1、(2016河南,22,10分) (1)发现 如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b. 填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示). 图1,A组 河南中考题组,(2)应用 点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE, 连接CD,BE. 请找出图中与BE相等的线段,并说明理由; 直接写出线段BE长的最大值. 图2 (3)拓展 如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB, BPM=90.请直接写
2、出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.,解析 (1)CB延长线上;a+b. (2分) (2)DC=BE.理由如下: ABD和ACE为等边三角形, AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60.,BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB. (5分) CADEAB.DC=BE. (6分) BE长的最大值是4. (8分) (3)AM的最大值为3+2 ,点P的坐标为(2- , ). (10分) 【提示】如图a,构造BNPMAP,则NB=AM.由(1)知,当点N在BA的延长线上时,NB取得最大值(如图b). 易得AN=2 ,AM=NB=3+2 .过点P作PEx轴于E,PE=AE= ,P(2- ,
3、 ).,思路分析 (1)当AC为线段AB与BC的和时,线段AC的长取得最大值. (2)依据条件判定CADEAB,得出DC=BE.当CD的长度等于BD+BC时,线段BE的长取得最大值. (3)类比第(2)问的图形,构造出全等三角形,结合等腰直角三角形的有关性质求解.,评析 本题属类比探究题,主要考查三角形的全等,等边三角形的性质.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 三角形的相关概念 1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5,答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,
4、任意两边之差小于第三边”,选 项A、B、D均不符合,故选C.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C =36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA= (180-40)=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA -C=34,故选C.,3.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已 知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为 ,则OAB内部(不含边界)的整点的个数
5、为 .,答案 4或5或6,解析 A(5,0),SOAB= ,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直 线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CDEFOA,CD= OA= ,EF= OA= ,线段CD可以覆盖1个或2个 整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.,4.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三
6、角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,5.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证:BAE+CBF+ACD=360. 证法1: , BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540. BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). , BAE+CBF+ACD=540-180=360. 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180; 1+2+3=180. 证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD. APBD,
7、 CBF=PAB,ACD=EAP. BAE+PAB+EAP=360, BAE+CBF+ACD=360.,考点二 三角形全等 1.(2018贵不州安顺,5,3分)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪 个条件仍能判定ABEACD ( ) A.B=C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD,答案 D 由题意可知,AB=AC,A为公共角. 选项A,添加B=C,利用ASA即可证明ABEACD; 选项B,添加AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项D,添加BE=
8、CD,因为SSA不能证明两三角形全等,所以选项D中的条件仍不能判定ABEACD.故选 D.,2.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:AC BD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO, BAO=DAO,AOB=AOD,AB=AD. AOB+AOD=180, AOB=90,ACBD,正确. AB=AD,BAC=DAC,AC=AC, ABCADC,正确. ABCADC,CB=CD,正确. 由条件得不到DA=DC,不正确.,3.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在
9、BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.,证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS),AF=DE.,4.(2019湖北武汉,18,8分)如图,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF交于点G,A=1,CEDF.求证:E=F.,证明 A=1,AEBF,E=2. CEDF,F=2.E=F.,5.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点 B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请
10、用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.,解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大. B=30,AB=6,x= AB= 6=3.,PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大
11、小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+ 120=150,即105AIC 150,所以m=105,n=150.,思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC, 可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105,n=150.,6.(2018云南昆明,
12、15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE. (1分) 在ABC和ADE中, (3分) ABCADE(ASA), (5分) BC=DE. (6分),7.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD,ABHDCG, AH=DG,AG=DH. (5分),归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、AS
13、A、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理. 当已知两边相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角相等时可考虑证夹边相等或一角的对 边相等.当已知角及邻边相等时可选用SAS、ASA或AAS.,思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,C组 教师专用题组 考点一 三角形的相关概念 1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( ),答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平分 线,选项C作了两条边的垂
14、直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂 直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.,2.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.11,答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,3.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 ( ) A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7,答案 C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形. 设一个三角形的三
15、边长分别为a,b,c,且ac2,则三角形为锐 角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形.32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C.,答案 A 由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线 上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,5.(2015广东广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三 角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为 ( ) A.10 B.14 C.10或14 D.8或10,答案 B 把2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得另外一个根
16、是6;根据三角形三边之间的关系可知:当 6是腰长,2是底边长时,周长是6+6+2=14;当2是腰长,6是底边长时,2+26,不能构成三角形,ABC的周 长是14,故选B.,评析 本题考查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识,属于容易题.,6.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60, 则BFC= ( ) A.118 B.119 C.120 D.121,答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB, FBC= ABC=21,FCB= AC
17、B=39, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析 本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,7.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 ABC的周长,则DE的长是 .,答案,解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD =DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120 ,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则
18、AH= AC, AF= AC= ,DE= AF= .,思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从 而求得DE的长.,解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.,8.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .,答案 6,解析 D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线. BC=2DE,DE=3,BC=6.,9.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边
19、选一点C,连接CA,CB, 分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m.,答案 100,解析 AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线,AB= MN,MN=200 m,AB=100 m.,10.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为 .,答案 64,解析 BD平分ABC,CE平分ACB,1= ABC,2= ACB,又ABC+ACB=180-A,21 +22=180-A=128,1+2=64.,11.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为
20、D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P, Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),解析 如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点. 证明如下: ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90. BAC=90,AQP+ABQ=90. ABQ=PBD,BPD=AQP. BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,12.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析 (1)如图. (2分) E点,
21、DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分),评析 本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,13.(2015天津,18,3分)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB 上的动点,且BE=DF. (1)如图,当BE= 时,计算AE+AF的值等于 ; (2)当AE+AF取得最小值时,请在如图所示的网格中,用 的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和 点F的位置是如何找到的(不要求证明) .,答案 (1) ; (2)如图,取格点H,K,连接BH,C
22、K,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连 接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求.,解析 (1)由题图可知,AD=4,AB=3,则DB= =5,因为BE= ,BE=DF,所以DF= ,所以F是RtABD斜 边BD的中点,所以AF= BD= .因为AE= = ,所以AE+AF= . (2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G.连 接AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求,思路分析 在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短,题中E、
23、F均为动点,不 能直接应用两点之间线段最短这一结论,可考虑利用三角形全等把AE+AF转化为两个定点到一个动点的距 离之和. 先考虑一条边为AF的AFD.因为ADBC,所以FDA=DBC,设D点关于BC的对称点为H,则有HBC =DBC=FDA,因为AD=4,为了在BH上找一点P到B的距离也等于4,可取格点K,连接CK,设BH与CK相交 于P,则有BP=4.在AFD与PEB中, 所以AFDPEB,所以AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使PE+AE有最小值,则连接AP,AP与BC的交点就是,要求的点E. 与找E点类似,要找到符合条件的点F,考虑一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的
24、三角形,取 格点M,连接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,则 DG=AB=3, 在ABE与GDF中, 所以ABEGDF,所以GF=AE,故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只要连接AG,AG与BD交于F,则F就 是所求使得AE+AF最小的点F.,考点二 三角形全等 1.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ 的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是:根
25、据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角 形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,2.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E, 此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”.
26、 (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据 “SSA”添加条件.,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有 对全等 三角形.,答案 3,解析 根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所 以题图中有3对全等
27、三角形.,4.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求证:BC=DF.,证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE. (2分) ACEF,A=E. (4分) 在ABC和EDF中, (5分) ABCEDF. (6分) BC=DF. (7分),5.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.,证明 BE=CF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE.AFB=DEC,GE=GF.,6.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点
28、,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并 使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN;
29、(2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,7.(2017云南,15,6分)如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF. 求证:ABC=DEF.,证明 BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC与DEF中, ABCDEF,ABC=DEF.,8.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF. BF=CE. (2分) 又
30、B=C,AB=DC, ABFDCE. (4分) A=D. (5分),9.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之间的 关系,并证明你的结论.,解析 CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB. 证明:CE=BF,CF=BE.在CDF和BAE中, CDFBAE,CD=BA,C=B,CDBA.,思路分析 先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系.,易错警示 CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之间 的一种关系.,10.(2017黑龙江哈尔滨
31、,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,11.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l
32、上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF, BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析 (1)证明:BF=EC, BF+FC=EC+CF,即BC=EF. (3分) 又AB=DE,AC=DF, ABCDEF. (5分) (2)ABDE,ACDF. (7分) 理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE. ABDE,ACDF. (9分),评析 本题考查全等三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性质得 到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系.,12.(2016重庆,19,
33、7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明 CEDF,ACE=D. (3分) 在ACE和FDB中, EC=BD,ACE=D,AC=FD, (5分) ACEFDB. (6分) AE=FB. (7分),13.(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC. 求证:BAC=DAC.,证明 在ABC与ADC中, ABCADC(SSS).BAC=DAC.,14.(2016湖北武汉,18,8分)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证ABDE.,证明 BE=CF,BC=E
34、F. (2分) 在ABC和DEF中, (5分) ABCDEF(SSS). (6分) B=DEF, ABDE. (8分),15.(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2. (1)求证:BD=CE; (2)求证:M=N.,证明 (1)在ABD和ACE中, ABDACE(SAS). (3分) BD=CE. (4分) (2)ABDACE,ADB=AEC. (5分) 又MDO=ADB,NEO=AEC, MDO=NEO. (6分) MOD=NOE, (7分) 180-MDO-MOD=180-NEO-NOE, 即M=N. (8分),评析 本题考查了全等三
35、角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.,16.(2015福建福州,19,8分)如图,1=2,3=4,求证:AC=AD.,证明 3=4,ABC=ABD. 在ABC和ABD中, ABCABD(ASA). AC=AD.,17.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧 交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BAC; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,解析 (1)证明:由题意可知BD=CD, 在ABD和ACD中, ABDACD(SSS
36、). BAD=CAD,即AD平分BAC. (2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65. BD=CD=BC,BDC为等边三角形. DBC=DCB=60,DBE=DCF=55, BC=6,BD=CD=6. 的长度= 的长度= = . 、 的长度之和为 + = .,答案 B DEBC,1+B=180,1=135,B=180-135=45,AB=AC,C=B=45,故选B.,2.(2018信阳二模,8)如图,E、B、F、C四点在一条直线上,且EB=CF,A=D,增加下列条件中的一个仍不 能证明ABCDEF的是 ( ) A.DFAC B.AB=DE C.E=ABC D.ABDE,答案 B EB
37、=CF,EB+BF=BF+CF,即EF=CB.当DFAC时,DFE=C,由AAS可证明全等,当AB=DE 时,由ASS不能证明全等;当E=ABC时,由AAS可证明全等;当ABDE时,E=ABC,由AAS可证明全 等.故选B.,3.(2017安阳一模,8)如图,已知ABC,按如下步骤作图:先分别以A,B两点为圆心,以大于 AB的长为半径 作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN;再分别以B,C两点为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于 G,H两点,作直线GH,GH与MN交于点P.连接BP,CP.若BAC=66,则BPC等于 ( ) A.66 B.99 C.132 D.114,答案 C 由作
38、图知MN,GH分别是AB,BC边的垂直平分线,连接PA,则PA=PB=PC,PAB,PAC为等腰 三角形. PAB=PBA,PAC=PCA. APB=180-2PAB,APC=180-2PAC, APB+APC=360-2BAC=228, BPC=360-(APB+APC)=132,故选C.,二、填空题(每小题3分,共6分) 4.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,15)如图,EF为ABC的中位线,AEF的周长为6 cm,则ABC的周长为 cm.,答案 12,解析 由已知得,BC=2EF,AB=2AE,AC=2AF,AEF的周长为6 cm,EF+AE+AF=6 cm,BC+AB+AC= 2(EF+
39、AE+AF)=12(cm).,5.(2019郑州一模,14)如图,已知ABCDCEGEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上,连接 BG,分别交AC、DC、DE于点P、Q、K,其中SPQC=3,则图中三个阴影部分的面积和为 .,答案 39,解析 ABCDCEGEF,ACB=DEC=GFE,BC=CE=EF.ACDEGF. = , = = ,KE=2PC,GF=3PC.又DK=DE-KE=3PC-2PC=PC,DQKCQP.设DQK 的边DK的长为x,DK边上的高为h,则 xh=3,整理得xh=6,SBPC= x2h=xh=6. S四边形CEKQ= 3x2h-3=3xh-3=36-3=18
40、-3=15,SEFG= 3x2h=3xh=18. 三个阴影部分的面积和为6+15+18=39.,三、解答题(共16分) 6.(2019安阳二模,22(1)(2)(1)问题发现:如图1,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,若AE是BAD的平 分线,则AB,AD,DC之间的数量关系为 . (2)问题探究:如图2,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,点F是DC的延长线上一点,若AE是BAF的 平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)相等;垂直. (2)成立.理由如下: 过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,如图所示. PQBC, 四边形MC
41、NE是矩形, MEN=90. CE是PCB的平分线, ME=EN. ED是AB的垂直平分线, AE=BE,RtAMERtBNE, MEA=NEB. MEA+AEN=90, NEB+AEN=90,即AEB=90, AEBE. 综上,AE=BE,AEBE. (3)EF= (b-a).,答案 C 由题意得,B=30,C=45,因为ABOC,所以BOC=B=30.所以DEO=EOC +C=30 +45=75.故选C.,思路分析 本题考查平行线的性质,三角形外角定理,属基础题.,2.(2018秦皇岛海港一模,2)如图,在ABC中,D是BC延长线上一点,B=40,ACD=120,则A等于 ( ) A.80
42、 B.70 C.60 D.90,答案 A ACD是ABC的外角, ACD=A+B, ACD=120,B=40, A=120-40=80,故选A.,二、填空题(共3分) 3.(2018安阳一模,12)如图,ABC中,B=35,BCA=75,请依据尺规作图的作图痕迹,计算= .,答案 75,解析 B=35,BCA=75, BAC=70. 由作图痕迹可知,AD是BAC的平分线, CAD= BAC=35. 由作图痕迹可知,EF是线段BC的垂直平分线, BF=CF,BCF=B=35, ACF=ACB-BCF=40, =35+40=75.,思路分析 根据三角形内角和定理得出BAC=70,由角平分线的定义求
43、出CAD的度数,再由EF是线段 AC的垂直平分线得出B=BCF,最后得出的度数.,三、解答题(共31分) 4.(2019鹤壁一模,17(1)如图,已知点E为正方形ABCD的边AD上一点,连接BE,过点C作CNBE,垂足为M,交 AB于点N.求证:ABEBCN.,证明 在正方形ABCD中, A=ABC=90,AB=BC,1+2=90, CNBE,BMC=90,2+3=90, 1=3,ABEBCN(ASA).,5.(2019开封一模,22(1)(2)(1)操作:如图1,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图1画出一 对以点O为对称中心的全等三角形.(不写画法) (2)根据上述操作
44、得到的经验完成探究活动:如图2,在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE= EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.,解析 (1)如图 (1分) (2)结论:AB=AF+CF. (2分) 证明:如图分别延长AE、DF交于点M, E为BC的中点,BE=CE,ABCD,BAE=M.,在ABE与MCE中, ABEMCE(AAS),AB=MC, BAE=EAF,EAF=M, AF=MF,AB=MC=MF+FC=AF+FC. (6分),6.(2019焦作二模,22)已知ACD=90,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DBMN于点
45、B,连接CB. (1)问题发现 如图1,过点C作CECB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为 ;BD,AB,CB之间的数 量关系为 ; (2)拓展探究 当MN绕点A旋转到图2位置时,BD,AB,CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并证明; (3)解决问题 当MN绕点A旋转到图3位置时(点C,D在直线MN两侧),若此时BCD=30,BD=2,则CB= .,解析 (1)BD=EA;BD+AB= CB. (2)BD-AB= CB. 证明:如图,过点C作CECB,与MN交于点E, BCE=ACD=90,BCE+1=ACD+1.ACE=DCB,BDMN,ABD=ACD=90, 2+3=4+D=90
