1、1.(2019北京,24,6分)如图,P是 与弦AB所围成的图形的外部的一定点,C是 上一动点,连接PC交弦AB于点D.小腾根据学习函数的经验,对线段PC,PD,AD的长度之间的关系进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整:,(1)对于点C在 上的不同位置,画图、测量,得到了线段PC,PD,AD的长度的几组值,如下表:,在PC,PD,AD的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这 个自变量的函数; (2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当PC=2PD时,AD的长度约为 cm.,解析 (1)AD,PC,PD
2、. 由函数定义可知,当自变量确定时,函数值随之唯一确定,观察表格中的画圈处可知PC,PD的长度都不是自 变量,所以AD的长度是自变量,PC,PD的长度是AD长度的函数. (2),(3)当PC=2PD时,AD的长度约为2.29或3.99 cm. 观察表格中的位置4和位置6即可得出结论:,易错警示 本题第一问考查了对函数定义的理解,除了两个变量,还要关注“随之唯一确定”这一层关系.,2.(2018北京,24,6分)如图,Q是 与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交 于点C,连接AC.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,C两点间的距离为y1 cm
3、,A,C两点间的距离为y2 cm. 小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;,(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.,解析 (1)通过画图观察可得当x=3时,y1=3.00. (2)如图所示. (3)3.00或4.83或5.86.在坐标系中画出直线y=x,则三个图
4、象中,两两图象交点的横坐标即为APC为等腰三 角形时线段AP的长度,则AP的长度约为3.00 cm 或4.83 cm或5.86 cm.,3.(2017北京,26,6分)如图,P是 所对弦AB上一动点,过点P作PMAB交 于点M,连接MB,过点P作PNMB于点N.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,N两点间的距离为y cm.(当点P与点A或点B重合时,y的值为0) 小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时相关数值保留一位小数) (
5、2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象,解决问题:当PAN为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.,解析 (1),(2) (3)2.25.(答案不唯一) 提示:当PAN为等腰三角形时,只有AP=PN这一种可能,则有y=x,求函数y=x的图象与所画出的函数图象的 交点即可.,4.(2019北京朝阳一模,24)小超在观看足球比赛时,发现了这样一个问题:两名运动员从不同的位置出发,沿 着不同的方向,以不同的速度直线奔跑,什么时候他们离对方最近呢? 小超通过测量,选择了合适的比例尺,把上述问题抽象成如下数学问题: 如图,在RtABC中
6、,C=90,AC=6 cm,BC=8 cm,点D以1 cm/s的速度从点C向点B运动,点E以2 cm/s的速度 从点A向点B运动,当点E到达点B时,两点同时停止运动,若点D,E同时出发,多长时间后DE取得最小值? 小超猜想当DEAB时,DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难,于是根据函数的学 习经验,设C,D两点间的距离为x cm,D,E两点间的距离为y cm,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行,了探究. 下面是小超的探究过程,请补充完整: (1)由题意可知线段AE和CD的数量关系是 ; (2)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;,(说
7、明:补全表格时相关数值保留一位小数) (3)在平面直角坐标系中,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (4)结合画出的函数图象,解决问题:小超的猜想 ;(填“正确”或“不正确”)当两点同时出发了 s时,DE取得最小值,为 cm.,解析 (1)AE=2CD. (1分) (2),(2分) (3) (4分) (4)不正确;4,2.7. (6分),思路分析 本题的最后一问需要借助函数图象解决,最小值即函数图象的最低点.,5.(2019北京海淀一模,24)如图,已知线段AB及一定点C,P是线段AB上一动点,作直线CP,过点A作AQCP于 点Q.已知AB=7 cm,设A,P两点间的距
8、离为x cm,A,Q两点间的距离为y1cm,P,Q两点间的距离为y2cm.小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:,(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当APQ中有一个角为30时,AP的长度约为 cm.,解析 本题答案不唯一,如: (1),(2)函数图象如图所示: (3)5.49或2.50. 提示:画直线y=
9、 x,与两图象交点的横坐标即为所求.,思路分析 本题最后一问的30角需要借助锐角三角函数值来解决:sin 30= ,即两边之比为1比2.,解题关键 解决本题最后一问的关键是要有角度转化为边的比的意识,即使用三角函数的意识.,6.(2019北京西城一模,24)如图, 是直径AB所对的半圆弧,C是 上一定点,D是 上一动点,连接DA,DB, DC.已知AB=5 cm,设D,A两点间的距离为x cm,D,B两点间的距离为y1cm,D,C两点间的距离为y2cm. 小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自
10、变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;,(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题:连接BC,当BCD是以CD为腰的等腰三角形时,DA的长度约为 cm.,解析 本题答案不唯一,如: (1)4.58. (2分) (2)函数图象如图所示: (4分),(3)1.4或4.74. (6分) (提示:当CD=BD时,两函数图象交点横坐标约为4.74,当CD=BC时,y2=3,所对应的横坐标约为1.4.),易错警示 本题最后一问BCD是以CD为腰的等腰三角形,即只
11、有两种情况:CD=BD或CD=BC.,7.(2019北京东城一模,25)如图,点E在弦AB所对的优弧上,且 为半圆,C是 上一动点,连接CA,CB,已知 AB=4 cm,设B,C两点间的距离为x cm,点C到弦AB所在直线的距离为y1 cm,A,C两点间的距离为y2 cm. 小明根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;,(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2)并画出函数y1,
12、y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题: 连接BE,则BE的长约为 cm. 当以A,B,C为顶点组成的三角形是直角三角形时,BC的长度约为 cm.,解析 (1)5.70. (1分) (2)函数图象如图所示: (3分) (3)6; (4分) 6,4.47. (6分) (提示:当EAB=90时,BC=6;当ABC=90时,BC=4.47.),8.(2019北京石景山一模,24)如图,Q是 上一定点,P是弦AB上一动点,C为AP中点,连接CQ,过点P作PD CQ交 于点D,连接AD,CD. 已知AB=8 cm,设A,P两点间的距离为x cm,C,D两点间的距离为y cm. (当点P与点A重合时,
13、令y的值为1.30) 小荣根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小荣的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值:,(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当DADP时,AP的长度约为 cm.,9.(2019北京通州一模,24)数学活动课上,老师提出问题:如图1,在RtABC中,C=90,BC=4 cm,AC=3 cm,点 D是AB的中点,点E是BC上一个动点,连接AE、DE.问CE的长是多少时,AED的周长等于CE长的3倍.
14、 设CE=x cm,AED的周长为y cm(当点E与点B重合时,y的值为10). 小牧根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小牧的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系,描出以上表中对应值为坐标的点,画出该函数的图象,如图2; (3)结合画出的函数图象,解决问题: 当CE的长约为 cm时,AED的周长最小; 当CE的长约为 cm时,AED的周长等于CE的长的3倍. 图1,图2,解析 (1)7.6. (1分) (2)描点,画图象. (3分) (3)
15、结合画出的函数图象,解决问题:1.5. (4分) 2.62.9(在范围内即可). (6分) (提示:函数图象与直线y=3x交点的横坐标即为所求.),10.(2019北京平谷一模,25)如图,点P是 所对弦AB上一动点,点Q是 与弦AB所围成的图形的内部的一 定点,作射线PQ交 于点C,连接BC.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,C两点间的距离为y1cm,B, C两点间的距离为y2 cm.(当点P与点A重合时,x的值为0). 小平根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小平的探究过程,请补充完整:,(1)按照下表中自变量x的值
16、进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值;,经测量m的值是 (保留一位小数). (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当BCP为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.,解析 (1)3.0. (1分) (2)如图. (3分) (3)1.2或1.6或3.0(提示:连接点(6,0)和点(0.6)观察三条线的)交点横坐标可知AP的长度约为1.2或1.6或3.0. (6分),11.(2019北京房山一模,25)如图,AB为O直径,点C是O上一动点,过点C作O直径CD,过点B作B
17、ECD 于点E.已知AB=6 cm,设弦AC的长为x cm,B,E两点间的距离为y cm(当点C与点A或点B重合时,y的值为0). 小冬根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小冬的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:,经测量m的值为 ;(保留两位小数) (2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象,解决问题:当BE=2时,AC的长度约为 cm.,解析 (1)2.76. (2分) (2)如图. (4分) (3)2.14或5.61(提示:函数图象与直
18、线y=2的交点的横坐标即为所求.) (6分),12.(2019北京燕山一模,23)如图,等边ABC的边长为3 cm,点N在AC边上,AN=1 cm.ABC边上的动点M从 点A出发,沿ABC运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x cm,MN的长为y cm. 小西根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小西的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;,(2)在平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点,画出该函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当MN=2 cm时,点M运动的路程为 cm.,解析 本题
19、答案不唯一,如: (1),(2分) (2) (4分) (3)2.3或4或6.(提示:函数图象与直线y=2的交点的横坐标即为所求) (6分),13.(2019北京延庆一模,23)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E,F分别是边BC上两点,且EOF=45. 将EOF绕点O逆时针旋转,当点F与点C重合时,停止旋转. 已知,BC=6,设BE=x,EF=y. 小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;,(说明:补全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立
20、平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当EF=2BE时,BE的长度约为 .,解析 (1)2.6,3. (2分) (2) (4分) (3)1.26.(提示:函数图象与直线y=2x交点的横坐标即为所求) (5分),14.(2019北京怀柔一模,25)如图,正方形ABCD中,AB=5,点E为BC边上一动点,连接AE,以AE为边,在线段AE右 侧作正方形AEFG,连接CF、DF.设BE=x(当点E与点B重合时,x的值为0),DF=y1,CF=y2. 小明根据学习函数的经验,对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面
21、是小明的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量、观察、计算,得到了x与y1,y2的几组对应值;,(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图 象; (3)结合函数图象,解决问题:当CDF为等腰三角形时,BE的长度约为 cm.,解析 (1),(2分) (2) (4分) (3)2.5或3.54或5. (6分) (提示:两函数图象与直线y=5的两个交点的横坐标(x0)及两函数图象的交点横坐标即为所求),15.(2018北京东城一模,25)如图,在等腰ABC中,AB=AC,点D,E分别为BC,AB的中点,连接AD
22、.在线段AD上 任取一点P,连接PB,PE.若BC=4,AD=6,设PD=x(当点P与点D重合时,x的值为0),PB+PE=y.小明根据学习函数 的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、计算,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时,相关数值保留一位小数,参考数据: 1.414, 1.732, 2.236) (2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)函数y的最小值为 (保留一位小数),此时点P的位置为 .,解析 (1)4.5. (2)如图. (3)4.2;AD
23、与CE的交点.,思路分析 解决类比探究题需要精准画图和简单的逻辑推理(有的题目是不能准确求出表达式的,即使求 出来了,也不是学习过的,也不好用函数知识解决).,16.(2018北京西城一模,25)如图,P为O的直径AB上的一个动点,点C在 上,连接AC,PC,过点A作PC的垂 线交O于点Q.已知AB=5 cm,AC=3 cm,设A,P两点间的距离为x cm,A,Q两点间的距离为y cm. 某同学根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是该同学的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量及分析,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时,相关数值
24、保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象解决问题:当AQ=2AP时,AP的长度约为 cm.,解析 (1),(2)如图. (3)2.42. 提示:借助上一问的图,当x=2.5时,y=4.8,AQ2AP,所以x2.5,且接近2.5.,17.(2018北京海淀一模,25)在研究反比例函数y= 的图象与性质时,我们对函数解析式进行了深入分析.首 先,确定自变量x的取值范围是全体非零实数,因此函数图象会被y轴分成两部分;其次,分析解析式,得到y随x 的变化趋势:当x0时,随着x值的增大,y的值减小,且逐渐接近于零,随着
25、x值的减小,y的值会越来越大,由此,可 以大致画出y= 在x0时的部分图象,如图1所示. 图1 利用同样的方法,我们可以研究函数y= 的图象与性质.通过分析解析式画出部分函数图象,如图2所示.,图2 (1)请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A;(画出网格区域内的部 分即可) (2)观察图象,写出该函数的一条性质: ; (3)若关于x的方程 =a(x-1)有两个不相等的实数根,结合图象,直接写出实数a的取值范围:,解析 (1)如图. (2)当x1时,y随着x的增大而减小(答案不唯一). (3)a1. 提示:有两个不相等的实数根即函数y= 与y=a(x-1)的图象
26、有两个交点,借助图象解得a1.,解题关键 解决本题的关键是要准确画出图象,并借助函数与方程的关系来解决.,18.(2018北京西城二模,25)阅读下面材料: 已知:如图,在正方形ABCD中,边AB=a1.按照以下操作步骤,可以从该正方形开始,构造一系列的正方形,它们之间的边满足一定的关系,并且一个比一个小.,请解决以下问题: (1)完成表格中的填空: ; ; ; . (2)根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ(不要求尺规作图).,解析 (1)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. ( -1)a1. ( -1)2a1. ( -1)n-1a1. (2)所画正方形CHIJ如图
27、.,19.(2017北京东城一模,26)在课外活动中,我们要研究一种凹四边形燕尾四边形的性质. 定义1:把四边形的某些边向两方延长,其他各边不全在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形 (如图1). (1)根据凹四边形的定义,下列四边形是凹四边形的是 ;(填写序号),解题关键 解决第(3)问的关键是要借助120构造直角三角形,如图: 进而将题目转化为解直角三角形的问题.,教师专用题组 1.(2017河北,16,2分)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边 与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作: 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM
28、边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使 MN边与CD边重合,完成第二次旋转;在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是 ( ) A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5,答案 C 在第一次旋转过程中,BM=1;在第二次旋转过程中,点M位置不变,BM=1;在第三次旋转过程中, BM的长由1逐渐变小为 -1;在第四次旋转过程中,点M在以点E为圆心, 为半径的圆弧上,BM的长由 - 1逐渐变小为2- ,然后逐渐变大为 -1;在第五次旋转过程中,BM的长由 -1逐渐变大为1;在第六次旋转 过程中,点M位置不变,BM=1.显然连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是0.
29、8,故选C.,解题关键 解决本题的关键是求出每个旋转过程中BM长的变化范围.,2.(2016天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE, BF的延长线的交点. (1)AE的长等于 ; (2)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出 线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明) .,答案 (1) (2)如图,AC与网格线相交,得点P;取格点M,连接AM并延长与BC相交,得点Q.连接PQ,线段PQ 即为所求,解题思路 (1)利用勾股定理求解;(2)构造全等
30、三角形,列方程求解.,解题关键 关注B、F为中点,可知BF=AE.,3.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:,解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2 (2分) =n4+2n2+1. (4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1. (7分) 联想 勾股数组 17 (8分) 勾股数组 37 (9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发
31、现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.,4.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代 数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下: (1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y= ;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+ ,满足要 求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标. (2)画出函数图象 函数y= (x0)的图象如图所示,而函数y=-x+ 的图象可由直线y=-x平移得
32、到.请在同一直角坐标系中直接 画出直线y=-x.,解析 (1)一. (1分) (2)如图. (3分) (3)8. (4分) 把点(2,2)代入y=-x+ 得2=-2+ ,解得m=8.,在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况. 当有0个交点时,周长m的取值范围是08. (8分) (4)m8. (10分),解题关键 本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根据 直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值及其取值范围是解题关键.,5.(2019江西,21,9分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究: 如图1,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水
33、平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是示 意图. 活动一 如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合.,数学思考 (1)设CD=x cm,点B到OF的距离GB=y cm. 用含x的代数式表示:AD的长是 cm,BD的长是 cm; y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 . 活动二 (2)列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.,描点:根据表中数值,继续描出中剩余的两个点(x,y); 连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象. 数学思考 (3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结
34、论.,解析 (1)(6+x);(6-x). y= ,0x6. (2)补全表格:,描点与连线: (3)y随着x的增大而减小; 图象关于直线y=x对称; 函数y的取值范围是0y6.(写出两条即可),思路分析 (1)由于CD=x, 所以AD=AC+CD=6+x,DB=CB-CD=6-x. 由题易证GDBODA,得到 = ,即 = ,通过变形得到y= .由0CD AB可得x的取 值范围. (2)将x=3,x=0分别代入y= 中,就可得到相应的y值. 根据中的结果在平面直角坐标系中描点. 利用平滑的曲线连接各点. (3)根据图象,从变化趋势,对称性和取值范围等角度进行分析.,6.(2019黑龙江齐齐哈尔
35、,23,12分)综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着 丰富的数学知识. 折一折:把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF,如图;点M为CF上一 点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图.,AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, = , NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD, N=D,NGADAH, = = = , 即 = .,方法总结 图形折叠
36、问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折叠 前后两图形对应边及对应角相等的关系.,7.(2019甘肃兰州,26,9分)如图,在ABC中,AB=AC=6 cm,BC=8 cm,点D为BC的中点,BE=DE.将BDE绕点D 顺时针旋转度(083),角的两边分别交直线AB于M,N两点,设B,M两点间的距离为x cm,M,N两点间的距 离为y cm. 小涛根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小涛的探究过程,请,补充完整. (1)列表:下表的已知数据是根据B,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值:,请你通
37、过计算,补全表格; (2)描点、连线:在平面直角坐标系xOy中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象; (3)探究性质:随着自变量x的不断增大,函数y的变化趋势: ; (4)解决问题:当MN=2BM时,BM的长度大约是 cm.(保留两位小数),解析 (1)当x=0时,y=3.00;当x= 时,y= . AB=AC,BE=DE, B=C,B=EDB, C=EDB,ACED, 又D为BC的中点, E为AB的中点, 当x=0时,M点、N点分别和B点、E点重合, 此时y=MN=BE= AB=3.00. 当x= 时,假设直线DN交CA的延长线于点H, NDB=DHC+C,NDB
38、=MDB+MDN, MDB+MDN=DHC+C, 根据旋转性质可得MDN=BDE=B=C,MDB=DHC, MDBDHC, = , = , CH=6=AC,即A点与H点重合, y=MN=6-BM= . (2)根据表格描点即可.,(3)先减小后增大. (4)当点N在线段AB上时,由题意得MN=2x,AN=6-3x(0x2), 由(1)可知MDBDHC, = , = ,即CH= , HA=HC-AC= -6, 由DEAH,易证HANDEN, = , 即 = ,得x= . 当点N在BA的延长线上,且AC与DN交于点H时, 由题意得MN=2x,AN=3x-6(x2),同理可得x=4. 当MN=2BM时
39、,BM的长度大约是4.00 cm或1.33 cm.,8.(2018北京丰台期末,25)如图,点E是矩形ABCD的边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EFDE交直线BC 于点F,连接DF.已知AB=4 cm,AD=2 cm,设A,E两点间的距离为x cm,DEF的面积为y cm2.小明根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)自变量x的取值范围是 ; (2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时相关数值保留一位小数) (3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数
40、的图象; (4)结合画出的函数图象解决问题:当DEF的面积最大时,AE的长度为 cm.,解析 (1)0x4. (2)3.8;4.0. 提示:当x=1时,根据三角形的面积公式,相似三角形的判定与性质,可知SADE=1,SEFB=2.25,SCDF=1,则SDEF=8- 1-2.25-1=3.753.8.当x=2时,点F恰与点C重合,SDEF=4.0. (3)如图. (4)0或2.,9.(2017北京石景山二模,26)已知y是x的函数,下表是y与x的几组对应值.,小明根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整:
41、(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象;,(2)根据画出的函数图象回答下列问题: x=-1对应的函数值y约为 ;写出该函数的一条性质: .,10.(2017北京顺义二模,26)实验数据显示,一般成人喝250毫升低浓度白酒后,其血液中的酒精含量(毫克/百 毫升)随时间的增加逐渐增高,达到峰值后,随时间的增加逐渐降低. 小明根据相关数据和学习函数的经验对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究,发现血液中酒精含 量y是时间x的函数,其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升),x表示饮酒后的时间(小时). 下表记录了6小时内11个时间点血
42、液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x0)的变化情况:,下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点画出血液中酒精 含量y随时间x变化的函数图象; (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x= 的两侧可以用不同的函数表达式表示,请你任选其中 一部分写出表达式; (3)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车,上路.假设某驾驶员20:00在家喝完250毫升低浓度白酒,第二天6:30能否驾车去上班?请说明理由.,解析 (1)如图所示. (2)
43、y=-200x2+400x 或y= . (3)不能.理由:把y=20代入反比例函数y= 得x=11.25,20:00经过11.25小时后为第二天7:15, 第二天7:15以后才可以驾车,6:30不能驾车去上班.,11.(2018河南,22,10分) (1)问题发现 如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空: 的值为 ;AMB的度数为 . (2)类比探究 如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判 断 的值及AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将
44、OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB= ,请直接写出当点C 与点M重合时AC的长.,解析 (1)1. (1分) 40.(注:若填为40,不扣分)(2分) (2) = ,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: AOB=COD=90,OAB=OCD=30, = = , 又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD. AOCBOD. (6分) = = ,CAO=DBO. AOB=90,DBO+ABD+BAO=90. CAO+ABD+BAO=90.AMB=90. (8分) (3)AC的长为2 或3 . (10分),提示:在OC
45、D旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即 = ,AMB=90. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析 (1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD, AMB=AOB=40;(2)证明AOC BOD,得 = = ,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋转后点C的两个位置,分别 求出BD的长度,根据 = 得出AC的长.,方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1) 中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分 析,通过作图,
46、计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据 = ,再 求出AC的两个值.,12.(2017吉林,20,7分)图、图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的 顶点称为格点.线段AB的端点在格点上. (1)在图、图中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等) (2)在图中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.,解析 (1)每画对一个得2分.答案不唯一,以下答案供参考. (2)画对一个即可.答案不唯一,以下答案供参考.,13.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请 ,分
47、别按下列要求画图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形; (2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,14.(2016山西,22,12分)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片 ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.,点C在边CC上,a=CC-13= -13= . 点C在CC的延长线上,a=CC+13= +13= . 综上所述,a的值为 或 . (4)答案不唯一. 例:如图. 平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为 AC的长度,得到ACD,连接AB,DC. 结论:四边形ABCD是平行四边形.,
