1、考点一 矩形,A组 20152019年广东中考题组,1.(2019广州,9,3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则 AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.10 D.8,答案 A 如图,连接AE,四边形ABCD是矩形,ADBC,FAO=ECO. EF垂直平分线段AC,OA=OC,在FAO和ECO中, FAOECO(ASA),CE=AF =5. EF垂直平分线段AC,EA=EC=5,BC=BE+EC=3+5=8.四边形ABCD是矩形, B=90.在RtABE中,AB= = =4.在RtABC中,AC= = =4 .故选A.,思路
2、分析 连接AE,由垂直平分线的性质易得EA=EC,OA=OC,可证明FAOECO,从而得到EC=AF=5, BC=BE+EC=8.在RtABE中利用勾股定理可求出AB的长度,进而在RtABC中利用勾股定理求出AC的长度.,2.(2015梅州,5,3分)下列命题正确的是 ( ) A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,答案 D A选项描述的四边形还有可能是等腰梯形;B选项,对角线互相垂直平分的四边形是菱形;C选项, 对角线相等且互相平分的四边形是矩形,排除A,B,C,故选D
3、.,3.(2016茂名,14,3分)已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .,答案 2,解析 在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1, AO=CO=BO=DO=1, BD=2.,4.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所在的 直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE, EC=2BE=2BE, ACB=30,AB= AC. AC=2 ,AB= .,5.(2015梅州,
4、14,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合,折痕为EF,若AB=4,BC=2,那么线段EF的 长为 .,答案,解析 连接CE,由题知EF垂直平分AC,则CE=AE,设CE=x(x0),则AE=x,BE=4-x,在RtBCE中,CE2=BE2+ BC2,即x2=(4-x)2+22,解得x= . 过点E作EGCD,垂足为G,则EG=2,CG= ,设AC与EF交于点O,易证FOCEOA,OE=OF,则CF=CE= , FG=1,在RtFGE中,EF= = .,6.(2016广州,18,9分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求ABD的度数.,解析 解法一:
5、四边形ABCD是矩形, AO= AC,BO= BD,AC=BD, AO=BO. 又AB=AO, AB=AO=BO,ABO为等边三角形, ABD=60. 解法二:四边形ABCD是矩形,AO= AC,ABC=90, AB=AO,AB= AC, 在RtABC中,cosBAC= = ,BAC=60. ABO为等边三角形,ABD=60.,7.(2017广州,24,14分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,COD关于CD的对称图形为CED. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)连接AE,若AB=6 cm,BC= cm. 求sinEAD的值; 若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连
6、接OP,一动点Q从点O出发,以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运 动到点P,再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,AC=BD, AC与BD交于点O,且COD、CED关于CD对称, DO=OC,DO=ED,OC=CE, DO=OC=CE=ED, 四边形OCED是菱形. (2)连接OE,交DC于点G,EO的延长线交AB于点F, 四边形OCED是菱形,OEDC, DCAB,OFAB, 四边形ABCD为矩形,ADAB,EFAD, G为DC的中点
7、,且O为BD的中点, OG为BCD的中位线,OG= BC= cm, OG=EG=OF,EF= cm. F为AB的中点,AB=6 cm,AF=3 cm, AE= = = (cm), EAD=AEF, sinEAD=sinAEF= = . 如图,过点P作PMAB交AB于点M, 设Q由O运动到A所需的时间为t s,由可得,AM= AP, 点Q以1.5 cm/s的速度从P运动到A所需的时间等于以1 cm/s的速度从M运动到A所需的时间, 即t=tOP+tPA= + =OP+MA, Q由O运动到A所需最短时间就是OP+MA的最小值. 当P运动到P1,即P1OAB时,所用时间最短, 此时t=OP+MA=3
8、.,设AM1=2x cm,则AP1=3x cm, 在RtAP1M1中,A =A +P1 , 即(3x)2=(2x)2+ , 解得x= 或x=- (舍),AP1= cm. 点Q运动到点A所需时间最短时,AP= cm,点Q走完全程所需的时间为3 s.,考点二 菱形,1.(2019深圳,12,3分)已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为4,BE=AF,BAD=120,则下列结论正确的有几个 ( ) BECAFC; ECF为等边三角形; AGE=AFC; 若AF=1,则 = . A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 四边形ABCD是菱形,BAD=120, B=CAD=60,BA=BC, ABC是等
9、边三角形, CB=CA, 又BE=AF, BECAFC(SAS), 正确, BECAFC, CE=CF,BCE=ACF, FCE=FCA+ACE=BCE+ACE=ACB=60, ECF是等边三角形, 正确, AFCBEC,AFC=BEC, ECF是等边三角形, CEF=60, AEF+BEC=180-60=120, 又AEG+AGE=180-BAC=180-60=120, AGE=BEC, AGE=AFC, 正确, 四边形ABCD是菱形, AC平分EAF, = = , AF=1,BE=AF=1, AE=AB-BE=4-1=3, = = , 正确, 正确,结论正确的有4个, 故选D.,思路分析
10、利用菱形的性质,得出B=CAD,ABC是等边三角形,进一步得出CA=CB,从而利用SAS证 明BECAFC.由BECAFC得出CE=CF,再利用全等的性质,得出ECF=60,从而得出ECF 是等边三角形.由AFCBEC,得出AFC=BEC,由BEC+AEF=AEG+AGE=120得出 BEC=AGE,从而得出AGE=AFC.由于AC平分EAF,得出 = = ,进一步得出 = .,2.(2015广东,13,4分)如图,菱形ABCD的边长为6,ABC=60,则对角线AC的长是 .,答案 6,解析 四边形ABCD为菱形,AB=BC,ABC=60, ABC为等边三角形,AC=AB=6.,3.(2018
11、广州,14,3分)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .,答案 (-5,4),解析 由A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0)可得AO=3,AB=5,由菱形ABCD四边相等可得CD=AD=AB=5,在 RtAOD中,由勾股定理可得OD= =4,所以C(-5,4).,方法总结 求平面内的点的坐标,实际上是求该点分别到y轴和x轴的距离,然后根据点所在的象限得出 横、纵坐标的正负.本题解题关键是利用菱形的性质,结合勾股定理进行求解.,4.(2016梅州,18,7分)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AD于
12、点F,再分别以 点B、F为圆心,大于 BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长,交BC于点E,连接EF. (1)四边形ABEF是 ;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果) (2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为 ,ABC= .(直接填 写结果),解析 (1)菱形. 由题意知,EAB=EAF, ADBC, EAF=AEB=EAB, BE=AB=AF. AFBE, 四边形ABEF是平行四边形, AB=AF, 四边形ABEF是菱形. (2)10 ;120. 四边形ABEF是菱形, AEBF,BO=OF=5,ABO=EBO,AB=10
13、, AB=2BO,AOB=90,BAO=30,ABO=60, AE=2AO=2 BO=10 ,ABC=2ABO=120.,思路分析 (1)由角平分线的画法得出EAB=EAF,由ADBC,推出EAF=AEB=EAB,得到BE=AB= AF,由此即可证明.(2)根据菱形的性质首先证明AOB是含有30角的直角三角形,由此即可解决问题.,5.(2017广东,21,7分)如图所示,已知四边形ABCD、ADEF都是菱形,BAD=FAD,BAD为锐角. (1)求证:ADBF; (2)若BF=BC,求ADC的度数.,解析 解法一:(1)证明:设AD与BF相交于点M. 在ABM和AFM中, ABMAFM(SAS
14、), AMB=AMF=90,ADBF. (2)BF=BC,四边形ABCD是菱形, BF=AB,BAM+ADC=180. ABMAFM,BM=FM, BM= BF= AB, BAM=30,ADC=150.,解法二:(1)证明:如图,连接DB、DF. 四边形ABCD、ADEF都是菱形,AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA. 在BAD与FAD中,BADFAD, DB=DF, D在线段BF的垂直平分线上, AB=AF, A在线段BF的垂直平分线上, AD是线段BF的垂直平分线, ADBF. (2)如图,设ADBF于H,作DGBC于G,则四边形BGDH是矩形,DG=BH= BF. BF=BC,
15、BC=CD, DG= CD. 在直角CDG中,CGD=90,DG= CD, C=30, BCAD, ADC=180-C=150.,6.(2018深圳,20,8分)阅读短文,解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点 在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图(1),菱形AEFD为ABC的 “亲密菱形”. 如图(2),在ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心, 以大于 MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FDAC,FEAB.
16、(1)求证:四边形AEFD是ABC的“亲密菱形”; (2)当AB=6,AC=12,BAC=45时,求菱形AEFD的面积.,解析 (1)证明:由尺规作图可知: AF平分BAC,DAF=EAF, 又DFAC,DFA=EAF, DAF=DFA,AD=DF, FDAC,FEAB, 四边形AEFD是平行四边形, 又AD=DF,平行四边形AEFD是菱形, BAC与DAE重合,点F在BC上, 菱形AEFD是ABC的“亲密菱形”. (2)设菱形AEFD的边长为x, 即AD=DF=x,则BD=6-x,FDAC,BDFBAC, = ,即 = , 解得x=4. 过D点作DGAC于点G, 在RtADG中,DAG=45
17、, DG=ADsinDAG=ADsin45=4 =2 , S菱形AEFD=AEDG=42 =8 , 菱形AEFD的面积为8 .,思路分析 (1)要根据题目给出的“亲密菱形”的定义进行证明,本质上就是要证明四边形AEFD为菱形,通 过题目给出的尺规作图的方法找到菱形判定的条件,进而说明满足“亲密菱形”定义所需的条件,从而得 证;(2)求菱形的面积需要找到菱形的底和高,通过辅助线作出菱形的高,利用三角形相似求出菱形的边长,结 合三角函数求出高,即可解决问题.,方法总结 菱形的判定方法有:四边相等的四边形为菱形;一组邻边相等的平行四边形为菱形;对角线互相 垂直的平行四边形为菱形.要依据题目条件找出满
18、足菱形判定的条件,要熟悉尺规作图的方法,能综合运用 相似三角形的性质,三角函数等知识进行问题的解答.本题的解题关键是能作出菱形的高及求出菱形的边 长.,考点三 正方形,1.(2019广东,10,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延 长FG交DC于M,连接AM、AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结论:ANH GNF;AFN=HFG;FN=2NK;SAFNSADM=14,其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 因为正方形ABCD的边长为4,正方形EFGB的边长为2,H为
19、AD的中点,所以FG=AH=2,HAN= FGN=90,ADFM,所以AHN=GFN,所以ANHGNF,故正确;因为在RtAFG中,AF= =2 ,而AH=2,所以AHFAFH,则AFNHFG,故错误;由ADFM,可知AHKMFK,所以 HKFK=AHFM=26=13.因为ANHGNF,所以FN=HN,所以HF=4HK=2FN,所以HK=NK,所以FN =2NK,故正确;易求得SAFN= 12=1,SADM= 24=4,所以SAFNSADM=14,故正确.综上所述,正确的 结论有3个,故选C.,方法总结 证明三角形全等,从已知中找边和角相等;在一个三角形中看两角是否相等,可以证明相对两边 是否
20、相等;一个边是另一个边的倍数关系常要联系到相似.,2.(2017深圳,12,3分)如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ、DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点 F、E,连接AE.则下列结论:AQDP;OA2=OEOP;SAOD=S四边形OECF;当BP=1时,tanOAE= .其中正 确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 易证DAPABQ,所以P=Q,可得Q+QAB=P+QAB=90,即AQDP,故正确; 由射影定理得OA2=ODOP,若OD=OE,则AD=AE,矛盾, ODOE,OA2OEOP,故错误; AQDP,ADO+FAD=90,又ADO+E
21、DC=90, EDC=FAD,DA=DC,ADC=DCE, DAFCDE,SDAF=SCDE, SDAF-SDOF=SCDE-SDOF,即SAOD=S四边形OECF,故正确; 当BP=1时,AP=4,又AD=3, DP=5,AO= ,cos P= = . PE= = .AP=4,PO=APcos P= ,OE=PO-PE= ,tanOAE= = ,故正确. 综上,正确结论的个数为3,故选C.,3.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论: SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCD
22、F,其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 C AB=AD,BAF=DAF,AF=AF, ABFADF,SABF=SADF,正确; 同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点, SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确; ADEC,FAD=FCE,FDA=FEC, 又AFD=CFE,AFDCFE, = = =2, = =22=4, SAFD=4SCFE,不正确; =2, =2, SADF=2SCDF,正确.故选C.,方法规律 探索两个三角形面积的数量关系,主要的方法是从三角形全等、三角形相似、等底等高等入 手.,4.(2016深圳,12,3分)如图,CB=CA,ACB
23、=90,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F 作FGCA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论: AC=FG; : =12;ABC=ABF;AD2=FQAC, 其中正确的结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 四边形ADEF为正方形, FAD=90,AD=AF=EF, CAD+FAG=90, FGCA, GAF+AFG=90, CAD=AFG, 在FGA和ACD中, FGAACD(AAS), AC=FG,正确; BC=AC, FG=BC,ACB=90,FGCA, FGBC, 四边形CBFG是矩形, CBF=90, = F
24、BFG= ,正确; CA=CB,C=CBF=90, ABC=ABF=45,正确; FQE=DQB=ADC,E=C=90, ACDFEQ, ACAD=FEFQ, ADFE=AD2=FQAC,正确. 故选D.,5.(2019深圳,15,3分)如图,在正方形ABCD中,BE=1,将BC沿CE翻折,使B点对应点刚好落在对角线AC上,将 AD沿AF翻折,使D点对应点刚好落在对角线AC上,则EF= .,答案,解析 如图,过点E作EHCD于点H,设点B、D的对应点分别为B、D,BECBEC,BE=EB=1, 四边形ABCD为正方形,EAB=45,AB=BE=1,AE= = , AB= +1,EH=BC=AB
25、= +1,由题意得DF=BE=1,CF=AE= , 又CH=BE=1,HF=CF-CH= -1,在RtEHF中,EF= = = .,6.(2019广州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),DAM=45,点F在射 线AM上,且AF= BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG.则下列结论: ECF=45;AEG的周长为 a; BE2+DG2=EG2;EAF的面积的最大值是 a2. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH, B=90,BE=BH, EH= = = BE,EHB=BE
26、H=45, EHC=180-EHB=180-45=135, FA= BE, FA=EH, DAM=45,DAB=90, FAE=DAM+DAB=45+90=135, FAE=EHC, BA=BC,BE=BH, BA-BE=BC-BH, AE=HC,在FAE和EHC中, FAEEHC(SAS), EF=EC,AEF=HCE, HEC+AEF=HEC+HCE=EHB=45, FEC=180-(AEF+HEC)-BEH=180-45-45=90, ECF=EFC= =45,故正确. 图1 如图2,延长AD至点H,使得DH=BE,连接CH, CB=CD,B=CDH=90,BE=DH,CBECDH(SA
27、S), ECB=HCD,CE=CH, 由的证明可知ECF=45, ECB+GCD=45, GCH=GCD+DCH=GCD+ECB=45, ECG=HCG, 又CG=CG, CEGCHG(SAS), EG=GH=GD+DH=GD+BE,故错误. CAEG=AE+AG+EG=AE+AG+GH =AE+AG+GD+DH=AE+AG+GD+EB =(AE+EB)+(AG+GD)=AB+AD=2a. 故错误.,图2 设BE=x(0xa),则AE=a-x,AF= x,易知点F到AE的距离为x. SAEF= (a-x)x=- x2+ ax=- + a2, - 0, 当x= a时,SAEF有最大值 a2, 故
28、正确. 故正确的结论是.,思路分析 对于,如图1,在BC边上截取BH=BE,连接EH,证明FAEEHC,证明FEC为等腰直角三角 形,就可以得到ECF=45;对于,如图2,延长AD至点H,使DH=BE,连接CH,先证明CBECDH,再证 明CEGCHG,便可判断出是错误的;对于,设BE=x(0xa),得到SAEF与x的二次函数关系式,利用 二次函数的性质求出最值.,7.(2018深圳,15,3)如图,四边形ACDF是正方形,点E、A、B在同一直线上,ABC=E=90,AB=4,则阴影部 分的面积是 .,答案 8,解析 四边形ACDF是正方形,AC=FA,FAC=90, FAE+CAB=90.
29、ABC=90,ACB+CAB=90,ACB=FAE, ABC=E=90, ABCFEA(AAS),AB=FE=4,SABF= ABEF= 44=8.,思路分析 求ABF的面积可以以AB为底,EF为高,通过证三角形全等可得AB=EF=4,继而可求出阴影部分 的面积.,方法总结 求三角形的面积需要求出三角形的底和高,观察图形,由条件可证两三角形全等,继而得对应边 相等,代入三角形面积公式即可求答案.,8.(2017广东,16,4分)如图(1),矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3.先按图(2)操作:将矩形纸片ABCD沿过点A的直 线折叠,使点D落在边AB上的点E处,折痕为AF;再按图(3)操作:
30、沿过点F的直线折叠,使点C落在边EF上的点 H处,折痕为FG,则A、H两点间的距离为 .,答案,思路分析 求A、H两点之间的距离,即求线段AH的长,因为AH为RtAEH的斜边,所以应先求出AE和EH的 长,然后利用勾股定理求AH的长.,9.(2016广州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将DCB绕点D顺时针旋转45得到 DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论: 四边形AEGF是菱形;AEDGED; DFG=112.5;BC+FG=1.5. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 由题可知DGHDCB,DH=DB
31、,DHG=DBC=45,DGH=DCB=90,DG=DC=AD, 又DAC=45, DAC=DHG,AFEG. 在RtAED和RtGED中,AD=GD,ED=ED, RtAEDRtGED,ADE=GDE,故正确; 在ADF与GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD=FD, ADFGDF,AF=GF,DGF=DAF=45, 又DBA=45,FGAE, 四边形AEGF是平行四边形, 又AF=GF,平行四边形AEGF是菱形,故正确; GDF= ADB=22.5,DGF=45,DFG=112.5,故正确; FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD= -1,BC+FG=1+ -1= ,故不正确.,10
32、.(2015广州,18,9分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF,连接BE,AF. 求证:BE=AF.,证明 四边形ABCD是正方形, BAE=ADF=90,AB=DA. 在ABE 和DAF中, ABEDAF(SAS). BE=AF.,考点一 矩形,B组 20152019年全国中考题组,1.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个 条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( ) A.AB=BE B.BEDC C.ADB=90 D.CEDE,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,AD
33、BC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四 边形DBCE是平行四边形.若AB=BE,则CD=BE,则平行四边形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,则平 行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形 DBCE是菱形.故选B.,2.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于 点F,则BF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意得AFB=D=BAD=90, FAB+DAE=90,FAB+ABF=90, A
34、BF=DAE, ADEBFA, 则 = ,即 = =3,设AF=x(x0),则BF=3x, 在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2, 即x2+(3x)2=22,解得x= (负值舍去), 所以3x= ,即BF= .故选B.,思路分析 先通过证明ADEBFA得到AF与BF的数量关系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程求 解.,3.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠, 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .,答案 或,解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B
35、=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形, BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图. 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, = .,在RtADB中,由勾股定理得BD= = , = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 .,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形
36、性质结合勾股定理可求a的值.,4.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形. 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO.OAD=ADO. AO=OD. 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形. (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x. 在ODC中,DOC+OCD+
37、CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18.ODC=318=54. ADO=90-ODC=90-54=36.,名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和.,5.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP= ,求CF的长.,解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC= =10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种
38、情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP= ,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC= ADDC= ACDQ, DQ= = ,CQ= = , PC=2CQ= ,AP=AC-PC= . 综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP= . (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CD
39、F.,BCD=90,OE=OD,OC= ED. 在矩形PEFD中,PF=DE,OC= PF. OP=OF= PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180,PCF=90,即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF, = = .AP= ,CF= .,一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心, OC为半径的圆上. PC
40、F=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC. DCF=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF=ADP,CDFADP. = , = ,CF= .,易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.,考点二 菱形,1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( ) A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA
41、=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB= = OA,易知OA=EF,AB= EF,故选D.,思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF= AC, EH= BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB= OA,即得AB= EF.,2.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件 判定ABCD是菱形的 只有 ( ) A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2,答案
42、 C 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是 菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由 1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故 选C.,3.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF= , BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点, 所以EFAC,且EF= AC, 所以AC=2
43、EF=2 . 所以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,4.(2019四川成都,24,4分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60.将ABD沿射线BD的方向平移得到 ABD,分别连接AC,AD,BC,则AC+BC的最小值为 .,答案,解析 作直线AA,并作点C关于直线AA的对称点E,连接EA,AC,AE. 四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=1, AC=1,ACBD,由平移得BCBDAD,AABD, AD=BC.又EA=AC, AC+BC=EA+AD, 当E,A,D三点共线时,EA+AD的值最小. AC=AE=AD=1,DAC=DCA=60, E= DAC=30,
44、EDC=180-E-ACD=90, ED=ECcos E=2 = ,即AC+BC的最小值为 .,方法总结 求不在同一条直线上的两条线段长的和的最小值,一般是通过轴对称转化为求一条直线上的两 条线段的长度和.,5.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G= ,求AO的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. BE=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为菱形, AO=OC,OD= BD,ACBD. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4,OD=2.,在RtCOD中,tanCDO=tan G= ,可得OC=1. AO=1.,6.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点, 连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析 (1)证明:E为AD的中点, AD=2ED.AD=2BC, ED=BC. ADBC, 四边形BCDE为平行四边形. 又在ABD中,
