1、1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,A组 河南中考题组,答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得 故选B.,一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x= =1,即 =1,b=2,n=-(-2)2+ 2(-2)+4=-4.,2.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .,答案 (1,4),解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中, 得 解得
2、 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, 该抛物线的顶点坐标为(1,4).,3.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .,答案 y2y1y3,解析 解法一:A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上, y1=3,y2=5-4 ,y3=15. 5-4 0,y2y1y3.,4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- x-2经过
3、点A,C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m. 当PCM是直角三角形时,求点P的坐标; 作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线l,使点M,B,B到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛 物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示),解析 (1)直线y=- x-2交x轴于点A,交y轴于点C, A(-4,0),C(0,-2). 抛物线y=ax2+ x+c经过点A,C, 抛物线的解析式为y= x2+ x-2. (3分) (2)点P的横坐标为m,点P的坐标为 . 当PC
4、M是直角三角形时,有以下两种情况: (i)当CPM=90时,PCx轴, m2+ m-2=-2. 解得m1=0(舍去),m2=-2. 点P的坐标为(-2,-2). (5分),(ii)当PCM=90时,过点P作PNy轴于点N, CNP=AOC=90. NCP+ACO=OAC+ACO=90, NCP=OAC.CNPAOC. = . C(0,-2),N ,CN= m2+ m,PN=m. 即 = , 解得m3=0(舍去),m4=6. 当m=6时, m2+ m-2=10, 点P的坐标为(6,10). 综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分),y=x- m-2或y= x-2或y= x-
5、2. (11分) 提示:满足条件的直线l即MBB的三条中位线所在的直线. 当y=0时, x2+ x-2=0,解得x1=-4,x2=2, 点B的坐标为(2,0). 点C的坐标为(0,-2),点B,B关于点C对称, 点B的坐标为(-2,-4). 点P的横坐标为m(m0), 点M的坐标为 . 利用待定系数法可求出直线BB的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线BM的解析式 为y= x- . 分三种情况考虑:,当直线lBB且过线段CM的中点N 时,直线l的解析式为y=x- m-2; 当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2; 当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y
6、= x-2. 综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.,思路分析 (1)由直线y=- x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ x+c中,求得抛物线的解析式;(2) 当PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当CPM=90时,由PCx轴,得 m2+ m-2=-2,可求得P(-2,- 2);(ii)当PCM=90时,作PNy轴于点N,易证CNPAOC, = ,可求得P(6,10).由题意知,直线l 是MBB的三条中位线所在的直线,当点B,B在l同侧时,l过CM的中点与BB平行,当点B,B在l异侧时,l过点C 与BM平行或与BM平行,计算可得l
7、的解析式.,5.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. 当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; 连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.,解析 (1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C, B(5,0),C(0,-5), 抛物线y=ax2+6x+c过点B,C, 抛物线的解析式为y=-x2+
8、6x-5. (3分) (2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45. 抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点, A(1,0).AB=4.AMBC,AM=2 . PQAM,PQBC. 若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=2 . 过点P作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ=45. PD= PQ=4. (5分),思路分析 (1)求出直线y=x-5与坐标轴的两个交点B,C的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;(2) BOC是等腰直角三角形,得ABC=45,求得AM=2 ,以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,得PQ= AM=2 ,过点P作PDx轴交BC于D
9、,易得PD=4,设出点P的坐标,则|yP-yD|=4,分类讨论,解方程求出点P的坐 标;(3)作线段AC的垂直平分线,交BC于点M1,易得AM1B=2ACB,作ANBC于点N,作点M1关于直线AN的 对称点M2,则AM2C=2ACB,分别计算求出两个符合题意的点M的坐标.,疑难突破 本题为二次函数的综合题,考查知识点较多,难度大.第(1)问是常见的用待定系数法求抛物线的 解析式;第(2)问要用“铅锤法”由PQ的长得出PD的长,设出点P的坐标,根据PD=4,分类讨论列出方程,解方 程求出点P的坐标;第(3)问找使直线AM与BC夹角为2ACB的交点M,依据是“等腰三角形顶角的外角等于 2倍的底角”
10、,作AC的垂直平分线确定点M1,得AM1B=2ACB,由等腰三角形两底角AM2C=AM1B,用对 称性确定点M2,分别计算可以求出两个符合题意的点M的坐标.,6.(2017河南,23,11分)如图,直线y=- x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=- x2+bx+c经过点A,B. (1)求点B的坐标和抛物线的解析式; (2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N. 点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标; 点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合
11、除外),则称M,P, N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.,解析 (1)直线y=- x+c与x轴交于点A(3,0), - 3+c=0,c=2. B(0,2). (1分) 抛物线y=- x2+bx+c过点A(3,0), - 32+3b+2=0,b= . 抛物线的解析式为y=- x2+ x+2. (3分) (2)MNx轴,M(m,0),N . 由(1)知直线AB的解析式为y=- x+2,OA=3,OB=2. 在APM和BPN中,APM=BPN,AMP=90, 若使BPN和APM相似,则需NBP=90或BNP=90.,分如下两种情况讨论: (i)当NBP=90时,
12、过点N作NCy轴于点C, 则NBC+BNC=90,NC=m,BC=- m2+ m+2-2=- m2+ m.NBP=90,NBC+ABO=90, ABO=BNC. RtNCBRtBOA. (5分) = , = ,解得m=0(舍去)或m= . M . (6分),(ii)当BNP=90时,BNNM.点N的纵坐标为2. - m2+ m+2=2,m=0(舍去)或m= . M . 综上,点M的坐标为 或 . (8分) m=-1或m=- 或m= . (11分) 详解:由已知得M(m,0),N ,P .,令- x2+ x+2=0,得x1=3,x2=- . (i)当0m3时, MN=yN-yM=- m2+ m+
13、2, PM=yP-yM=- m+2, 此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM, - m2+ m+2=2 , 解得m1=3,m2= , 当m=3时,M、P、N重合,不符合题意,舍去.故m= . (ii)当- m0时,MN=- m2+ m+2,PM=- m+2, 此时只可能N是PM的中点,即PM=2MN,- m+2=2 , 解得m1=3(舍去),m2=- . (iii)当m3时,PM= m-2, MN= m2- m-2, 此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM, m2- m-2=2 , 解得m1= ,m2=3, m1= ,m2=3都不满足m3,舍去. 综上所述,m=-1或m=- 或m= .,失
14、分警示 1.第(2)问中分NBP=90和BNP=90两种情况求点M的坐标,分m3四种情况求m的值.做题时考虑不全面,易失分;2.在求线段长度时,一定要注意端点的位置和坐标的符 号.,7.(2016河南,23,11分)如图1,直线y=- x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y= x2+bx+c经过点A,交y轴 于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的横坐 标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)当BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长; (3)如图2,将BDP绕点B逆时针旋转,得到BDP,且旋转角PBP=OA
15、C,当点P的对应点P落在坐标轴 上时,请 点P的坐标.,解析 (1)由直线y=- x+n过点C(0,4),得n=4, 直线的解析式为y=- x+4. 当y=0时,0=- x+4,解得x=3, A(3,0). (1分) 抛物线y= x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2), 抛物线的解析式为y= x2- x-2. (3分),(2)点P的横坐标为m,P ,D(m,-2).(4分) 若BDP为等腰直角三角形,则PD=BD. 当点P在直线BD上方时,PD= m2- m. (i)若点P在y轴左侧,则m0,BD=m, m2- m=m,m3=0(舍去),m4= . (6分) 当点P在直线BD下方时,
16、m0,BD=m,PD=- m2+ m. - m2+ m=m,m5=0(舍去),m6= . (7分),综上,m= 或 . 即当BDP为等腰直角三角形时,PD的长为 或 . (8分) (3)P1 ,P2 ,P3 . (11分) 【提示】PBP=OAC,OA=3,OC=4,AC=5, sinPBP= ,cosPBP= . 当点P落在x轴上时,过点D作DNx轴,垂足为N,交BD于点M,DBD=NDP=PBP. 如图a,ND-MD=2,即 - =2. 解得m= (舍)或m=- .,当点P落在y轴上时,如图c,过点D作DMx轴,交BD于点M,过点P作PNy轴,交MD的延长线于点N, DBD=NDP=PBP
17、. PN=BM, = m, 解得m=0(舍去)或m= .P3 . 图c,评析 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,用点的坐标差值表示线段的长度,动点与定点所构成 的不定三角形的旋转等知识.分类讨论在本题中连续应用,而题目结论较多,容易丢解,造成丢分.本题为二次 函数的综合题,属难题.,思路分析 (1)根据直线过点C,确定点A的坐标,根据点A,B的坐标确定抛物线的解析式;(2)由BDP是等腰 直角三角形,判断出PD=BD,分类讨论,建立关于m的方程,求m,从而得出线段PD的长;(3)分点P落在x轴上和y 轴上两种情况计算.,8.(2015河南,23,11分)如图,边长为8的正方形OABC的两
18、边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P 是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PFBC于点F.点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD, PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD 与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”, 且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数,并求出PDE周长最小时“好点”的坐标
19、.,备用图,解析 (1)抛物线的解析式为y=- x2+8. (3分) (2)正确.理由: 设P ,则PF=8- = x2. (4分) 过点P作PMy轴于点M,则 PD2=PM2+DM2=(-x)2+ = x4+ x2+4= . PD= x2+2. (6分) PD-PF= x2+2- x2=2.猜想正确. (7分) (3)“好点”共有11个. (9分) 在点P运动时,DE大小不变,当PE与PD的和最小时,PDE的周长最小. PD-PF=2,PD=PF+2,PE+PD=PE+PF+2. 当P,E,F三点共线时,PE+PF最小. 此时点P,E的横坐标都为-4. 将x=-4代入y=- x2+8,得y=
20、6. P(-4,6),此时PDE的周长最小,且PDE的面积为12,点P恰为“好点”. PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6). (11分),思路分析 (1)根据点A、C的坐标求出抛物线的解析式; (2)设点P的坐标,表示PF的长,再构造直角三角形,表示出PD的长,从而求PD与PF的差; (3)运用(2)中的结论表示PE+PD,确定PDE的周长最小时“好点”的坐标.,解题关键 确定“好点”个数的关键在于PDE面积的表示,可以连接PO,则SPDE=SPEO+SPDO-SDOE,确定 SPDE为整数时点P的坐标.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 二次函数的概念 1.(2019山
21、西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径 为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型 钢拱的函数表达式为 ( ) 图1,图2 A.y= x2 B.y=- x2 C.y= x2 D.y=- x2,答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78
22、=a452,a=- , 抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B.,思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.,方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关 于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入 所设表达式,写出表达式.,2.(2015浙江绍兴,9,4分)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称 为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是
23、y=x2+1,则原抛物线的解析式不可能 是 ( ) A.y=x2-1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17,答案 B 因为抛物线y=x2-1可以向上平移两次得到y=x2+1,所以A可能.因为抛物线y=x2+4x+4=(x+2)2可以 先向右平移一次再向上平移一次得到y=x2+1,所以C可能.因为抛物线y=x2+8x+17=(x+4)2+1可以向右平移两 次得到y=x2+1,所以D可能.因为抛物线y=x2+6x+5=(x+3)2-4,所以经过任意两次简单变换都不能得到y=x2+1,故 选B.,3.(2018新疆乌鲁木齐,13,4分)把抛物线y=2x2-4x+3
24、向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .,答案 y=2x2+1,解析 易知y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,则把原抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2x2+1.,4.(2015浙江绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线. (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:y= 2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案; (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值 最小时的解析式.请你解
25、答.,解析 (1)不唯一,如y=x2-2x+2. (2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1, c=1-2b, 顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, 当b=1时,c+b2+1最小,抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1, 此时抛物线的解析式为y=-x2+2x.,考点二 二次函数的图象与性质 1.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则 y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2
26、y1 D.y2y3y1,答案 D |a|0,抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛物线的对称轴为直线x= . 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y3y1.故选D.,思路分析 由|a|0,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C关于 对称轴对称,由此得到对称轴为直线x= = .根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象,由图象 比较大小.,2.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值
27、的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项 B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值-3,选项D正确.故选D.,思路分析 根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,从而解答 本题.,解题关键 解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.,3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论: 该抛物线的对称轴在y轴左侧
28、;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0; 的最小值为 3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D ba0,- 0,且抛物线与x轴最多有一个交点, y0,当x=-1时,a-b+c0,正确; y0,当x=-2时,4a-2b+c0,即a+b+c3b-3a, 即a+b+c3(b-a), ba,b-a0, 3,正确.故选D.,4.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P, Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .,答案 a1或a-1
29、,解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y 轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,令y=x-a+10时,解得00时,若 有解,则a-10,解得a1; 当a1或a-1.,思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图 象过原点,结合图象知只需满足
30、直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出 关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足 有解,解之即可.,难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.,5.(2016四川南充,16,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y= 经过点(a,bc).给出下列 结论:bc0;b+c0;b,c是关于x的一元二次方程x2+(a-1)x+ =0的两个实数根;a-b-c3.其中正确的 结论是 (填写序号).,答案 ,解析 抛物线开口向上,a0.双曲线y= 经过点(a,bc),2abc=1,abc= 0,bc0,故
31、正确. 抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,1),a+b+c=1.当a1时,b+c 0,故错误. 方程x2+(a-1)x+ =0可化为x2-(b+c)x+bc=0, 解得x1=b,x2=c,故正确. b和c是方程x2+(a-1)x+ =0的两个实数根, b+c=-(a-1),bc= ,a-b-c=a-(b+c)=2a-1, 又a+b+c=1,故b+c=1-a1. 当-11-a1,即0a2时,有(b+c)21, 即b2+c2+2bc1,又b2+c22bc,4bc1, bc ,又bc= ,a2,矛盾,故a2, 2a-13,即a-b-c3,故正确. 故正确结论为.,6.(2019云南,21,8分)
32、已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.,解析 (1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴, x=- =0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2. (2分) 当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意. k=-3. (4分) (2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛
33、物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上, 当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5. (6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分),易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=- .(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二 者容易混淆,从而导致失分.,7.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积; (2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与
34、y轴相交 于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.,解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, A(-3,0),B(2,0). (2分) AB=5, 令x=0,得y=-6, C(0,-6), (3分) OC=6, SABC= ABOC= 56=15. (4分) (2)由题意,得AB=AB=5. 要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可. 设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. (7分) 又知,抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同, = , = , 解得m=7,n=1(n=1舍去)
35、. 抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6. (10分),思路分析 (1)令y=0,求得点A,点B坐标;令x=0,求得点C坐标,然后利用三角形面积公式求出ABC的面积; (2)将抛物线向左或向右平移,AB=AB,要使ABC和ABC的面积相等,则点C的坐标为(0,6)或(0,-6),然后 根据抛物线向左或向右平移顶点纵坐标不变,求出满足条件的抛物线的函数表达式.,考点三 二次函数的实际应用 1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一 部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位
36、:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).下图记 录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高 点时,水平距离为 ( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m,答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称 性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.057.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.,2.(2017辽宁沈阳,15,3分)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售 出400件.根据销售
37、经验,提高销售单价会导致销售量的减少,且销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.当 销售单价是 元时,才能在半月内获得最大利润.,答案 35,解析 设销售单价为x元,半月内的利润为y元,由题意知y=(x-20)400-20(x-30)=(x-20)(1 000-20x)=-20x2+1 4 00x-20 000=-20(x-35)2+4 500. -200,抛物线开口向下, 当x=35时,y取得最大值, 即销售单价是35元时,才能在半月内获得最大利润.,3.(2018辽宁沈阳,15,3分)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已 知篱笆的总长为900 m
38、(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.,答案 150,解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC, 又EFCD,四边形CDEF是平行四边形,EF=CD, 设AB=x m,则EF=CD=x m,篱笆总长为900 m,AD=BC= (0x300), S矩形ABCD=ABAD=x =- x2+450x,当x=- =150时,矩形土地ABCD的面积最大.,思路分析 篱笆由AB、EF、CD、AD、BC五段构成,由题意可得,AB=EF=CD,AD=BC,设AB=x m,则AD可 用含x的式子表示,从而矩形的面积也可用含x的式子表示,则利用矩形面积与
39、x之间存在的函数关系可求面 积最大值.,4.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销 售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数) 个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x之间的关系式; (2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试 问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?,解析 (1)设y=kx+b,把(1,7 000)和(5,5 000
40、)代入,得 解得 y与x之间的关系式为y=-500x+7 500. (2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=py= (-500x+7 500)=-250(x-7)2+16 000. -2500,当x=7时,w有最大值,此时y=-5007+7 500=4 000. 答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.,方法总结 用待定系数法可以求得函数解析式,用配方法可以求得二次函数的最值.,5.(2019内蒙古包头,23,10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、 旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 .据统计,淡季该
41、公司平均每天有10辆货车未租出, 日租金总收入为1 500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4 000元. (1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金是多少元? (2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑其 他因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?,解析 (1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆. 根据题意,得 = , 解得x=20. 经检验,x=20是所列方程的解. 1 500(20-10)=150(元). 答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日
42、租金是150元. (5分) (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为w元. 根据题意,得w= , w=- a2+10a+4 000,w=- (a-100)2+4 500.- 0,当a=100时,w有最大值. 答:当旺季每辆货车的日租金上涨100元时,该出租公司的日租金总收入最高. (10分),思路分析 (1)以淡季和旺季货车日租金的关系建立等量关系;(2)先根据题意列出货车出租公司的日租金 总收入w元与旺季每辆货车的日租金上涨a元的关系式,然后根据二次函数的性质求解.,6.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,
43、且不高于80元.经 市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本); (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多 少?,解析 (1)设y=kx+b(k0). 由题意,得 解得 所求函数表达式为y=-2x+200. (4分) (2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8 000. (7分) (3)W=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800,
44、其中40x80. -20, 当40x70时,W随x的增大而增大; 当70x80时,W随x的增大而减小; 当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1 800元. (12分),考点四 二次函数的综合 1.(2019四川成都,28,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛物 线的对称轴上,求点C和点D的坐标; (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直
45、线BP 的函数表达式.,解析 (1)由题意,得 解得 抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. (2)抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0), BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1. 设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H点的坐标为(1,0),BH=2. 由翻折得CB=CB=4. 在RtBHC中,由勾股定理,得CH= = =2 . 点C的坐标为(1,2 ),tanCBH= = = . CBH=60.,由翻折得DBH= CBH=30. 在RtBHD中,DH=BHtanDBH=2tan 30= . 点D的坐标为 . (3)取(2)中的点C,D,连接CC. BC=BC,CBC=60, CCB
46、为等边三角形. 分类讨论如下: 当点P在x轴上方时,点Q在x轴上方. 连接BQ,CP. PCQ,CCB为等边三角形, CQ=CP,BC=CC,PCQ=CCB=60.,BCQ=CCP.BCQCCP. BQ=CP. 点Q在抛物线的对称轴上,BQ=CQ. CP=CQ=CP. 又BC=BC, BP垂直平分CC. 由翻折可知BD垂直平分CC. 点D在直线BP上. 设直线BP的函数表达式为y=kx+b, 则 解得,直线BP的函数表达式为y= x+ . 当点P在x轴下方时,点Q在x轴下方. QCP,CCB为等边三角形, CP=CQ,BC=CC,CCB=QCP=CCB=60. BCP=CCQ. BCPCCQ.
47、CBP=CCQ. BC=CC,CHBC,CCQ= CCB=30, CBP=30. 设BP与y轴相交于点E. 在RtBOE中,OE=OBtanCBP=OBtan 30=1 = , 点E的坐标为 . 设直线BP的函数表达式为y=kx+b, 则 解得 直线BP的函数表达式为y=- x- .,综上所述,直线BP的函数表达式为y= x+ 或y=- x- .,思路分析 (1)把A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c中可以求得函数表达式;(2)由翻折得BC=BC=4,CBD= CBD.由勾股定理,解直角三角形可求得点C,D的坐标;(3)分情况讨论:当P,Q均在x轴上方时,依据条件证得 BCQCCP,再根据对称性得点D在直线BP上,用待定系数法求出直线BP的解析式;当P,Q均在x轴下 方时,设BP与y轴交于点E,先证得BCPCCQ,进而可求得CBP=30以及点E的坐标,再求出直线BP的 解析式.,2.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点. (1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标; (2)点D(b,
