1、1.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的点.下列四个角中,一定与ACD互余 的角是 ( ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD,A组 20152019年福建中考题组,考点一 圆的有关概念及性质,答案 D AB是O的直径,ADB=90,BAD+B=90,易知ACD=B,BAD+ACD=90, 故选D.,2.(2016三明,8,4分)如图,AB是O的弦,半径OCAB于点D,若O的半径为5,AB=8,则CD的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 A 因为AB是O的弦,OCAB于点D,所以AD=BD=4,在RtADO中,由勾股定理可得OD
2、=3,所以 CD=OC-OD=5-3=2.故选A.,3.(2015福州,8,4分)如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M, 测量AMB的度数,结果为 ( ),A.80 B.90 C.100 D.105,答案 B 由作图可知,点M在以AB为直径的C上, 根据直径所对的圆周角是直角,得AMB=90.故选B.,4.(2015莆田,8,4分)如图,在O中, = ,AOB=50,则ADC的度数是 ( ),A.50 B.40 C.30 D.25,答案 D 连接OC,在O中, = , AOC=AOB, AOB=50, AOC=50, ADC= AOC=2
3、5,故选D.,5.(2016泉州,15,4分)如图,O的弦AB、CD相交于点E,若CEBE=23,则AEDE= .,答案 23,解析 O的弦AB、CD相交于点E,A=D,C=B,ACEDBE, = = .,6.(2015泉州,16,4分)如图,四边形ABCD内接于O,点E在DC的延长线上,若A=50,则BCE= .,答案 50,解析 四边形ABCD内接于O,A+BCD=180,又BCD+BCE=180,BCE=A=50.,7.(2016宁德,15,4分)如图,AB是半圆O的直径,ODAC,OD=2,则弦BC的长为 .,答案 4,解析 由垂径定理知点D是AC的中点,OD是ABC的中位线,BC=4
4、.,8.(2015三明,14,4分)如图,正五边形ABCDE内接于O,则CAD= 度.,答案 36,解析 五边形ABCDE是正五边形, = = = = =72, CAD= 72=36.,9.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF= DC,连接AF,CF. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=10,BC=4 ,求tanBAD的值.,解析 本小题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、解直角三 角形、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等基础知识,考查运算能力、推理能力,考查函
5、数与方程 思想,满分12分. (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAED中,ADE=90-CAD. AB=AC, = , ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD,BDC=2CFD. BDC=BAC,且由(1)知BAC=2CAD,CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB. ACBF,BE=EF,故CA垂直平分BF, AC=AB=AF=10. 设AE=x,则CE=10-x. 在R
6、tABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4 ,102-x2=(4 )2-(10-x)2,解得x=6. AE=6,CE=4,BE= =8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE, = = , DE=3,AD=3 .,过点D作DHAB,垂足为H. SABD= ABDH= BDAE,BD=BE+DE=11, 10DH=116,故DH= . 在RtADH中,AH= = , tanBAD= = . 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.,10.(2016厦门,26,11分)已知AB是O的直径,点C在O上,点D在半径OA上(不与点O,A重合). (1)如图1,若
7、COA=60,CDO=70,求ACD的度数; (2)如图2,点E在线段OD上(不与O,D重合),CD、CE的延长线分别交O于点F、G,连接BF,BG,点P是CO的 延长线与BF的交点,若CD=1,BG=2,OCD=OBG,CFP=CPF,求CG的长.,解析 (1)OC=OA,COA=60, ACO为等边三角形,CAO=60. CDO=CAO+ACD=70, ACD=10. (2)连接AG,延长CP交BG于Q,交O于H. 1=2,OC=OB,OCD=OBG, ODCOQB. QB=CD=1.,BG=2, GQ=BG-QB=1, BQ=GQ. OH为O的半径, OH垂直平分BG. = ,OQB=9
8、0, CDO=OQB=90. OA为O的半径, OA垂直平分CF, = . 6=CPF,5=CPF, 5=6. 3=7,7+6=3+5=90, 4=7, = . 易知AGCH, = = , + = + ,即 = , AG=GB. AB为O的直径, AGB=90, ABG为等腰直角三角形, ABG=45, OQB为等腰直角三角形, OQ=QB=1,在RtOQB中,OB= = . OC=OB= , CQ=OC+OQ= +1, 在RtCGQ中,CG= = .,1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.7
9、0 C.110 D.125,考点二 与圆有关的位置关系,答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,2.(2016泉州,4,3分)如图,AB和O切于点B,AOB=60,则A的大小为 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,答案 B AB是O的切线,切点
10、为B, OBAB, ABO=90, AOB=60, A=30,故选B.,3.(2015漳州,9,4分)已知P的半径为2,圆心在函数y=- 的图象上运动,当P与坐标轴相切于点D时,符合条 件的点D的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4,答案 D 根据题意可知,当P与y轴相切于点D时,得x=2,把x=2代入y=- 得y=4, D(0,4)或(0,-4); 当P与x轴相切于点D时,得y=2, 把y=2代入y=- 得x=4, D(4,0)或(-4,0), 符合条件的点D的个数为4,故选D.,4.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50
11、,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=O- DA+OAD=80.,5.(2015厦门,10,4分)如图,在ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,一个圆过点A,交边AB于点E,且与BC相切于 点D,则该圆的圆心是 ( ),A.线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点 B.线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点 C.线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点 D.线段A
12、B的中垂线与线段BC的中垂线的交点,答案 C 连接AD,作AE的中垂线交AD于O,连接OE, AB=AC,D是边BC的中点, ADBC. AD是BC的中垂线, BC是圆的切线, AD必过圆心, AE是圆的弦, AE的中垂线必过圆心, 该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点,故选C.,6.(2016漳州,23,10)如图,AB为O的直径,点E在O上,C为 的中点,过点C作直线CDAE于D,连接AC、 BC. (1)试判断直线CD与O的位置关系,并说明理由; (2)若AD=2,AC= ,求AB的长.,解析 (1)相切.理由如下: 连接OC,C为 的中点, 1=2, OA=OC, 1=
13、ACO, 2=ACO, ADOC, CDAD, OCCD, 直线CD与O相切. (2)1=2,ADC=ACB, ADCACB, = ,即 = ,AB=3.,7.(2015莆田,22,8分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,O过B,D两 点,若OC=5,OB=3,且cosBOE= ,求证:CB是O的切线. 证明 连接OD,则OB=OD. AB=AD,AE垂直平分BD. 在RtBOE中,OB=3,cosBOE= , OE=OBcosBOE= .,CE=OC-OE=5- = . 在RtBEO中,根据勾股定理得 BE= = = . 在RtCEB中,根据勾
14、股定理得 BC= = =4. OB2+BC2=32+42=25=OC2, OBC=90,即BCOB,又OB为O的半径, BC为圆O的切线.,评析 此题考查了切线的判定,勾股定理及其逆定理,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.,8.(2015三明,23,10分)已知:AB是O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在O上,连接PQ. (1)如图1,线段PQ所在的直线与O相切,求线段PQ的长; (2)如图2,线段PQ与O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC,交于点D. 判断OQ与AC的位置关系,并说明理由; 求线段PQ的长.,解析 (1)连接OQ,线段PQ所在的直线与O相
15、切,点Q在O上,OQQP.又BP=OB=OQ=2,PQ= = =2 ,即PQ=2 . (2)OQAC,理由如下: 连接BC,BP=OB,点B是OP的中点,又PC=CQ,点C是PQ的中点,BC是PQO的中位线,BCOQ. 又AB是O的直径,ACB=90,即BCAC,OQAC. (3)PCPQ=PBPA, PQ2=26,PQ=2 .,思路分析 (1)连接OQ,利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度; (2)连接BC,由三角形中位线得到BCOQ,由ACB=90得到BCAC,故OQAC; (3)利用割线定理来求PQ的长度.,9.(2015厦门,27,12分)已知四边形ABCD内接于O,ADC=90,B
16、CD90,对角线CA平分DCB,延长DA, CB相交于点E. (1)如图1,BE=AD,求证:ABE是等腰直角三角形; (2)如图2,连接OE,过点E作直线EF,使得OEF=30,当ACE30时,判断直线EF与O的位置关系,并说 明理由.,解析 (1)证明:CA平分DCB, ACD=ACB. = ,AD=AB. BE=AD,AB=BE. ADC=90,AC是圆O的直径,ABC=90, EBA=90,ABE是等腰直角三角形. (2)直线EF与O相离.理由如下: BCDAOE,OEAE, OEAC. 作OHEF于H,如图所示,在RtOEH中,OEH=30,OH= OE. 2OHAC=2OA.OHO
17、A. 直线EF与O相离.,10.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,OHD=8 0,求BDE的大小.,图1 图2,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF, F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,
18、PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1. 在RtABC中,AB= ,tanACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,
19、且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB= ,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x) =60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,1.(2019吉林,5,2分)如图,在O中, 所对的圆周角ACB=50,若P为 上一点,AOP=55,则POB的度 数为( ) A.30 B.45 C.55 D.60,
20、B组 20152019年全国中考题组,考点一 圆的有关概念及性质,答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B.,2.(2019北京,5,2分)已知锐角AOB.,如图, (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作 ,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交 于点M,N; (3)连接OM,MN. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是 ( ) A.COM=COD B.若OM=MN,则AOB=20 C.MNCD D.MN=3CD,答案 D 由题意可知 = = ,COM=COD.选项A的说法正确.连接ON
21、,则OM=ON,又OM= MN,OMN是等边三角形.MON=60, = = ,AOB=COM=DON=20.选项B的说法 正确.连接CN,由圆周角定理可得MNC= MOC,DCN= DON,COM=DON,MNC= DCN,MNCD.选项C的说法正确. 通过观察可知MNMC+CD+DN=3CD.选项D的说法错误.故选D.,3.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF =40,则F的度数是 ( ) A.20 B.35 C.40 D.55,答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-
22、AOF=140, EOF=EOB= (360-140)=110. OE=OF,F=OEF= (180-EOF)=35,故选B.,4.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50. 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,5.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连
23、接OB、OC.若BAC与BOC互补, 则弦BC的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120.作ODBC交BC于点D, BC=2BD.OB=OC, OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 , BC=2BD=4 ,故选B.,6.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD=58,则O 的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中
24、, (5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其 中任意两个量即可求出其余两个量.,7.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度.,答案 29,解析 连接OC(图略), = ,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC= BOC=29.,思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半 即可求得BDC的度数.,8.(2018安徽,2
25、0,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BA
26、E=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE.,1.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA=5, 则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,考点二 与圆有关的位置关系,答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5 =8,故选D.,2.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂 线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 (
27、) A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,POD PBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,3.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,ADl,垂足为D,AD交O于 点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .,答案 4,解析 设OC与BE相交于点F, AB是O的直径,AEB=90, AO=5,AB=10.在RtAEB中,AE=6, BE= =8. 直线l是O的切线,
28、OCCD, 又ADCD,AEEB, 四边形CDEF为矩形, DC=EF= BE=4.,4.(2019黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,以ABC的边BC为直径作O,点A在O上,点D在线段BC的延长线 上,AD=AB,D=30. (1)求证:直线AD是O的切线; (2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.,解析 (1)证明:AD=AB,D=30, B=D=30, BC是O的直径, BAC=90, ACB=60, (1分) 连接OA, OA=OC, AOC是等边三角形, CAO=60, D=30,ACB=60, CAD=30, (3分) OAD=CAD+CAO=90, AD是O的切线. (4分),
29、(2)BC=4, OA=2,OD=4. AD=ODcos 30=2 , (5分) SAOD= ADOA=2 , (6分) 又S扇形AOC= = ,阴影部分面积=2 - . (8分),5.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是O的直径,点P是O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C恰好 落在O上. (1)求证:OPBC; (2)过点C作O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果D=90,DP=1,求O的直径.,解析 (1)证明:点A关于OP的对称点C恰好落在O上, = , AOP=POC, AOP= AOC, 又ABC= AOC,AOP=ABC, OPBC. (2)连接PC,CD是O
30、的切线, OCD=90, 又D=90, ADOC, POC=APO. 由(1)知AOP=POC, APO=AOP, 又AO=OP, AOP是等边三角形. 又点A,点C关于OP对称, POC是等边三角形, OCP=60, DCP=30.,又DP=1,D=90, PC=2PD=2, AB=2PC=4.即O的直径为4.,方法指导 针对含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题目要求的条 件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直),然后利用切线性质及直角 三角形边角关系、勾股定理等进行证明或计算.,1.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是
31、O的直径,M,N是 (异于A,B)上两点,C是 上一动点,ACB的平分 线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D.,C组 教师专用题组,考点一 鸦片战争,答案 A 如图,由题意可知1=2,3=4.连接AD,可得2=6=1.5=1+3,EAD=4+6 =3+1,DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,6=2=45,AD= AO,设O的 半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n,则C,E两点的运动路径长的比是 = .故选A.,2.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CE
32、OB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度 数为 ( ) A.140 B.70 C.60 D.40,答案 B DCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140.P= AOB=70.故选B.,3.(2015山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是O上的三个点,若AOC=100,则ABC等于 ( ) A.50 B.80 C.100 D.130,答案 D 如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.AOC=100,ADC= AOC=50.ADC+ ABC=180,ABC=180-50=130.故选D.,4.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚
33、好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= = 2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的
34、问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,5.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60,OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5.PB=AB=OA=OP,OBAP,AP= 2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,6.(2015上海,6,4分)如图,已知在O中,AB是弦,半径OCAB,
35、垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需添加 一个条件,这个条件可以是 ( ) A.AD=BD B.OD=CD C.CAD=CBD D.OCA=OCB,答案 B 根据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四边形OACB是菱形,故选B.,7.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4
36、=2 .,8.(2016吉林,13,3分)如图,四边形ABCD内接于O,DAB=130,连接OC.点P是半径OC上任意一点,连接 DP,BP,则BPD可能为 度(写出一个即可).,答案 60(答案不唯一,大于等于50且小于等于100即可),解析 连接OB,OD, 四边形ABCD是圆内接四边形, DAB+DCB=180. DCB=180-DAB=50. DOB=2DCB=100. 50BPD100.,评析 本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理,连接OB,OD,利用圆周角定理是关键,属容易题.,9.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,若BCD=28,则ABD
37、= .,答案 62,解析 AB是O的直径, ACB=90. BCD=28, ACD=90-28=62, ABD=ACD=62.,10.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61,ACB+D= 180,ACB=119.,11.(2019山西,21,8分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:,任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN= (用含R,d的代数式表示); (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子和式子,并利
38、用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分; (4)应用:若ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则ABC的外心与内心之间的距离为 cm.解析 (1)R-d. (1分) (2)BD=ID. (2分) 理由如下:点I是ABC的内心, BAD=CAD,CBI=ABI. (3分) DBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI, BID=DBI. (4分) BD=ID. (5分) (3)证明:由(2)知BD=ID, IAID=DEIF.,又IAID=IMIN, DEIF=IMIN. (6分) 2Rr=(R+d)(R-d). R2-d2=2
39、Rr. d2=R2-2Rr. (7分) (4) . (8分),思路分析 (1)根据线段的差易得IN=R-d;(2)根据点I是ABC的内心,推出BAD=CAD,CBI=ABI,进 而根据外角知识及圆周角定理得到BID=DBI,即可得到BD=ID;(3)利用任务(1)(2)的结论得出DEIF=IM IN,进而得出d2=R2-2Rr;(4)运用(3)中推出的公式计算得解.,12.(2019陕西,17,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作ABC的外接圆.(保 留作图痕迹,不写作法),解析 如图所示的圆即为所求. (5分),13.(2019四川成都,20,10分)
40、如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦AD,BC相交于点E. (1)求证: = ; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段 PQ上),求PQ的长.,解析 (1)证明:连接OD. OCBD, OCB=DBC, OB=OC, OCB=OBC, OBC=DBC, AOC=COD, = . (2)连接AC. = , CBA=CAD. 又BCA=ACE, CBACAE., = . CA2=CECB=CE(CE+EB)=1(1+3)=4. CA=2. AB为O的直径, ACB=9
41、0. 在RtACB中,由勾股定理,得AB= = =2 . O的半径为 .,AB为O的直径, ADB=90, OCBD, ANO=ADB=90.,(3)如图,设AD与CO相交于点N,PC为O的切线, PCO=90. ANO=PCO. PCAE. = = . PA= AB= 2 = . PO=PA+AO= + = . 过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=ACB. PQCB, BPQ=ABC. OHPACB., = = . OH= = = ,PH= = = . 连接OQ. 在RtOHQ中,由勾股定理,得HQ= = = . PQ=PH+HQ= .,思路分析 (1)依据题意推得AOC=COD,可证
42、= ;(2)先证CBACAE,求得CA的长,再在Rt ACB中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OHPQ,证OHPACB,根据相似的性质以及勾 股定理求得HQ的长,再求PQ的长.,14.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不 与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ; 取 的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.,解析 (1)证明:BA=BC,ABC=90, CA
43、B=C=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD. (3分) DAF和DBG都是 所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG. (5分) (2)4-2 . (7分) 30(注:若填为30,不扣分). (9分) 详解:如图,过F作FMAB于M,点E是 的中点,BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45= , = ,即BF= FD. AB=4,BD=4cos 45=2 , BF+FD=2 ,即( +1)FD=2 , FD= =4-2 . 连接OH,EH, 点H是 的中点, OHAE, AEB=90, BEA
44、E, BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB= AB, sinEAB= = ,EAB=30.,15.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD 于BC,过点C作CEAD交ABC 的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180. AEDC.,四边形AECD是平行四边形. (5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD是平行四边形, AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,
