1、A组 河北中考题组,1.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点 B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.,解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大.,
2、B=30,AB=6,x= AB= 6=3. PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+ 120=150,即105AIC150, 所以m=105,n=150.,思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x
3、,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC,可得AIC的大小取决于APC的大小,根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105, n=150.,2.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并 使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点, PA=PB. 又A=B,MPA=NPB,
4、APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部, BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角, 又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明APMBPN. (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果. (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,3.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测
5、得AB=DE,AC=DF, BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析 (1)证明:BF=EC, BF+FC=EC+CF,即BC=EF. (3分) 又AB=DE,AC=DF, ABCDEF. (5分) (2)ABDE,ACDF. (7分) 理由:ABCDEF, ABC=DEF,ACB=DFE. ABDE,ACDF. (9分),思路分析 (1)先证明BC=EF,再根据SSS进行证明. (2)结论ABDE,ACDF,根据全等三角形的性质即可证明.,解题关键 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形 的条件,记
6、住平行线的判定方法.,评析 本题考查全等三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性质得 到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系.,考点一 全等三角形的性质 1.(2016福建厦门,3,3分)如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点, AF与DE交于点M,则DCE= ( ) A.B B.A C.EMF D.AFB,B组 20152019年全国中考题组,答案 A ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,DCE=B,故选A.,2.(2018江苏南京,5,2分)如图,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点
7、,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c, 则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c,答案 D ABCD,CEAD,BFAD, AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90, A=C,又AB=CD, ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b. EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,故选D.,3.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:AC BD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO,BAC=DAC,A
8、OB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90, ACBD,正确;AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确;ABCADC, CB=CD,正确; DA与DC不一定相等,不正确.,4.(2019陕西,18,5分)如图,点A、E、F、B在直线l上,AE=BF,ACBD,且AC=BD. 求证:CF=DE.,证明 AE=BF, AF=BE. (2分) ACBD, CAF=DBE. 又AC=BD, ACFBDE. (4分) CF=DE. (5分),5.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点
9、G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结论.,6.(2018浙江宁波,23,10分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接 CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE. (1)求证:ACDBCE; (2)当AD=BF时,求BEF的度数.,
10、解析 (1)证明:由旋转可知CD=CE,DCE=90, ACB=90,ACB=DCE, 又ACD=ACB-DCB,BCE=DCE-DCB, ACD=BCE, 在ACD与BCE中, ACDBCE(SAS). (2)ACB=90,AC=BC,A=45, 由ACDBCE可知A=CBE=45,AD=BE, AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=67.5.,考点二 全等三角形的判定 1.(2018贵州,7,4分)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的是 ( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙,答案 B 在ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定
11、方法:SAS;在ABC和图丙的三角形中,满 足三角形全等的判定方法:AAS.故选B.,2.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不 能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,B
12、F=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E, 此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据
13、“SSA”添加条件.,4.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有 对全等 三角形.,答案 3,解析 根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所 以题图中有3对全等三角形.,5.(2018广东,22,7分)如图,矩形ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交 CD于点F,连接DE. (1)求证:ADECED; (2)求证:DEF是等腰三角形.,证明 (1)ACE是由ACB折叠得到的, AD=BC=EC,AE=AB=DC, DE=ED, ADECED. (2)
14、由ADECED得AED=CDE, 即FED=FDE,FE=FD, DEF是等腰三角形.,6.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD 交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDC
15、E,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,考点一 全等三角形的性质 1.(2018山东临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的 长是 ( ) A. B.2 C.2 D.,C组 教师专用题组,答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+ DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2.,2.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若A
16、C=6,则四边形ABCD 的面积为 .,答案 18,解析 过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC =180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AEDACB,AE=AC=6,四边形ABCD 的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD= ACAE= 66=18.,一题多解 本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至AED的位置,则 AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+B=180,即EDA+ADC= 180,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直
17、角三角形,接下来同上.,3.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中: ABC=ADC; AC与BD互相平分; AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角; 四边形ABCD的面积S= ACBD. 正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 在ABC和ADC中, ABCADC(SSS), ABC=ADC,正确. ABCADC,BAC=DAC, 在ABO和ADO中, ABOADO. 同理,CBOCDO. OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90, ACBD, AO与OC不一定相等,不正确.,ABCADC,
18、BAC=DAC,ACB=ACD, ABD和CBD不一定相等,不正确. ACBD, 四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD= BDAO+ BDCO= BD(AO+CO)= BDAC,正确.,4.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,B=E.求证:ACDF.,证明 BF=EC, BF+CF=EC+CF, BC=EF, 在ABC与DEF中, ABCDEF(SAS), ACB=EFD, ACDF.,5.(2018江苏镇江,22,6分)如图,ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC. (1)求证:ABEACF; (2)若BAE=3
19、0,则ADC= .,解析 (1)证明:AB=AC,B=ACF, 在ABE和ACF中, ABEACF(SAS). (2)ABEACF,BAE=30,BAE=CAF=30, AD=AC,ADC=ACD, ADC= =75.,6.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为 AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明 (1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB. (1分) 在ACE与BCD中,
20、 (3分) ACEBCD. (4分) (2)ACEBCD, AE=BD. (5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2,ED2=AD2+BD2. (6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2. (7分),考点二 全等三角形的判定,1.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ 的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=
21、PAE.则说明这两个三角 形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,2.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全
22、等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,3.(2018山东济宁,13,3分)在ABC中,点E,F分别是边AB,AC的中点,点D在BC边上,连接DE,DF,EF,请你添加 一个条件 ,使BED与FDE全等.,答案 答案不唯一,如:D是BC的中点.,解析 E,F分别是边AB,AC的中点,EFBC, F,D分别是边AC,BC的中点,FDAB, 四边形BEFD是平行四边形,BEDFDE.,4.(2018广西桂林,21,8分)如图,点A、D、C、F在同一条直线上,A
23、D=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:ABCDEF; (2)若A=55,B=88,求F的度数.,解析 (1)证明:AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF, AC=DF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(SSS). (2)由ABCDEF可知ACB=F, A=55,B=88, ACB=180-(A+B)=180-(55+88)=37, F=ACB=37.,5.(2017江苏苏州,24,8分)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交于点O. (1)求证:AECBED; (2)若1=42,求BDE的度数.,解析 (1)证明:AE和BD相交于点O,AOD=
24、BOE. 在AOD和BOE中,A=B,BEO=2. 又1=2,1=BEO,AEC=BED. 在AEC和BED中, AECBED(ASA). (2)AECBED,EC=ED,C=BDE. 在EDC中,EC=ED,1=42, C=EDC=69, BDE=C=69.,6.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧 交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BAC; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,解析 (1)证明:由题意可知BD=CD, 在AB
25、D和ACD中, ABDACD(SSS). BAD=CAD,即AD平分BAC. (2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65. BD=CD=BC,BDC为等边三角形. DBC=DCB=60,DBE=DCF=55, BC=6,BD=CD=6. 的长度= 的长度= = . 、 的长度之和为 + = .,一、选择题(每小题3分,共6分),25分钟 35分,1.(2018石家庄质检,11)如图,已知直线l及直线外一点P,观察图中的尺规作图痕迹,则下列结论不一定成立的 是 ( ) A.PQ为直线l的垂线 B.CA=CB C.PO=QO D.APO=BPO,答案 C 由尺规作图可知PA=PB,AQ=
26、BQ, PQ=PQ,PAQPBQ, APO=BPO,选项D正确; PA=PB,APO=BPO, OPAB,选项A正确; PA=PB,APO=BPO,PC=PC, APCBPC,CA=CB,选项B正确; PA与AQ不一定相等, PO不一定与QO相等,选项C不正确.故选C.,2.(2017唐山丰南一模,6)如图,从下列四个条件:BC=BC;AC=AC;ACA=BCB;AB=AB中,任取 三个为条件,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由依据“边边边”定理可证ABCABC,可得; ACA=BCB,ACB=ACB, 由进而依据“边角边”定
27、理可证ABCABC,可得,故选B.,二、填空题(每小题3分,共9分) 3.(2019石家庄十八县一模,18)如图,在ABC中,CE是AB边上的高,BD平分ABC交CE于点D.若DE=2,BC= 5,则SBDC= .,答案 5,解析 过点D作DFBC,如图,BD平分ABC,DEBE,DE=DF=2, SBDC= BCDF= 52=5.,4.(2019保定高阳一模,18)如图,在ABC中,B=2C,小明做了如下操作: 以A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点F; 以A为圆心,任意长为半径画弧,交AB、AC于M、N两点,分别以M、N为圆心,以大于 MN为半径画弧,两 弧交于一点P,作射线AP,交BC
28、于点E; 作直线EF. 依据小明尺规作图的方法,若AB=3.3,BE=1.8,则AC的长为 .,答案 5.1,解析 由题意可得AB=AF=3.3,AE平分BAC,BAE=EAC,ABEAFE,BE=EF=1.8,B= AFE,B=2C,AFE=2C,CEF=C,CF=EF=1.8,AC=AF+CF=3.3+1.8=5.1.故AC的长为5.1.,5.(2019邢台二模改编)如图,在四边形ABCD中,E是BC上一点,AE交BD于点O,AD=BD,ADB=EDC,DE= DC.若AEB=36,则EDC= .,答案 36,解析 ADB=EDC,ADE=BDC, DA=DB,DE=DC,ADEBDC,A
29、ED=C, DE=DC,DEC=C, AEB=36,AED=DEC=C=72,EDC=36.,三、解答题(共20分) 6.(2019邢台一模,23)如图,在ABC中,B=C=40,点D、点E分别在点B、点C同时出发,在线段BC上作等 速运动,到达C点、B点后运动停止. (1)求证:ABEACD; (2)若AB=BE,求DAE的度数; 拓展:若ABD的外心在其内部,求BDA的取值范围.,解析 (1)证明:由题意可得BD=CE, BD+DE=CE+ED,即BE=CD. (2分) B=C,AB=AC. ABEACD. (4分) (2)B=40,AB=BE,BEA=BAE=70, (5分) ABEAC
30、D,BEA=ADC=70,DAE=40.(7分) 拓展:若ABD的外心在其内部,则ABD是锐角三角形.(8分) BAD=140-BDA90, 又BDA90,50BDA90. (9分),7.(2018保定一模,21)已知:如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点E在BC边上. (1)求证:ACDABE; (2)若CDE=60,求AEB的度数.,解析 (1)证明:BAC=DAE=90, BAC-CAE=DAE-CAE,即DAC=EAB. 在ACD和ABE中, ACDABE(SAS). (2)ACDABE, ADC=AEB, AEB=ADE+CDE=45+60=105.,一、
31、选择题(每小题3分,共21分) 1.(2018石家庄裕华一模,13)如图,有一张三角形纸片ABC,已知B=C=x,按下列方案用剪刀沿着箭头方 向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是 ( ),30分钟 51分,答案 C 利用边角边可以判定选项A,选项B正确;利用角角边可判定选项D正确;选项C中存在两组角相 等,但长为3的两条边所对的角不一定相等,所以可能得不到全等三角形,故选C.,2.(2018唐山路北一模,15)如图,在ABC,ADE中,C,E两点分别在AD,AB上,且BC与DE相交于F点,若A=90, B=D=30,AC=AE=1,则四边形AEFC的周长为 ( ) A.2 B.2 C.2+ D
32、.2+,答案 B A=A,B=D,AC=AE, ABCADE,AB=AD,ACB=AED=60, AED=B+BFE,B=30,BFE=30, BE=EF,同理CF=CD, 四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=AB+AD=2AB. AC=1,B=30,AB= AC= , 四边形AEFC的周长为2 ,故选B.,解题关键 熟练掌握三角形全等的判定与性质,等腰三角形的性质是解题的关键.,3.(2017石家庄质量检测一,14)如图,ABC为等边三角形,要在ABC外部取一点D,使得ABC和DBC全 等,下面是两名同学的作法: 甲:作A的平分线l; 以B为圆心,BC长为半径画弧,交l于点D,点D
33、即为所求; 乙:过点B作平行于AC的直线l; 过点C作平行于AB的直线m,交l于点D,点D即为所求. 对于两人的作法,下列判断正确的是 ( ) A.两人都正确 B.两人都错误,C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确,答案 A 对于甲:AD平分BAC,BAC=60, BAD=30, AB=BC,BC=BD, AB=BD,BAD=BDA=30,ABD=120, ABC=60,CBD=60. BCD为等边三角形,则ABC与DBC全等,故甲正确. 对于乙:BDAC,CDAB, ACB=DBC,ABC=BCD, BC=CB,ABCDCB,故乙正确,故选A.,4.(2019石家庄十八县一模,12)如图,在
34、等腰直角ABC中,ABC=90,以B为圆心,小于AB的长为半径画弧, 分别交AB,BC于E,F,分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点O,在 射线BP上作OD=OB,连接AD,CD.下列说法不正确的是 ( ) A.ABD=CBD B.ACBD C.AD=CD D.若四边形ABCD的周长为16,则AC=4,答案 D 由尺规作图可知BD平分ABC,ABD=CBD,选项A正确;在等腰直角ABC中,BD平分 ABC,OA=OC,ACBD,选项B正确;OD=OB,OA=OC,ACBD,四边形ABCD是菱形,AD=CD,选项 C正确;四边形ABCD是菱形,ABC
35、=90,四边形ABCD是正方形,四边形ABCD的周长为16,AB=4, AC=4 ,选项D错误.故选D.,5.(2019廊坊广阳一模,16)如图,已知ABC中,AB=AC,BAC=90,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边 PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),给出以下五个 结论:AE=CF;APE=CPF;EFP是等腰直角三角形;EF=AP;S四边形AEPF= SABC.其中正确结论 的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C AB=AC,点P是BC的中点, APBC,APF+CPF=90, EPF是直角,APF+APE
36、=90, APE=CPF,故正确; AB=AC,BAC=90,点P是BC的中点,AP=PC,EAP=C=45, 在APE和CPF中, APECPF(ASA),AE=CF,PE=PF,又EPF是直角,EFP是等腰直角三角形,故正确; 根据EFP是等腰直角三角形,可得EF= PE, EF随着点E的变化而变化,只有当点E为AB的中点时,EF= PE=AP,在其他位置时,EFAP,故错误; APECPF,SAPE=SCPF,S四边形AEPF=SAPF+SAPE=SAPF+SCPF=SAPC= SABC,故正确. 综上所述,正确的结论有,共4个.故选C.,解题关键 根据同角的余角相等求出APE=CPF,
37、从而得到APE和CPF全等是解题的关键,也是本 题的突破点.,6.(2019保定竞秀一模改编)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是ABC的中心,FOG=120,绕点O旋转 FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论:OD=OE;SODE=SBDE;四边形 ODBE的面积始终等于 ;BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 连接OB、OC, ABC为等边三角形,ABC=ACB=60, 点O是ABC的中心, OB=OC,BO、CO分别平分ABC、ACB,ABO=OBC=OCB=30, BOC=120,即BOE+C
38、OE=120, 又DOE=120,即BOE+BOD=120,BOD=COE, 在BOD和COE中, BODCOE,OD=OE,SBOD=SCOE, 四边形ODBE的面积=SBOC= SABC= 4 = , 故正确;,作OHDE,则DH=EH, DOE=120,ODE=OEH=30, OH= OE,HE= OH= OE,DE= OE, SODE= OE OE= OE2, 即SODE随着OE的变化而变化, 而四边形ODBE的面积为定值,SODESBDE,故错误;,BD=CE, BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+ OE, 当OEBC时,OE最小,此时BDE的
39、周长最小,即OE= , BDE周长的最小值为4+2=6,故正确.故选C.,思路分析 连接OB、OC,利用等边三角形的性质得ABO=OBC=OCB=30,再证明BOD=COE,得 出BODCOE,可得OD=OE,SBOD=SCOE,即可得四边形ODBE的面积为 SABC= ,故正确;作OH DE,则DH=EH,计算出SODE= OE2,可得SODE随着OE的变化而变化,而四边形ODBE的面积为定值,即可 判断错误;BDE的周长=4+ OE,当OEBC时,OE最小,此时BDE的周长最小,计算出此时OE的长,对 进行判断.,7.(2019保定一模,16)如图,ABC中,ACB=90,AC=BC,点G
40、为AC的中点,连接BG.CEBG于F,交AB于E,连 接GE.点H为AB的中点,连接FH.以下结论:ACE=ABG;AGE=CGB;若AB=10 ,则BF=4 ; FH平分BFE;SBGC=3SCGE.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 如图,作APAC交CE的延长线于P,连接CH. CEBG,CFB=ACB=90, ACE+BCE=90,CBG+BCE=90,ACE=CBG, BG是ABC的中线,ABBC,ABGCBG, ACEABG,故错误; ACP=CBG,AC=BC,CAP=BCG=90,CAPBCG(ASA), CG=PA=AG,BGC=P,ACB
41、=90,AC=BC,EAG=EAP=45, 又AG=AP,AE=AE,EAGEAP(SAS), AGE=P,AGE=CGB,故正确; AB=10 ,ABC是等腰直角三角形,AC=BC=10,AG=CG=5, BG= =5 , CGCB= CFBG,CF=2 ,BF= =4 ,故正确; CA=CB,ACB=90,AH=HB,BCH=ACH=45, CFB=CHB=90,C,F,H,B四点共圆,HFB=BCH=45, EFH=HFB=45,FH平分BFE,故正确; AG=GC,SCGE=SAEG, AEGAEP,SAEG=SAEP,SGCE= SACP, CAPCBG,SACP=SCBG,SBGC
42、=3SCGE,故正确.故选D.,二、解答题(共30分) 8.(2019保定高阳模拟,21)如图,点D是等边ABC的边AB上一动点,以CD为一边向上作等边EDC,连接AE. (1)求证:BCDACE; (2)在点D的运动过程中,你认为DAE的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求DAE的值.,解析 (1)证明:ABC和EDC是等边三角形, BC=AC,B=ACB=BAC=DCE=60,CD=CE, BCD=ACE, 在BCD和ACE中, BCDACE(SAS). (2)不发生变化,DAE=120.理由如下: 由(1)知BCDACE, DBC=EAC=60,DAE=BAC+CAE=120.,
43、思路分析 (1)根据等边三角形的性质得出BC=AC,CD=CE,ACB=DCE=60,从而得出BCD=ACE, 利用SAS判定BCDACE.(2)根据全等三角形的对应角相等得到DBC=EAC=60,即可得出DAE =BAC+CAE=120.,9.(2019张家口桥东一模改编)如图,在ABC中,AB=CB,ABC=90,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且 BE=BD,连接AE,DE,DC. (1)求证:ABECBD; (2)若CAE=30,求BDC的度数; (3)若点E在BC边所在射线上,且BE=BD=2AB,求AE与CD所在直线的夹角;若ABC的面积是1,连接DE,求 ADE的面积.,解析 (1)证明:在ABE与CBD中, ABECBD. (2)AB=CB,ABC=90,ACB=45,而EAC=30, AEB=45+30=75. ABECBD,BDC=AEB=75. (3)如图,类似(1)中的方法,同理可证ABECBD, BDC=BEA. BEA+BAE=90,BDC+BAE=90, AFD=90, 即AE与CD所在直线的夹角为90., ABBC=1,AB=BC, AB= ,BE=BD=2 , SADE=SABE+SBDE= 2 + 2
