1、一、与圆相关的翻折问题 (2017邯郸一模,25)如图1,已知以AE为直径的半圆圆心为O,半径为5,矩形ABCD的顶点B在直径AE上,顶点C 在半圆上,AB=8,点P为半圆上一点. (1)矩形ABCD的边BC的长为 ; (2)将矩形沿直线AP折叠,使点B落在点B处. 点B 到直线AE的最大距离是 ; 当点P与点C重合时,如图2所示,AB交DC于点M,求证:四边形AOCM是菱形,并通过证明判断CB与半圆的 位置关系; 当EBBD时,直接写出EB的长.,图1 图2,解析 (1)4. 连接OC,OB=8-5=3,OC=5,BC= =4. (2)8. (提示:当ABAE时,点B到直线AE的距离最大,最
2、大距离是8.) 证明:由折叠可知OAC=MAC. OA=OC,OAC=OCA, OCA=MAC,OCAM, 又CMOA,四边形AOCM是平行四边形, 又OA=OC,AOCM是菱形. 结论:CB与半圆相切. 证明:由折叠可知ABC=ABC=90.,OCAM,ABC+BCO=180, BCO=90,CBOC, OC为半圆的半径,CB与半圆相切. 4 +2 或4 -2 . 提示:过点B作BGAE. 若EBBD,则有ABD=AEB.,tanABD= = = ,tanAEB= = . 设BG=x,EG=2x,则AG=10-2x. 在RtABG中,AB2=AG2+BG2,82=(10-2x)2+x2, 解
3、得x=4 ,EB= = x=4 2 .,二、与圆相关的旋转问题 1.(2019保定定兴一模,25)如图1,四边形ABCD是正方形,且AB=8,点O与点B重合,以O为圆心,作半径长为5的 半圆O,交BC于点E,交AB于点F,交AB延长线于点G,M是半圆O上任一点. 发现:AM的最大值为 ,S阴影= . 如图2,将半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为(0180). 思考:(1)若点C落在半圆O的直径GF上,求圆心O到AB的距离; (2)若=90,求半圆O落在正方形内部的弧长; 探究:在旋转过程中,若半圆O与正方形的边相切,求点A到切点的距离. 注:sin 37= ,sin 53= ,tan 37= .
4、,解析 发现:当点M与点G重合时,AM的值最大,最大值为8+5=13,观察题图1可知,S阴影=S正方形ABCD=AB2=64. 思考:(1)如图,过O作OQAB于Q, 四边形ABCD是正方形,ABC=90,OQBC, = , CF= = , = OQ= . 圆心O到AB的距离为 .,(2)如图,设半圆B交AD于N,连接ON,过O作OHAD于H, 四边形ABCD是正方形,DAB=90, 半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为90,OFA=90, 四边形HAFO是矩形, OH=AF=AB-BF=3,AHOF, sinHNO= = ,HNO=37,NOF=HNO=37,半圆O落在正方形内部的弧长l = 5
5、= = . 探究:由思考(2)得当半圆O与AB相切时,切点为F, A到切点的距离为AF=3. 当半圆O与CD相切时,如图,设切点为R,连接OR,并延长RO交AB于T,连接AR, ORC=90, DCAB,OTF=90,四边形RCBT是矩形, RT=CB=8,OT=8-5=3,FT= =4,AT=AB-BT=AB-(BF-FT)=7, AR= = = . 当半圆O与AD相切时,如图,设切点为P,连接OP,过F点作FSPO,易得四边形PAFS是矩形, PS=AF=3,AP=SF,又OS=OP-PS=2, SF= = ,AP= . 综上,点A到切点的距离为3或 或 .,思路分析 发现:当点M与点G重
6、合时,AM的值最大,最大值为8+5=13,观察题图1可知S阴影=S正方形ABCD. 思考:(1)过O作OQAB于Q,由OQBC,可得 = ,由此得出结果; (2)设半圆交AD于N,连接ON,过O作OHAD于H,OH=AF=AB-BF=3,根据三角函数求出HNO=37,即可解 决问题. 探究:分三种情形讨论求解即可.,2.(2018保定竞秀一模,25)已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图1),将 半圆O绕点A顺时针旋转度(0180). (1)当半圆的直径落在对角线AC上时,如图2所示,半圆与AB的交点为M,求AM的长; (2)当半圆与直线CD相切时
7、,切点为N,与线段AD的交点为P,如图3所示,求劣弧AP的长; (3)在旋转过程中,当半圆弧与直线CD只有一个交点时,设此交点与点C的距离为d,直接写出d的取值范围.,解析 (1)如图,连接BM, 图 在RtABC中,AB=4,BC=3, AC= =5, AB为直径,AMB=90. AMB=ABC=90,BAM=CAB, ABCAMB. = , = ,AM= . (2)如图,连接NO并延长交BA的延长线于点Q,连接OP.,图 半圆弧与直线CD相切于点N, ONCN,NQ=AD=3,ON=2,OQ=1. 在RtOAQ中,sinOAQ= = , OAQ=30,PAO=60, 又OA=OP,APO为
8、等边三角形,AOP=60, 的长度= = . (3)4- d4或d=4+ . 详解:当B第一次落在CD上时(如图), 半圆弧开始与直线CD有交点. 此时AD=3,AB=AB=4, DB= = ,CB=d=4- . 从图开始半圆弧与直线CD有一个交点,当点B第二次落在直线CD上时(如图), 半圆弧开始与直线CD有两个交点. 此时半圆弧与直线CD的交点与点D重合并且出现第二个交点,即d=4. 当半圆弧与直线CD相切时(如图),半圆弧与直线CD只有一个交点, 此时,AQ=DN= ,CN=4+ . d的取值范围是4- d4或d=4+ .,思路分析 (1)利用圆周角定理和相似三角形的性质引出含有AM的等
9、式得解.(2)利用切线的性质先求得 OQ的长,进而得出OAQ和PAO的大小,最后利用弧长公式求出 的长.(3)弄清半圆弧与直线CD的交点 情况的界点即可得d的取值范围.,三、与圆相关的平移与滚动问题 1.(2019石家庄质检,26)如图1,点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上,以点O为圆心,以24为半径作半圆,分别 交直线l于A,B两点,已知CD=18,CF=24,矩形自右向左在直线l上平移,当点D到达点A时,矩形停止运动.在平 移过程中,设矩形对角线DF与半圆 的交点为P(点P为半圆上远离点B的交点). (1)如图2,若FD与半圆 相切,求OD的值; (2)如图3,当DF与半圆 有两个交点
10、时,求线段PD的取值范围; (3)若线段PD的长为20,直接写出此时OD的值.,图1,图2,图3,解析 (1)如图,连接OP, FD与半圆相切,OPFD,OPD=90, 在矩形CDEF中,FCD=90, CD=18,CF=24,根据勾股定理,得 FD= = =30. (2分) 在OPD和FCD中,OPDFCD. OD=DF=30. (5分) (2)如图,当点B与点D重合时, 过点O作OHDF于点H,则DP=2HD,cosODP= = , 且CD=18,OD=24,由(1)知DF=30, = ,DH= , DP=2HD= , 当FD与半圆相切时,由(1)知PD=CD=18, 18PD . (9分
11、) (3)8 +12. (11分) 理由:设半圆与矩形对角线交于点P、H,连接OP,OH,过点O作OGDF,则PG=GH,tanFDC= = ,则cosFDC= , 设PG=GH=m,则OG= ,DG=20-m, tanFDC= = = , 整理得25m2-640m+1 216=0, 解得m= ,OD= = =12+8 或12-8 (舍去).,难点突破 本题是以平移为背景的探究题,在图形发生变化时,要善于从动态位置中寻找不变的关系. FDC的三角函数值的确定是解决问题的关键.,2.(2017邢台模拟,25)如图,A=45,ABC=60,ABMN,BHMN 于点H,BH=8,点C 在MN上,点D
12、在AC上, DEMN于点E,半圆的圆心为点O,直径DE=6,G为 的中点,F是 上的动点. 发现: CF的最小值是 ,CF的最大值为 . 探究: 沿直线MN 向右平移半圆. (1)当G落在ABC的边上时,求半圆与ABC重合部分的面积; (2)当点E与点H重合时,求半圆在BC上截得的线段长; (3)当半圆与ABC的边相切时,求CE的长.,解析 发现:如图1, 图1 当F与E重合时,CF的最小值为CE的长=6. 当CF经过圆心时,CF的长最大, 最大值=OC+OF= +3=3 +3.,探究:(1)如图2,当点G落在AC边上时,点E与C重合,连接OG, 图2 G为 的中点,则DOG=GOC=90,半
13、圆与ABC重合部分的面积=扇形ODG的面积+OCG的面积 = 32+ 33= + .,如图3,当点G落在BC上时, 图3 OGMN,BGO=BCE=60,设BC与半圆相交的另一个点为S,连接OS, OS=OG,OSG是等边三角形,半圆与ABC重叠部分的面积=扇形OGS的面积-OGS的面积= 32- 32= - . 综上,当G落在ABC的边上时,半圆与ABC重合部分的面积为 + 或 - . (2)点E与H重合时,BH=8,OE=3,BO=5,设BC交半圆于R、T,作OPRT于点P,则PT=PR,图4,CBE=30,OP= , 连接OR,则RP= = ,RT=2PR= . (3)如图5,当半圆与A
14、C相切时,设切点为K,则CK=CE,作KUDE于U,图5,KOE=45,OK=3,KU=OU= ,EU=3- , 作KLMN于L,可得KL=EU, KCL=45,CK=CE= KL= EU=3 -3. 如图6,当半圆与BC相切时,设切点为W,连接OW,则CE=CW,OCE=OCW=30,图6 OE=3,tan 30= ,CE=3 . 当半圆与ABC的边相切时,CE=3 -3或3 .,思路分析 发现:当F与E重合时,CF的最小值为CE的长.当CF经过圆心时,CF的长最大.探究:(1)分两种 情形,当点G落在AC边上时,点E与C重合,半圆与ABC重合部分的面积=扇形ODG的面积+OCG的面积; 当
15、点G落在BC上时,重叠部分的面积=扇形OGS的面积-OGS的面积.(2)点E与H重合时,BH=8,OE=3,BO=5, 作OPRT于点P,先求出OP的长,然后利用勾股定理求得PR的长,即可求出RT的长.(3)当半圆与AC相切 时,设切点为K,则CK=CE,作KUDE于U,根据CK= EU得解;当半圆与BC相切时,设切点为W,连接OW, 则CE=CW,在RtCOE中,解直角三角形即可.,教师专用题组 一、与圆相关的翻折问题 如图,扇形OAB的半径为4,AOB=90,P是半径OB上一动点,Q是弧AB上的一动点. (1)当P是OB的中点,且PQOA时(如图1),弧AQ的长为 ; (2)将扇形OAB沿
16、PQ对折,使折叠后的弧QB恰好与半径OA相切于C点(如图2).若OP=3,则O到折痕PQ的距 离为 .,解析 (1) .如图,连接OQ,P是OB的中点,OB=4,OP=2, PQOA,BPQ=AOB=90, OP= OQ,1=30,2=1=30, 弧AQ的长= = . (2) .如图,找点O关于PQ的对称点O,连接OO、OB、OC、OP,设OO与PQ交于点M, 则OM=OM,OOPQ,OP=OP=3,点O是 所在圆的圆心, OC=OB=4, 折叠后的弧QB恰好与半径OA相切于C点,OCAO,OCOB,四边形OCOB是矩形, 在RtOBP中,OB= =2 , 在RtOCO中,OO= =2 , O
17、M= OO= 2 = , 即O到折痕PQ的距离为 .,二、与圆相关的旋转问题 1.(2017石家庄正定二模,26)如图,正方形ABCD的边长是5,圆D的半径是3,在圆D上任取一点P,连接AP,将AP 顺时针旋转90到AP,连接BP. 发现:无论点P在圆D上的什么位置,BP的大小不变,BP的长是 . 思考:(1)APD的最大面积是 ; (2)点P与P之间的最小距离是 ; (3)当点P与点B之间的距离最大时,CBP的度数是 . 探究:当AP与圆D相切时,求CDP的面积.,解析 发现: 连接DP,如图所示: 由旋转的性质得AP=AP,PAP=90,四边形ABCD是正方形,BC=AB=AD=5,BAD
18、=90, BAD-DAP=PAP-DAP,即BAP=DAP, 在ABP和ADP中, ABPADP(SAS),BP=DP=3. 思考:,(1)7.5.当PDAD时,如图所示: APD的最大面积= 53=7.5. (2)2 .当P在AD上时,PP最小,此时P在AB上,AP=AP=5-3=2, PAP=90,PP= =2 . (3)45.当点P在射线BD上时,如图所示:,点P与点B之间的距离最大, 此时ABP=ADP=180-45=135, CBP=135-90=45. 探究: 分两种情况:如图所示, 连接DP、DP、CP,过点P作AB的垂线,交AB于F,交CD于E, 则EFCD,EF=BC=5,
19、AP是圆D的切线,APD=90,ABPADP, APB=APD=90,AP=AP= =4, 在RtABP中,PF= = ,PE=5- = , CDP的面积= 5 = ; 如图所示,连接DP、DP、CP,过点P作AB的垂线,交AB于F,交CD于E, 同理得PF= = ,PE=5+ = ,CDP的面积= 5 = . 综上所述,当AP与圆D相切时,CDP的面积为 或 .,思路分析 发现:连接DP,由旋转的性质和正方形的性质得出ABPADP,进而可得BP=DP=3.思考:(1) 当PDAD时,APD的最大面积= 53=7.5.(2)当P在AD上时,PP最小.(3)当点P在射线BD上时,点P与点B 之间
20、的距离最大,此时ABP=ADP=135,CBP=45. 探究:分两种情况:在AD上方和AD下方连接DP、DP、CP,过点P作AB的垂线,交AB于F,交CD于E,先由勾 股定理得出AP=AP= =4,再求出PF= ,进而得出PE= 或PE= ,即可求出CDP的面积.,2.(2017秦皇岛海港二模,25)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点O在AB的延长线上,OB=2 ,AOE=60.动点 P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线OE方向运动,以P为圆心,OP为半径作P.设P的运动时间为 t秒. (1)BOC= ,PA的最小值是 ; (2)当P过点C时,求P与线段OA围成的封闭图形的面
21、积; (3)当P与矩形ABCD的边所在直线相切时,求t的值.,解析 (1)30;2 +3.如图1, 图1 四边形ABCD是矩形, ABC=90,OBC=90, tanBOC= = = ,BOC=30. 当APOP时,PA的值最小, OA=AB+OB=4+2 ,在RtAOP中,AOE=60,sin 60= , AP= (4+2 )=2 +3. 故PA的最小值是2 +3. (2)如图2,由题意得OP=r=2t, 图2 设P与OA的另一个交点为M,连接PC、PM,则PC=PM=PO=r=2t, POC=PCO=BOP-BOC=60-30=30, BCO=90-BOC=90-30=60, PCB=BC
22、O+PCO=60+30=90, 即PCBC(此时直线BC与P相切), 过点P作PNOM于N,PNB=NBC=BCP=90, 四边形PCBN是矩形,BN=PC=2t, NOP=60,在RtPNO中,OPN=30, ON= OP=t, BN+ON=BO,2t+t=2 , t= ,r= , 当t= 时,P经过点C,POM=60且PO=PM,POM是等边三角形, OM=2ON=2t= ,PN= t=2, S小弓形OM=S扇形POM-SPOM, S小弓形OM= - 2= - , S大弓形OM=S圆P-S小弓形OM= - = + . 故P与线段OA围成的封闭图形的面积为 - 或 + . (3)由(2)可知
23、当P与矩形ABCD的边BC所在的直线相切时,t= ; 当P与矩形ABCD的边AD所在的直线相切时,如图3,图3 过P作PFAD于F,过P作PNAO于N, AN=FP=r=2t,ON= OP=t, AN+NO=AO, 2t+t=2 +4,t= ;,当P与矩形ABCD的边CD所在的直线相切时,如图4, 图4 过P作PMDC于M,交OA于H,则PM=OP=2t, PH= t, PM+PH=BC,2t+ t=2,t=4-2 , 综上所述,当P与矩形ABCD的边所在直线相切时,t的值是 或 或4-2 .,思路分析 (1)在直角OBC中,先求BOC的度数;根据垂线段最短可知:当APOP时,PA的值最小,根
24、据三 角函数可求AP的最小值.(2)过点P作PNOM,可得矩形PCBN,等边三角形POM,P与线段OA围成的封闭 图形是大弓形OM或小弓形OM,利用扇形面积公式、三角形面积公式可得结论.(3)分三种情况:当P与 矩形ABCD的边BC所在的直线相切时,是第(2)问中的情况,此时t= ;当P与矩形ABCD的边AD所在的 直线相切时,根据AN+NO=AO列式可得t的值;当P与矩形ABCD的边CD所在的直线相切时,根据PM+PH =BC列式可得t的值.,3.(2017保定莲池一模,25)在等边AOB中,将扇形COD按图1摆放,使其半径OC、OD分别与OA、OB重合, OA=OB=2,OC=OD=1,等
25、边三角形AOB不动,让扇形COD绕点O逆时针旋转,线段AC、BD也随之变化,设旋 转角为(0360).,(1)当OCAB时,旋转角= ; (2)发现:线段AC与BD有何数量关系?请根据图2给出证明; (3)应用:当A、C、D三点共线时,求BD的长; (4)拓展:P是线段AB上任意一点,在扇形COD的旋转过程中,请直接写出PC的最大值与最小值.,解析 (1)60或240. (2)AC=BD. 证明:AOB为等边三角形, AOB=COD=60,AO=OB, 又AOC=60-AOD,BOD=60-AOD, AOC=BOD, 在AOC与BOD中, AOCBOD(SAS), AC=BD. (3)当A、D
26、、C三点顺次共线时,如图, 连接CD,过点O作OECD,垂足为E,易知COD为等边三角形,OC=OD=1, CE=DE= ,OE= , 在RtAOE中,AE= = = , AC=AE+CE= + . AC=BD,BD= + . 当A、C、D三点顺次共线时,如图,由上述方法可知,此时BD=AC= - . (4)PC的最大值为3,最小值为 -1. 提示:在旋转过程中,点C在以点O为圆心,OC为半径的圆上,当点A、O、C顺次共线,且点P与点A重合时,PC 取最大值,为3;当点P位于AB的中点,且点O、C、P顺次共线时,PC取最小值,为 -1.),三、与圆相关的平移与滚动问题 1.(2018秦皇岛海港
27、一模,25)如图,在等边ABC中,AB=3,点O在AB的延长线上,OA=6,且AOE=30.动点P从 点O出发,以每秒 个单位的速度沿射线OE方向运动,以P为圆心,OP为半径作P,同时点Q从点B出发,以 每秒1个单位的速度沿折线B-C-A向点A运动,Q与A重合时,P,Q同时停止运动.设P的运动时间为t秒. (1)当POB是直角三角形时,求t的值; (2)当P过点C时,求P与线段OA圆成的封闭图形的面积; (3)当P与ABC的边所在直线相切时,求t的值; (4)当线段OQ与P只有一个公共点时,直接写出t的取值范围.,解析 (1)连接OC,ABC=60,OB=BC, AOC=BCO=30, OE经
28、过点C,ACO=90, 当PBO=90时,OP= =2 (如图1). 图1,t= =2. 当BPO=90时,OP=OBcos 30= (如图2). 图2 t= = .,当t= 或t=2时,POB是直角三角形. (2)当点P运动到OC中点时,P过点C,设P交OA于点F, 图3 PO=PF,POF=PFO=30, OPF=120,又PO= ,OF= ,点P到OF的距离为 . S弓形=S扇形OPF-SOPF= - = - 或S弓形=S扇形OCF+SOPF= + = + . (3)P不可能与AB所在直线相切. 当P与AC所在直线相切时,切点为点C(如图4).,图4,ACO=90, 当点P运动到OC中点
29、时,P与AC边所在直线相切, 此时t= . 当P与BC的边所在直线相切时,切点为点B(如图5).,图5,PBC=90,PB=OP=PCsin 30= PC,OP= . 此时t=1,当t=1或t= 时,P与ABC的边所在直线相切. (4)t的取值范围是 t6. 详解:开始运动后,OQ与P有两个公共点,一直到P过点Q(如图6).,图6,从这个时刻后一直到停止运动, OQ与P只有一个公共点. OP= t,OC=3 ,BQ=t,BC=3. = ,PQOB. QPC=BOC=30, QPC=OCB=30, PQ=CQ, t=3-t,解得t= . t的取值范围为 t6.,2.(2017石家庄模拟,25)如
30、图,ABC中,ACB=90,ABC=45,BC=12 cm,半圆O的直径DE=12 cm,点E与点 C重合,半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x (s),半圆O与ABC重叠部分的面积为S(cm2). (1)当x= (s)时,点O与线段BC的中点重合; (2)在(1)的条件下,求半圆O与ABC的重叠部分的面积S; (3)当x为何值时,半圆O所在的圆与ABC的边所在的直线相切?,解析 (1)如图1,当点O在AB的中点时,x= =6 s. 图1 (2)如图1,设O与AB交于点H,连接OH,CH. BC是直径,CHB=90, AC=BC,
31、ACB=90,HBC=HCB=45,HC=HB, OHBC,OH=OB=OC=6 cm, S=S扇形OHC+SOHB= 62+ 66=(18+9)cm2.,(3)如图2,当O与边AB所在的直线相切时(点O在点B左侧),易知OH=BH=6 cm,OB=6 cm,OC=(12-6 )cm, x= =(9-3 )s. 图2 如图3,当O与边AB所在的直线相切时(点O在点B右侧),易知OH=BH=6 cm, OB=6 cm,OC=(12+6 )cm, x= =(9+3 )s.,图3 如图1,x=6 s时,O与AC所在的直线相切. 易知当x=0 s时,O与AC所在的直线相切.综上所述,当x=0 s或(9
32、-3 )s或6 s或(9+3 )s时,半圆O所在的圆 与ABC的边所在的直线相切.,3.(2016石家庄二模,26)如图1,已知点A(0,9),B(24,9),C(22+3 ,0),半圆P的直径MN=6 ,且P、A 重合时,点 M、N在AB上,过点C的直线l与x轴的夹角为60.现点P从A出发以每秒1个单位长度的速度向B运动,与此同 时,半圆P以每秒15的速度绕点P顺时针旋转,直线l以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向运动(与x轴的交 点为Q).当P、B重合时,半圆P与直线l停止运动.设点P的运动时间为t秒. 【发现】 (1)点N距x轴的最近距离为 ,此时,PA的长为 ; (2)t=9时,MN所
33、在直线是否经过原点?请说明理由; (3)如图2,当点P在直线l上时,求直线l分半圆P所成两部分的面积比. 【拓展】 如图3,当半圆P在直线l左侧,且与直线l相切时,求点P的坐标. 【探究】 求出直线l与半圆P有公共点的时间有多长.,解析 【发现】 (1)9-3 ;6.当PNy 轴,且N在AB下方时,点N距x轴最近, A(0,9),OA=9, MN=6 ,PN= MN=3 , 点N距x轴的最近距离为9-3 ,此时APN=90, t= =6,PA的长为6. (2)MN所在直线经过原点, 理由:当t=9时,APN=180-915=45,AP=91=9, 设此时直线MN交y轴于点D,则AD=APtan
34、 45=91=9, 又OA=9,所以点D与点O重合,即MN所在直线经过原点. (3)如图,当点P在直线l上时,过点P作PHx轴,垂足为H,OQ=OH+QH=AP+ =t+ =3 +t,CQ=t, OQ+CQ=3 +t+t=OC=22+3 ,得t=11, 此时,APN=180-1115=15, NPQ=180-15-60=105, MPQ=180-105=75,S左S右=10575=75. 【拓展】 如图,设直线l与AB交于点E,与半圆P相切于点T,连接PT,则PT=3 ,PE= = =6,AE=AP+PE=t+6, 过点E作EFx轴,垂足为F, 则OQ=OF+FQ=AE+ =(t+6)+ =6
35、+3 +t, 又CQ=t,OQ+CQ=6+3 +t+t=OC=22+3 ,得t=8,此时,点P的坐标为(8,9). 【探究】 当半圆P在直线l右侧,且与直线l相切时,如图所示, 设直线l与AB交于点G,与半圆P相切于点R,连接PR,则PR=3 ,PG= = =6,AG=AP-PG=t-6, 过点G作GJx轴,垂足为J, 则OQ=OJ+JQ=AG+ =(t-6)+ =3 -6+t, 又CQ=t,OQ+CQ=3 -6+t+t=OC=22+3 ,得t=14, 则直线l与半圆P有公共点的时间为14-8=6秒.,思路分析 【发现】(1)当PNy轴,且N在AB下方时,点N距x轴最近,易得PN= MN=3
36、,点N距x轴的最近 距离为9-3 ,此时APN=90,求得t= =6,所以PA的长为6;(2)当t=9时,得到APN=180-915=45,AP=9 1=9,然后求出直线MN与y轴的交点到点A的距离,再与OA的长比较,即可判断MN所在直线经过原点;(3)当 点P在直线l上时,过点P作PHx轴,垂足为H,用t表示出OC的长,即可求出t的值,然后求出NPQ与MPQ的 大小,即可得到直线l分半圆P所成两部分的面积比. 【拓展】设直线l与AB交于点E,与半圆P相切于点T,连接PT,易知PT=3 ,AE=AP+PE=t+6,过点E作EFx 轴,垂足为F,求得OQ=6+3 +t,构建方程,求得t的值.即得点P的坐标. 【探究】设直线l与AB交于点G,与半圆P相切于点R,连接PR,易得PR=3 ,AG=AP-PG=t-6,过点G作GJx 轴,垂足为J,构建方程,求得t的值,得出结论.,
