1、考点一 分式方程及其解法,A组 20152019年广东中考题组,1.(2016梅州,7,3分)对于实数a、b,定义一种新运算“”为:ab= ,这里等式右边是实数运算.例如:1 3= =- .则方程x(-2)= -1的解是 ( ) A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7,答案 B 根据新运算可知 = -1,解得x=5.经检验,x=5是原方程的解,故选B.,思路分析 将原方程利用定义的新运算转化为普通分式方程,然后解这个分式方程并验根.,易错警示 分式方程中右边的常数项漏乘公分母x-4,造成结果错误.,2.(2018广州,13,3分)方程 = 的解是 .,答案 x=2,解析 方程两边同乘x
2、(x+6),得x+6=4x,解得x=2. 检验:当x=2时,x(x+6)0, 所以原分式方程的解是x=2.,思路分析 观察可得最简公分母为x(x+6),方程两边同时乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解. 最后要检验.,方法规律 解分式方程的步骤:去分母;求出整式方程的解;检验;得出结论.,易错警示 解分式方程时,一定要检验.,3.(2016广州,14,3分)方程 = 的解是 .,答案 x=-1,解析 原分式方程两边同时乘2x(x-3),得x-3=22x, 解得x=-1, 检验:当x=-1时,2x(x-3)0,x=-1是原分式方程的解.,考点二 分式方程的应用,1.(2019广州,6,3分
3、)甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做 150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 D 因为甲每小时做x个零件,所以乙每小时做(x+8)个零件,由题意得 = .故选D.,思路分析 由于每小时甲比乙少做8个,所以当甲每小时做x个零件时,乙每小时做(x+8)个零件,根据甲做120 个零件所用的时间和乙做150个零件所用的时间相等列出方程.,2.(2015茂名,10,3分)张三和李四两人加工同一种零件,每小时张三比李四多加工5个零件,张三加工120个零 件与李四加工100个零件所用的
4、时间相等,求张三和李四每小时加工多少个零件.若设张三每小时加工这种 零件x个,则下面列出的方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B 张三加工120个零件的时间为 小时,李四加工100个零件所用的时间为 小时,根据题意得 = ,故选B.,3.(2018广东,20,7分)某公司购买了一批A、B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公 司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等. (1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元; (2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6 280元,求购买了多少条A型芯片.,解
5、析 (1)设A型芯片的单价为x元,则B型芯片的单价为(x+9)元, 依题意,得 = , 解得x=26,经检验x=26是原方程的解,且符合题意. x+9=35. 答:该公司购买A、B型芯片的单价分别是26元、35元. (2)设购买了y条A型芯片,则购买了(200-y)条B型芯片, 依题意,得26y+35(200-y)=6 280,解得y=80. 答:购买了80条A型芯片.,思路分析 (1)设A型芯片的单价为x元,则B型芯片的单价为(x+9)元,根据“用3 120元购买A型芯片与用4 200 元购买B型芯片的条数相等”列出方程,解方程即可; (2)设购买了y条A型芯片,则购买了(200-y)条B型
6、芯片,根据“购买的总费用为6 280元”,可得方程26y+35(200- y)=6 280,解方程即可.,方法规律 本题考查了分式方程的应用. 列分式方程解应用题的一般步骤:审、设、列、解、验、答. 必须严格按照这6步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.,4.(2017广州,21,12分)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队完成剩下的筑 路工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍,甲队比乙队多筑路20天. (1)求乙队筑路的总公里数; (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为58,求乙队平均每天筑路多少公里.,解
7、析 (1)乙队筑路的总公里数:60 =80(公里). (2)设甲队平均每天筑路5x公里,则乙队平均每天筑路8x公里, 根据题意,得 -20= , 解得x= , 经检验,x= 是原方程的解且符合题意. 乙队平均每天筑路 8= 公里. 答:乙队平均每天筑路 公里.,5.(2016广东,20,7分)某工程队修建一条长1 200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天 完成任务. (1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米; (2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分 之几?,解析 (1)设原计划每天修建道路x m, 则实际平
8、均每天修建道路为(1+50%)x m. (1分) 由题意得, - =4. (2分) 解得x=100. 经检验,x=100是原方程的解. (3分) 答:这个工程队原计划每天修建道路100米. (4分) (2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y, 由题意得,100(1+y) =1 200. 解得y=0.2,即y=20%. (6分) 答:如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%. (7分),解题关键 理清工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系.,考点一 分式方程及其解法,B组 20152019年全国中考题组,1.(2016河北,12,2分)在求3x的
9、倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情 形,所列关系式成立的是 ( ) A. = -5 B. = +5 C. =8x-5 D. =8x+5,答案 B 3x的倒数是 ,而嘉淇同学求的是 ,因为她求得的值比 小5,所以可得 +5= .,2.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y-2,则符合条件的所有整数a的和为 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16,答案 A 解分式方程 + =4得x= . 分式方程的解为正数, 0且 1. a6且a2. 解不等式,得y-2.解不等式,得ya. 不等
10、式组的解集为y-2,a-2.-2a6且a2. a为整数,a=-2,-1,0,1,3,4,5, 符合条件的所有整数a的和为10.故选A.,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程 - =3的解为非负数,则a的取值范围为 .,答案 a4且a3,解析 方程两边同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a, 由题意得x0且x1, 解得a4且a3.,思路分析 先解关于x的分式方程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取值 范围.,4.(2016山东济南,19,3分)若代数式 与 的值相等,则x= .,答案 4,解析 根据题意得 = , 去分母得
11、6x=4(x+2), 移项、合并同类项得2x=8, 解得x=4.,5.(2016吉林,16,5分)解方程: = .,解析 方程两边同乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3, 解得x=5. 检验:当x=5时,(x+3)(x-1)0. 所以,原分式方程的解为x=5.,考点二 分式方程的应用,1.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180km 时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两船 在静水中的速度可列方程为 ( ) A. = B. = C. = D.
12、=,答案 A 甲船航行的速度为(x+6)km/h,航行180 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了300-180 =120 km,用时 h,两船航行时间相同,则可列方程为 = ,故选A.,2.(2018重庆,18,4分)为实现营养的合理搭配,某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中,甲 种粗粮每袋装有3千克A粗粮,1千克B粗粮,1千克C粗粮;乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮,2千克B粗粮,2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A,B,C三种粗粮的成本价之和.已知A粗粮每千克成本 价为6元,甲种粗粮每袋售价为58.5元,利润率为30%,乙种粗粮的利润
13、率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利 润率达到24%,则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 .,解析 设甲种粗粮每袋的成本价为x元,根据甲种粗粮每袋的售价、利润率列出等式 =0.3,解得x=45. 每袋甲种粗粮中,A粗粮总成本价为36=18元,所以B粗粮与C粗粮总成本价为45-18=27元.所以每袋乙种粗 粮中,B粗粮与C粗粮总成本价为272=54元.所以乙种粗粮每袋的成本价为54+16=60元. 设销售甲种粗粮a袋,销售乙种粗粮b袋使总利润率为24%, 则 =0.24, 解得ab=89.,答案 89,3.(2019云南,18,6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校
14、园建设,甲、乙两所学校 各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育” 基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的 1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.,解析 设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h,则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h.根据题 意得 - =1, 解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解. x=60,1.5x=90. 答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h.
15、,易错警示 解分式方程的应用题时要对结果进行检验.,4.(2019吉林长春,17,6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加 工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.,解析 设该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套. 由题意,得 - =5,解得x=300, 经检验,x=300是原分式方程的解,且符合题意. 答:该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套.,思路分析 设原计划每天加工这种彩灯的数量为x套,则实际每天加工1.2x套.根据“原计划加工的天数-实 际加工的天数=5”列出方程求解.,
16、易错警示 此类问题容易出错的地方是不能从题目中找出等量关系,不能建立方程.此外,解分式方程不注 意检验也是易犯的错误.,5.(2019湖北黄冈,20,7分)为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从 学校同时出发,步行4 000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作.行走 过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、其他班 步行的平均速度.,解析 设其他班步行的平均速度为x米/分,则九(1)班步行的平均速度为1.25x米/分,依题意得 - = 10, 解得x=80. 经检验,
17、x=80是所列方程的解且符合题意. 此时,1.25x=1.2580=100. 答:九(1)班步行的平均速度为100米/分,其他班步行的平均速度为80米/分.,思路分析 可设其他班的平均速度,然后根据九(1)班比其他班提前10分钟到达建立方程.,6.(2016宁夏,22,6分)某种型号油电混合动力汽车,从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为76元,从A地到B地用 电行驶纯用电费用为26元.已知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.5元. (1)求每行驶1千米纯用电的费用; (2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元,则至少用电行驶多少千米?,解析 (1)设纯用电每行驶1千
18、米所需要的费用为x元,则纯燃油每行驶1千米所需要的费用为(x+0.5)元,根据 题意,得 = ,解得x=0.26,经检验x=0.26是原方程的根. 所以,每行驶1千米纯用电的费用为0.26元. (2)纯燃油每行驶1千米所需要的费用为0.5+0.26=0.76(元),从A地到B地的距离为260.26=100(千米),设用电 行驶y千米,则燃油行驶(100-y)千米. 根据题意,得0.26y+0.76(100-y)39, 解得y74,即至少用电行驶74千米.,考点一 分式方程及其解法,C组 教师专用题组,1.(2017河南,4,3分)解分式方程 -2= ,去分母得 ( ) A.1-2(x-1)=-
19、3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3,答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A.,2.(2015贵州遵义,7,3分)若x=3是分式方程 - =0的根,则a的值是 ( ) A.5 B.-5 C.3 D.-3,答案 A 将x=3代入分式方程得 -1=0,解得a=5.故选A.,3.(2018四川成都,8,3分)分式方程 + =1的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3,答案 A + =1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=x2-2x,x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)0. 所
20、以x=1是原分式方程的解.故选A.,4.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程 + = 无解,则m的值为 .,答案 -1或5或- (答对一个得1分),解析 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3, 去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1, 因为分式方程无解,所以分下面三种情况: (1)当m+1=0,即m=-1时,5m-10,方程无解; (2)当x=4时,解方程得m=5; (3)当x=-4时,解方程得m=- . 综上,m的值为-1或5或- .,5.(2017四川绵阳,14,3分)关于x的分式方程 - = 的解是 .,答案 x=-2,解析 - = , - =- , 2(x
21、+1)-(x-1)=-(x+1),2x+2-x+1=-x-1, 2x=-4,x=-2.检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)0, x=-2是原分式方程的根.,6.(2015山东威海,16,3分)分式方程 = -2的解为 .,答案 x=4,解析 去分母,得1-x=-1-2(x-3),去括号,得1-x=-1-2x+6,解得x=4,经检验,x=4是原方程的解.,7.(2019江苏南京,18,7分)解方程 -1= .,解析 方程两边乘(x-1)(x+1), 得x(x+1)-(x-1)(x+1)=3. 解得x=2. 检验:当x=2时,(x-1)(x+1)0. 所以,原分式方程的解为x=2.,8.(20
22、15宁夏,17,6分)解方程: - =1.,解析 方程两边同乘(x2-1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1, 解得x=2. 经检验,x=2是原方程的根.,9.(2015福建龙岩,19,8分)解方程:1+ = .,解析 方程两边同时乘(x-2),得 (x-2)+3x=6, 4x-2=6, x=2. 检验:当x=2时,x-2=0, x=2不是原分式方程的解, 原分式方程无解.,考点二 分式方程的应用,1.(2019江苏苏州,6,3分)小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人 的钱恰好用完).已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的
23、笔记本.设软面笔 记本每本售价为x元,根据题意可列出的方程为 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 软面笔记本每本售价为x元,则硬面笔记本每本售价为(x+3)元,根据“小明和小丽买到相同数量 的笔记本”可得 = .故选A.,2.(2016山东青岛,6,3分)A,B两地相距180 km,新修的高速公路开通后,在A,B两地间行驶的长途客车平均车 速提高了50%,而从A地到B地的时间缩短了1 h.若设原来的平均车速为x km/h,则根据题意可列方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 原来的平均车速为x km/h,则新修的高速公路开
24、通后的车速为(1+50%)x km/h,原来的行驶时间为 h,现在的行驶时间为 h,则有 - =1,故选A.,3.(2017新疆乌鲁木齐,7,4分)2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木 30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天植树x万棵, 可列方程是 ( ) A. - =5 B. - =5 C. +5= D. - =5,答案 A 原计划每天植树x万棵,则实际每天植树(1+20%)x万棵,根据“实际比原计划提前5天完成”可 列方程: - =5,故选A.,4.(2019江西,11,3分)斑马线前“车让人”,不
25、仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程 度.如图,某路口的斑马线路段ABC横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过 AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒, 根据题意列方程得: .,答案 + =11,解析 因为通过AB时的速度为x米/秒, 所以通过BC时的速度为1.2x米/秒. 因为通过AB所用的时间为 秒,通过BC所用的时间为 秒.由题意得 + =11.,5.(2018新疆,14,5分)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支 的进价
26、是第一次进价的 倍,购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔,每支的进价是 元.,答案 4,解析 设第一次购进铅笔时的进价为x元,则可列方程 - =30,解得x=4.,6.(2019山东潍坊,23,10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场. 与去年相比,今年这种水果的产量增加了1 000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额 比去年增加了20%. (1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元; (2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售
27、出300 千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平 均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大?最大利润是多少?(利润计算时,其他费用忽略不计),解析 (1)设这种水果今年每千克的平均批发价为x元,由题意,得 - =1 000, 解之,得x1=24,x2=-5(舍去). 答:这种水果今年每千克的平均批发价为24元. (2)设每千克的平均销售价为m元,由题意得 w=(m-24) =-60(m-35)2+7 260. -600,当m=35时,w取得最大值7 260. 答:当每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7
28、 260元.,思路分析 (1)由去年这种水果批发销售总额为10万元,且批发销售总额今年比去年增加了20%,可得今年 的批发销售总额为10(1+20%)万元,设这种水果今年每千克的平均批发价是x元,则可列出方程 - =1 000,求得x即可. (2)利润w=(售价-成本)销售量,根据二次函数的单调性即可求最大值.,7.(2018内蒙古包头,23,10分)某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2 400 元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元. (1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元; (2)如果该商店
29、3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?,解析 (1)设该商店3月份这种商品的售价为x元. 根据题意,得 = -30,解得x=40. 经检验,x=40是所得方程的解,且符合题意. 答:该商店3月份这种商品的售价为40元. (2)设该商品的进价为a元. 根据题意,得(40-a) =900,解得a=25. 4月份的售价:400.9=36(元), 4月份的销售数量: =90(件). 4月份的利润:(36-25)90=990(元). 答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.,8.(2018吉林,19,7分)下图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学
30、所列的方程. 15.3分式方程 甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所 用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修 路的长度. 冰冰: = 庆庆: - =20 根据以上信息,解答下列问题. (1)冰冰同学所列方程中的x表示 ,庆庆同学所列方程中的y表示 ; (2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系; (3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.,解析 (1)甲队每天修路的长度; 甲队修路400米所用的天数(乙队修路600米所用的天数). (2)选冰冰所列的方程(选第一个方程), 甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等. 选庆庆所列的方程(选第二个方
31、程), 乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米. (3)选第一个方程 = . 解方程,得x=40. 经检验:x=40是原分式方程的解,且符合题意. x=40. 答:甲队每天修路的长度为40米. 选第二个方程 - =20.,解方程,得y=10. 经检验:y=10是原分式方程的解,且符合题意. =40. 答:甲队每天修路的长度为40米. 评分说明:1.第(2)问,如果选第二个方程,那么答乙队每天比甲队每天多修路20米给分;,2.第(3)问,解答正确,独立给分.,9.(2016广西南宁,24,10分)在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单 独施工30天后
32、增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的 . (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天; (2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是 ,甲队的工作效率是乙队 的m倍(1m2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效 率是原来的几倍.,解析 (1)设乙队单独完成这项工程需要x天,根据题意得: 30+ 15= , 整理得 + + = , 两边同时乘30x得6x+3x+450=10x,解得x=450. 检验:x=450是原分式方程的解,且符合题意. 答:乙队单独完成这项工程需要450天. (2)根据题意得: 40= ,
33、 a关于m的函数关系式为a=60m+60(1m2). k=600,a随m的增大而增大,1m2,当m=1时,a取最小值,且最小值为120.,此时,乙队的最大工作效率是 = .所以 = . 答:乙队的最大工作效率是原来的 倍.,10.(2017内蒙古通辽,20,6分)一汽车从甲地出发开往相距240 km的乙地,出发后第1小时内按原计划的速度 匀速行驶,1小时后比原来的速度加快 ,比原计划提前24 min到达乙地,求汽车出发后第1小时内的行驶速 度.,解析 设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/时,根据题意可得, =1+ + , 解得x=80, 经检验,x=80是原方程的根,且符合题意. 答:汽
34、车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/时.,解题关键 此题主要考查了分式方程的应用,正确表示出汽车行驶的时间是解题的关键.,11.(2015湖南郴州,21,8分)自2014年12月启动“绿茵行动,青春聚力”郴州共青林植树活动以来,某单位筹 集7 000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3 000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%, 求樱花树的单价及棵数.,解析 设樱花树的单价为x元,根据题意,得 + =30, 解得x=200. 经检验,x=200是所列分式方程的根且符合题意, 则 = =20. 答:樱花树的单价是200元,棵数为20棵.,12.(2015北京,21,5分)为
35、解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用. 到2013年底,全市已有公租自行车25 000辆,租赁点600个.预计到2015年底,全市将有公租自行车50 000辆,并 且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015 年底,全市将有租赁点多少个?,解析 设预计到2015年底,全市将有租赁点x个. 由题意,得1.2 = .解得x=1 000. 经检验,x=1 000是原方程的解,且符合题意. 答:预计到2015年底,全市将有租赁点1 000个.,13.(2017湖北黄冈,18,6分)黄麻中学为了创建全省“最美书屋
36、”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每 本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12 000元购买的科普类图书的本数与用9 000元 购买的文学类图书的本数相等,求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元.,解析 设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程: = . 解得x=15. 经检验,x=15是原分式方程的解且符合题意. x+5=15+5=20. 答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.,一、选择题(每小题3分,共6分),25分钟 40分,1.(2019广州番禺一模,5)方程 = 的解是
37、( ) A.x=2 B.x= C.x=-2 D.x1,答案 A 去分母得x=2x-2,解得x=2,经检验,x=2是分式方程的解.故选A.,方法总结 分式方程的一般解法是去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到 分式方程的解.,2.(2019深圳南山一模,5)解分式方程 + =3时,去分母后变形正确的是 ( ) A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1) C.2-(x+2)=3 D.2-(x+2)=3(x-1),答案 D 原方程变形为 - =3,两边都乘(x-1)得,2-(x+2)=3(x-1),故选D.,3.(2019佛山顺德三模,15)方程 - =
38、45的解是 .,二、填空题(每小题4分,共8分),答案 x=4,解析 方程两边同乘2x得960-600=90x,解得x=4,经检验,x=4是分式方程的解.,4.(2019肇庆封开二模,12)方程 =-2的解是 .,答案 x=,解析 =-2,去分母得-2(x-2)=3,解得x= ,经检验,x= 是原方程的根.,5.(2018广州广大附中模拟,17)解方程 = .,三、解答题(共26分),解析 两边同乘x(x-2),得3(x-2)=2x, 解得x=6. 检验,将x=6代入x(x-2),x(x-2)0, 所以x=6是原方程的解.,6.(2018潮州蓝天实验学校一模,18)解方程 + =1.,解析 两
39、边同乘x2-9,得3+x2+3x=x2-9, 解得x=-4, 检验,将x=-4代入x2-9,x2-90, 所以x=-4是原方程的解.,7.(2019湛江一模,20(1)某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化 总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成 任务.问实际每年绿化面积多少万平方米?,解析 设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.6x万平方米,根据题意,得 - =4, 解得x=33.75,经检验,x=33.75是原分式方程的解,则1.6x=1.633.75=54(万平方米
40、). 答:实际每年绿化面积为54万平方米.,8.(2018湛江三校联考,19)2018年6月28日,深湛高铁正式运营.从湛江到广州全程约468 km,高铁开通后,运行 时间比特快列车所用的时间减少了6 h.若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍,求特快列车与高 铁的平均速度.,解析 设特快列车的平均速度是x km/h, 由题意,得 - =6,解得x=52, 经检验,x=52是原方程的解,且符合实际意义.3x=156. 答:特快列车的平均速度是52 km/h,高铁的平均速度是156 km/h.,一、选择题(每小题3分,共12分),20分钟 30分,1.(2018深圳南实集团一模,8)若关于
41、x的方程 = 无解,则k的值为 ( ) A.0或 B.-1 C.-2 D.-3,答案 A 原方程去分母得x+3=2kx,即(2k-1)x=3. 因为原方程无解,所以2k-1=0,得k= ,或x=-3为增根,把x=-3代入得k=0, 所以k=0或k= .,2.(2017佛山顺德模拟,9)关于x的分式方程 =1,下列说法正确的是 ( ) A.方程的解是x=m+5 B.m-5时,方程的解是正数 C.m-5时,方程的解是负数 D.无法确定,答案 C 由 =1得x-5=m,x=m+5,当m=0时,x=m+5是增根;当m-5时,m+50,即方程的解为负数,故选C.,3.(2019深圳龙岗模拟,8)某工厂现
42、在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与 原计划生产480台机器所用的时间相同,设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B 原计划平均每天生产x台机器,则现在平均每天生产(x+40)台机器,根据题意得, = .故 选B.,4.(2019广州花都一模,10)对于实数a、b,定义一种新运算“”为ab= ,这里等式右边是通常的四 则运算.若(-3)x=2x,则x的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2,答案 B 根据题中的新定义得 = ,去分母得12-6x=27+9x,解得x=-1,经检验
43、,x=-1是分式方程的 解,故选B.,5.(2017珠海二模,14)已知点P(1-2a,a-2)关于原点的对称点在第一象限内,且a是整数,则关于x的分式方程 =2的解是 .,二、填空题(共4分),答案 x=3,解析 依题意得 a2,a为整数,a=1, 原分式方程为 =2,x=3. 经检验,x=3是原方程的解.,思路分析 先求整数a,再解分式方程,最后注意检验.,易错警示 点P关于原点的对称点在第一象限内,即点P在第三象限内,而不是点P在第一象限内.,6.(2019广州增城一模,22)某超市预测某饮料有发展前途,用1 600元购进一批饮料,面市后果然供不应求,又 用6 000元购进这批饮料,第二
44、批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元. (1)第一批饮料进货单价是多少元? (2)若第二次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1 200元,那么销售单价至少为多少元?,三、解答题(共14分),解析 (1)设第一批饮料进货单价为x元,则第二批饮料进货单价为(x+2)元,根据题意得3 = ,解得x =8,经检验,x=8是分式方程的解. 答:第一批饮料进货单价为8元. (2)设销售单价为m元,根据题意得 (m-8)+ (m-10)1 200,解得m11. 答:销售单价至少为11元.,解题关键 本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到关键
45、描 述语,进而找到所求量的等量关系和不等关系,从而解决问题.,思路分析 (1)用总价除以单价表示购进饮料的数量,根据两批饮料的数量的倍数关系列出方程; (2)设销售单价为m元,则第一批每瓶的利润为(m-8)元,第二批每瓶的利润为(m-10)元,然后根据总利润列出 一元一次不等式,求出不等式的解集即可.,7.(2019深圳福田一模,21)皮特是红树林中学的一个外籍教师,目前,他在电脑上打英语单词的平均速度是打 汉字速度的2倍.某次,他连续打完一篇3 600字(单词)的英语文章和一篇600字的汉语文章,一共刚好花了40 分钟.(速度按每分钟打多少个英语单词或汉字测算). (1)皮特目前平均每分钟打
46、多少汉字? (2)最近,皮特把一篇汉语文章翻译成英文,原文加上译文总字数为6 000,已知他在1小时内(含1小时)打完了 这6 000字,问原文最多有多少汉字?,解析 (1)设皮特目前平均每分钟打x个汉字,则皮特目前平均每分钟打2x个单词,依题意得 + =40, 解得x=60,经检验,x=60是原方程的解,且符合题意. 答:皮特目前平均每分钟打60个汉字. (2)设原文有m个汉字,则译文有(6 000-m)个单词,依题意得 + 60,解得m1 200. 答:原文最多有1 200个汉字.,思路分析 (1)设皮特目前平均每分钟打x个汉字,根据他连续打完一篇3 600字(单词)的英语文章和一篇600
47、 字的汉语文章一共刚好花了40分钟,即可得出关于x的分式方程;(2)设原文有m个汉字,根据“工作时间=汉 字字数60+单词数量120”结合工作时间小于等于1小时(60分钟),即可得出关于m的一元一次不等式.,1.对于非零实数a、b,规定a*b= - .若2*(2x-1)=1,则x的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意得 - =1, 去分母得2-(2x-1)=4x-2, 去括号得2-2x+1=4x-2, 移项、合并同类项得6x=5, 解得x= , 经检验,x= 是分式方程的解.故选A.,解题关键 把2*(2x-1)=1转化为普通的分式方程是解题关键.,2.某学校计划选购甲、乙两
48、种图书作为“校园读书节”的奖品,已知甲种图书单价比乙种图书贵4元,用 3 000元购进甲种图书的数量与用2 400元购进乙种图书的数量相同. (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元? (2)学校计划购买这两种图书共100本,求出所需经费W(单位:元)与购买甲种图书数量m(单位:本)之间的函数 关系式; (3)在(2)的条件下,要使投入的经费不超过1 820元,且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书的数量,则共 有几种购买方案?,解析 (1)设甲种图书的单价为x元,则乙种图书的单价为(x-4)元,根据题意, 得 = ,解得x=20, 经检验,x=20是原方程的根,且符合题意, 则x-4=16. 答:甲种图书的单价为20元,乙种图书的单价为16元. (2)购买甲种图书m本,则购买乙种图书(100-m)本, 根据题意,得W=20m+16(100-m)=4m+1 600. (3)根据题意,得 解得50m55,m为整数, m的值可以是50,51,52,53,54,55,故购买方案有6种:甲种图书50本,乙种图书50本;甲种图书51本,乙种图书49本;甲种图书52本,乙种图 书48本;甲种图书53本,乙种图书47本;甲种图书54本,乙种图书46本;甲种图书55本,乙种图书45本.,拓广探索 在(3)的条件下,问:哪种方案所需经费最少?
