1、53综合测试卷(一) 数学试题 (考试时间120分钟,满分100分) 一、选择题(每小题2分,共16分) 1.下列图形选自历届世博会会徽,其中是轴对称图形的是( ),答案 B 选项A、C、D均不是轴对称图形,故选B.,2.实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( ) A.a+b=0 B.b0,答案 C 由数轴可知-2a-1,0b1,所以a+b0,ab,|b|a|,ab0,选项C正确.故选C.,3.方程组 的解是 ( ) A. B. C. D.,答案 A -得x=6,把x=6代入式,得y=4, 所以,原方程组的解为 故选A.,4.在国家大数据战略的引领下,我国在人工智能领域取得显著成
2、就.我国自主研发的人工智能“绝艺”获得 全球最前沿的人工智能赛事冠军,这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量,它们决定着人工智 能深度学习的质量和速度,其中的一个大数据中心能存储58 000 000 000本书籍.58 000 000 000用科学记数 法表示为 ( ) A.5.81010 B.5.81011 C.5.8109 D.0.581011,答案 A 58 000 000 000=5.81010.故选A.,5.若正多边形的一个外角是120,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D 由多边形外角和为360,可得360120=3.故选D.,6.如果x+y
3、=4,那么代数式 - 的值是 ( ) A.-2 B.2 C. D.-,答案 C - = = ,x+y=4, 原式= = .故选C.,7.现有A、B两种商品,买3件A商品和2件B商品共需160元,买2件A商品和3件B商品共需190元.如果准备购买 A、B两种商品共10件,下列方案中费用最低的为 ( ) A.A商品7件和B商品3件 B.A商品6件和B商品4件 C.A商品5件和B商品5件 D.A商品4件和B商品6件,答案 A 可设买一件A商品需要x元,买一件B商品需要y元,由题意可列方程组为 解得 所以购买A商品的数量越多越便宜.故选A.,8.如图1,在等边三角形ABC中,AB=2,G是BC边上一个
4、动点且不与点B、C重合,H是AC边上一点,且AGH= 30.设BG=x,图中某条线段长为y,y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图中的 ( ) A.线段CG B.线段AG C.线段AH D.线段CH,答案 D 从特殊点考虑,当x接近0时,根据函数图象可知y接近1,题图中只有AH=CH=1,故可排除A、B;当 G点越来越接近C点时,点H越接近点C,则CH的长度越接近0.故选D.,二、填空题(每小题2分,共16分) 9.图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30,则A= 度.,答案 75,解析 由对顶角相等可得AOB=30, OA=OB,A= =
5、75.,10.若根式 有意义,则实数x的取值范围是 .,答案 x1,解析 有意义,即被开方数x-10,解得x1.,11.已知y是x的函数,其图象经过点(1,2),并且当x0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数 表达式 .,答案 答案不唯一,如y=-x+3,解析 若函数为一次函数y=kx+b,则k0,不妨设k=-1,因为函数图象经过点(1,2),所以2=-11+b,解得b=3.函数 表达式为y=-x+3.答案不唯一.,12.如图,AB是O的直径,C是O上一点,OA=6,B=30,则图中阴影部分的面积为 .,答案 6,解析 B=30,COA=60. 阴影部分的面积为 62=6.,1
6、3.据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借 助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF的长为2 m,它的影长FD为3 m,测 得OA为201 m,则金字塔的高度BO为 m.,答案 134,解析 由题意可知BOAEFD, = . = .BO=134 m.,14.在某次试验数据整理过程中,某个事件发生的频率情况如下表所示.,估计这个事件发生的概率是 (精确到0.01),试举出一个随机事件的例子,使它发生的概率与上述事 件发生的概率大致相同: .,答案 0.25;从一副去掉大小王的扑克牌中抽出一张牌,牌的花色是红桃(所举
7、事件不唯一),解析 通过事件发生的频率可以发现,均在0.25左右,所以这个事件发生的概率利用频率估计为0.25.只要举 一个发生概率为0.25的事件即可,答案不唯一.,15.某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居 民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表:,设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元.请写出800x3 000 时,y关于x的函数关系式为 .,答案 y= x-400,解析 由题表可知y=50%(x-800),所以y= x-400.,16.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车
8、位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的 边与路的边缘成45角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.( 1.4),答案 17,解析 如图,易知BC=2.2cos 45=2.2 1.54米, CE=5sin 45=5 3.5米,则BE=BC+CE=5.04米, EF=2.2sin 45=2.2 3.14米, (56-5.04)3.14+1=50.963.14+116+1=17(个). 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.,解析 (1)补全的图形如图所示: (2)PC;线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和.,18.(5分)计算: -(
9、2- )0-2sin 60+| -2|.,解析 原式=2-1-2 +2- =3-2 .,19.(5分)已知x2-2x-1=0,求代数式(x-1)2+x(x-4)+(x-2)(x+2)的值.,解析 原式=x2-2x+1+x2-4x+x2-4=3x2-6x-3. x2-2x-1=0,原式=3(x2-2x-1)=0.,20.(5分)解方程: - =1.,解析 去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2. 经检验,x=2是原方程的解, 原方程的解为x=2.,21.(5分)已知:如图,在四边形ABCD中,ABDC,ACBD,垂足为M,过点A作AEAC,交CD的延长线于点E. (1)求证:
10、四边形ABDE是平行四边形; (2)若AC=8,sinABD= ,求BD的长.,解析 (1)证明:ACBD,AEAC, AEBD, ABDC,ABDE. 四边形ABDE为平行四边形. (2)四边形ABDE为平行四边形, BD=AE,E=ABD.sinABD= ,sinE= . 在RtEAC中,AC=8,sinE= = , CE=10,AE=6,BD=6.,22.(6分)如图,在RtABE中,B=90,以AB为直径的O交AE于点C,CE的垂直平分线FD交BE于点D,连接 CD. (1)判断CD与O的位置关系,并证明; (2)若ACAE=12,求O的半径长.,解析 (1)答:CD与O相切.,证明:
11、如图1,连接OC. FD是CE的垂直平分线,图1,DC=DE.E=DCE. OA=OC,A=OCA. 又在RtABE中,B=90, A+E=90. OCA+DCE=90.OCCD.CD与O相切.,图2,(2)如图2,连接BC. AB是O的直径,ACB=90.ACBABE. = .ACAE=12, AB=2 .OA= .,23.(6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y= x+1与x轴交于点A,且与双曲线y= 的一个交点为B . (1)求点A的坐标和双曲线y= 的表达式; (2)若BCy轴,且点C到直线y= x+1的距离为2,求点C的纵坐标.,解析 (1)对于直线y= x+1,令y=0,得x=-
12、, 点A的坐标为 . 点B 在直线y= x+1上, +1=m,解得m=3.点B 在双曲线y= 上,k=8. 双曲线的表达式为y= . (2)当点C在直线AB的上方时,过点C作CDAB于点D,延长CB交x轴于点E,如图.,25.(5分)某部门为新的生产线研发了一款机器人,为了了解它的操作技能情况,在相同条件下与人工操作进 行了抽样对比.过程如下,请补充完整. 收集数据:对同一个生产动作,机器人和人工各操作20次,测试成绩(十分制)如下:,整理、描述数据:按如下分段整理、描述这两组样本数据.,(说明:成绩在9.0分及以上为操作技能优秀,8.08.9分为操作技能良好,6.07.9分为操作技能合格,6
13、.0分以下 为操作技能不合格) 分析数据:两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示.,得出结论: (1)如果生产出一个产品,需要完成同样的操作200次,估计机器人生产这个产品达到操作技能优秀的次数为 ; (2)请结合数据分析机器人和人工在操作技能方面各自的优势.,解析 补全表格如下:,(1)110; (2)机器人的样本数据的平均数和中位数都明显高于人工,方差较小,可以推断其优势在于操作技能水平较 高的同时还能保持稳定.人工的样本数据的众数为10,机器人的样本数据的最大值为9.6,可以推断人工的优 势在于能完成一些最高水平的操作.,26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax
14、2+(1-2a)x-2(a0)与y轴交于点C.当a=1时,抛物线与x轴交于点 A,B(点A在点B左侧). (1)求点A,B,C的坐标; (2)若该抛物线与线段AB总有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.,图2 当点B为抛物线的顶点时,抛物线与线段AB只有一个公共点,可求得a=- ,所以a- . 综上所述,a的取值范围为a1或a- .,27.(7分)在边长为5的正方形ABCD中,点E,F分别是BC,DC边上的两个动点(不与点B,C,D重合),且AEEF. (1)如图1,当BE=2时,求FC的长; (2)延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P. 依题意将图2补全; 小京通过观察、实验
15、提出猜想:在点E运动的过程中,始终有AE=PE.小京把这个猜想与同学们进行交流, 通过讨论,形成了证明该猜想的三种想法: 想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证AGEECP. 想法2:作点A关于BC所在直线的对称点H,连接BH,CH,EH,要证AE=PE,需证EHP为等腰三角形. 想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90,得到线段BM,连接CM,EM,要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形. 请你参考上面的想法,帮助小京证明AE=PE.(一种方法即可),解析 (1)正方形ABCD的边长为5,BE=2,EC=3.,四边形ABCD是正方形, B=C=90,1+3=90
16、, AEEF,2+3=90, 1=2.ABEECF, = ,即 = ,FC= .,(2)依题意补全图形. 证法一:在AB上截取AG=EC,连接EG.,AB=BC,GB=EB.B=90,BGE=45,AGE=135. DCB=90,CP是正方形ABCD的外角平分线, ECP=135.AGE=ECP.,28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C,给出如下定义: 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C 的覆盖矩形.点A,B,C的所有覆盖矩形中,面积最小的矩形称为点A,B,C的最优覆盖矩形.例如,下图中的矩形 A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是点A,B,C的覆盖矩形,其中矩形AB3C3D3是点A,B,C的最优覆盖矩形. (1)已知A(-2,3),B(5,0),C(t,-2). 当t=2时,点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为 ; 若点A,B,C的最优覆盖矩形的面积为40,求直线AC的表达式; (2)已知点D(1,1).E(m,n)是双曲线y= (x0)上一点,P是点O,D,E的最优覆盖矩形的外接圆,求出P的半径 r的取值范围.,
