式组的解集是2x2故选：D8（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向，则A，C两港之间的距离为（）kmA30+303B30+103C10+303D303【解答】解：根据题意得，CAB652045，ACB40+2060，AB302，过B作BEAC于E，AEBCEB90，在RtABE中，ABE45，AB302，AEBE=22AB30km，在RtCBE中，ACB60，CE=33BE103km，ACAE+CE30+103，A，C两港之间的距离为（30+103）km，故选：B9（4分）如图，A
14、BC是O的内接三角形，A119，过点C的圆的切线交BO于点P，则P的度数为（）A32B31C29D61【解答】解：如图所示：连接OC、CD，PC是O的切线，PCOC，OCP90，A119，ODC180A61，OCOD，OCDODC61，DOC18026158，P90DOC32；故选：A10（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A15B25C35D45【解答】解：画树状图如图所示：共有10种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有6种结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为610=3
15、5；故选：C11（4分）如图，将O沿弦AB折叠，AB恰好经过圆心O，若O的半径为3，则劣AB的长为（）A12BC2D3【解答】解：连接OA、OB，作OCAB于C，由题意得，OC=12OA，OAC30，OAOB，OBAOAC30，AOB120，劣AB的长=1203180=2，故选：C12（4分）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4C2D22【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2=12CE当点F在EC上除点C、E的
16、位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1P=12CF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP122PB的最小值是22故选：D二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13（4分）已知关于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+30有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围
17、是k-114【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，（2k1）24（k2+3）4k+1120，解得k-114；故答案为：k-11414（4分）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为9x=11y(10y+x)-(8x+y)=13【解答】解：设每枚黄金重x
18、两，每枚白银重y两，由题意得：9x=11y(10y+x)-(8x+y)=13，故答案为：9x=11y(10y+x)-(8x+y)=1315（4分）如图，AOB90，B30，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA3，则阴影部分的面积为34【解答】解：连接OC，作CHOB于H，AOB90，B30，OAB60，AB2OA6，由勾股定理得，OB=AB2-OA2=33，OAOC，OAB60，AOC为等边三角形，AOC60，COB30，COCB，CH=12OC=32，阴影部分的面积=6032360-123332+123332-3032360=34，故答案为：3416（4分）若
19、二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，则关于x的方程x2+bx52x13的解为x12，x24【解答】解：二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，-b2=2，得b4，则x2+bx52x13可化为：x24x52x13，解得，x12，x24故意答案为：x12，x2417（4分）在平面直角坐标系中，直线l：yx+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是2（2n1）【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为
20、（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），OA11，C1A22，C2A34，C3A48，前n个正方形对角线长的和是：2（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1An）=2（1+2+4+8+2n1），设S1+2+4+8+2n1，则2S2+4+8+2n1+2n，则2SS2n1，S2n1，1+2+4+8+2n12n1，前n个正方形对角线长的和是：2（2n1），故答案为：2（2n1），18（4分）如图，矩形ABCD中，AB36，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是215【解答】解：
21、如图，连接EC，四边形ABCD为矩形，AD90，BCAD12，DCAB36，E为AD中点，AEDE=12AD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+GEC=1218090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，FEDE=ECDC，EC=DE2+DC2=62+(36)2=310，FE6=31036，FE215，故答案为：215三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19（8分）先化简，再求值：（a9+25a+1
22、）（a1-4a-1a+1），其中a=2【解答】解：原式（a2-8a-9a+1+25a+1）（a2-1a+1-4a-1a+1）=a2-8a+16a+1a2-4aa+1 =(a-4)2a+1a+1a(a-4) =a-4a，当a=2时，原式=2-42=12220（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90x1008第2组80x90a第3组70x8010第4组60x70b第5组50x603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在
23、扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【解答】解：（1）抽取学生人数1025%40（人），第2组人数 4030%12（人），第4组人数 4050%1037（人），a12，b7；（2）360340=27，“第5组”所在扇形圆心角的度数为27；（3）成绩高于80分：180050%900（人），成绩高于80分的共有900人21（11分）已知一次函数ykx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OBAB，且SOAB=152（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标【解答】
24、解：（1）如图1，过点A作ADx轴于D，B（5，0），OB5，SOAB=152，125AD=152，AD3，OBAB，AB5，在RtADB中，BD=AB2-AD2=4，ODOB+BD9，A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m9327，反比例函数的解析式为y=27x，将点A（9，3），B（5，0）代入直线ykx+b中，9k+b=35k+b=0，k=34b=-154，直线AB的解析式为y=34x-154；（2）由（1）知，AB5，ABP是等腰三角形，当ABPB时，PB5，P（0，0）或（10，0），当ABAP时，如图2，由（1）知，BD4，易知，点P与点B关于AD对称，DPBD4，
25、OP5+4+413，P（13，0），当PBAP时，设P（a，0），A（9，3），B（5，0），AP2（9a）2+9，BP2（5a）2，（9a）2+9（5a）2a=658，P（658，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）22（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进
26、价不变求A种粽子最多能购进多少个？【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：1500x+15001.2x=1100，解得：x2.5，经检验，x2.5是原方程的解，且符合题意，1.2x3答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600m）个，依题意，得：3m+2.5（2600m）7000，解得：m1000答：A种粽子最多能购进1000个23（13分）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点（1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形；（2）若
27、PEEC，如图，求证：AEABDEAP；（3）在（2）的条件下，若AB1，BC2，求AP的长【解答】（1）证明：如图中，四边形ABCD是矩形，BAD90，AEBD，AED90，BAE+EAD90，EAD+ADE90，BAEADE，AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD，AGPAPG，APAG，PAAB，PFBD，BP平分ABD，PAPF，PFAG，AEBD，PFBD，PFAG，四边形AGFP是平行四边形，PAPF，四边形AGFP是菱形（2）证明：如图中，AEBD，PEEC，AEDPEC90，AEPDEC，EAD+ADE90，ADE+CDE90，EAPEDC，AEPDEC，AE
28、DE=APDC，ABCD，AEABDEAP；（3）解：四边形ABCD是矩形，BCAD2，BAD90，BD=AB2+AD2=5，AEBD，SABD=12BDAE=12ABAD，AE=255，DE=AD2-AE2=455，AEABDEAP；AP=2551455=1224（13分）若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函
29、数的图象经过点A（3，0）、B（0，2）、C（2，2）9a+3b+c=00+0+c=-24a+2b+c=-2 解得：a=23b=-43c=-2二次函数表达式为y=23x2-43x2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PDx轴于点D设P（t，23t2-43t2）（t3）ODt，PD=23t2-43t2设直线BP解析式为ykx2把点P代入得：kt2=23t2-43t2k=23t-43直线BP：y（23t-43）x2当y0时，（23t-43）x20，解得：x=3t-2C（3t-2，0）t3t213t-23，即点C一定在点A左侧AC3-3t-2=3(t-3)t-2SPBASABC+SACP=
30、12ACOB+12ACPD=12AC（OB+PD）4123(t-3)t-2(2+23t2-43t-2)=4解得：t14，t21（舍去）23t2-43t2=323-163-2=103点P的坐标为（4，103）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使ABOABM如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EFy轴于点FAB垂直平分OEBEOB，OGGEABOABMA（3，0）、B（0，2），AOB90OA3，OB2，AB=OA2+OB2=13sinOAB=OBAB=21313，cosOAB=OAAB=31313SAOB=12OAOB=12ABOGOG
31、=OAOBAB=61313OE2OG=121313OAB+AOGAOG+BOG90OABBOGRtOEF中，sinBOG=EFOE=21313，cosBOG=OFOE=31313EF=21313OE=2413，OF=31313OE=3613E（2413，-3613）设直线BE解析式为yex2把点E代入得：2413e2=-3613，解得：e=-512直线BE：y=-512x2当-512x2=23x2-43x2，解得：x10（舍去），x2=118点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为11825（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂
32、足为点G（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【解答】解：（1）AGFG，理由如下：如图，过点F作FMAB交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形ABBC，B90BADFMAB，MAD90，FGAD四边形AGFM是矩形AGMF，AMFG，CEF90，FEM+BEC90，BEC+BCE90FEMBCE，且MB90，EFECEFMCEB（AAS）BEMF，MEBCMEABBCBEMAMFAGFG，（2）DHHG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FGAD，CDADFGCDFGCN=FHCH=GHNH，且CHFH，GHHN，NCFGAGFGNC又ADCD，GDDN，且GHHNDHGH第27页（共27页）
