1、1.(2015河南,10,3分)如图,ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DEAC.若BD=4,DA=2,BE=3,则EC= .,A组 河南中考题组,答案,解析 DEAC, = ,EC= = = .,2.(2018河南,22,10分) (1)问题发现 如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空: 的值为 ; AMB的度数为 ; (2)类比探究 如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判 断 的值及AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将OCD绕
2、点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB= ,请直接写出当点C 与点M重合时AC的长.,【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即 = ,AMB=90. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析 (1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD, AMB=AOB=40;(2)证明AOC BOD,得 = = ,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋转后点C的两个位置,分别 求出BD的长度,根据 = 得出AC的长.,方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(
3、1) 中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分 析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据 = 再 求出AC的两个值.,3.(2015河南,22,10分)如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将 EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为. (1)问题发现 当=0时, = ; 当=180时, = . (2)拓展探究 试判断:当0360时, 的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决 当EDC旋转至A,D,E三点
4、共线时,直接写出线段BD的长.,解析 (1) . (1分) . (2分) (2)无变化. (3分) 在题图1中,DE是ABC的中位线, DEAB. = ,EDC=B=90. 如题图2,EDC在旋转过程中形状和大小不变, = 仍然成立. (4分) 又ACE=BCD=, ACEBCD. = . (6分) 在RtABC中,AC= = =4 ., = = , = . 的大小不变. (8分) (3)4 或 . (10分) 【提示】当EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,BD=AC=4 ;当EDC在BC下 方,且A,E,D三点共线时,ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,
5、AE=6,根据 = 可求得BD= .,思路分析 (1)根据勾股定理和三角形中位线定理求各线段的长,从而求得 .(2)EDC绕点C旋转时,在 题图1中,ABCEDC,在题图2中,ACEBCD,得到 = ,将求 的值转化为求 的值,得出 结论.(3)类比(2)问中的方法,讨论A,D,E三点共线和A,E,D三点共线的两种情况求解.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 相似的性质与判定 1.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于 点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6
6、 B.4 C.4.8 D.5,答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC. = = . EF=EG,DN=DC. DNCA, = , = , 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x. tanBAC= = =2,AM= x, EGAC, EGNAMN, = = =2. GN= x,MN= x, 易证AMNACD, = = = , CD=4.,解题关键 作平行线,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键.,2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分
7、)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点, 连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C.,答案 B 设等边ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知C=EDF=60,EDA+FDB= 120, 在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF, = = ,又CE=DE,CF=DF, = , = ,可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE
8、-CECF, 2CE-3CF=CF-3CE, = .故选B.,4.(2019江西,12,3分)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线 AB上,若DA=1,CPDP于点P,则点P的坐标为 .,答案 (2,0),(2+2 ,0),(2-2 ,0),解析 (1)当点D在第一象限时,如图1. 图1 CPPD,CPD=90,易证COPPAD. = , = . (4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0,即(OP-2)2=0,OP=2,点P的坐标为(2,0). (2)当点D在第四象限时, 当点P在点A左侧时,如图2,CPPD,CPD=
9、90,易证COPPAD, = , = . OP2+4OP=4,(OP+2)2=8,OP+2=2 .,OP=2 -2或OP=-2 -2(舍). 点P的坐标为(2-2 ,0). 当点P在点A右侧时,如图3,CPPD,CPD=90,易证COPPAD, = , = . OP2-4OP=4.(OP-2)2=8,OP-2=2 . OP=2+2 或OP=2-2 (舍).点P的坐标为(2+2 ,0). 综上,点P的坐标为(2,0),(2+2 ,0),(2-2 ,0). 图2 图3,易错警示 此题没有给出图形,需要对点D的位置分类讨论,做题时,往往会因只画了一种情况而导致答案 不完整.,5.(2018安徽,14
10、,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ;当AP=PD时,P点为BD的中 点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD =PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破 判断P点在线段
11、BD上是解答本题的突破口.,6.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则BD的长为 .,答案 2,解析 如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5, CD=10,DA=5 , AC2+CD2=AD2,ACD=90, ACB+DCE=90, ACB+BAC=90, BAC=DCE, 又ABC=DEC=90,ABCCED, = = , 即 = = ,CE=6,DE=8. 在RtBED中,BD= = =2 .,7.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,
12、BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求 AE的长.,解析 BD平分ABC, ABD=CBD. ABCD,ABD=D,ABECDE. CBD=D, = . BC=CD. AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4.,思路分析 根据角平分线性质和平行线的性质得出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE, 得出含AE的比例式,求出AE的值.,考点二 图形的位似 1.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD 放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为
13、( ) A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6),答案 B 设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知, = = ,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,2.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( ) A.49 B.25 C.23 D. ,答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A.,3.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格 线的交
14、点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1, B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位.,解析 (1)线段A1B1如图所示. (3分) (2)线段A2B1如图所示. (6分) (3)20. (8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为 =2 ,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的 面积为(2 )2=20(个平方单位).,C组 教师专用
15、题组 考点一 相似的性质与判定 1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5, 则CD= ( ) A.2 B.3 C.4 D.2,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACD CBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于 点F,则BF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意
16、得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE, ADEBFA,则 = ,即 = =3,设AF=x(x0),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2= AB2,即x2+(3x)2=22,解得x= (负值舍去),所以3x= ,即BF= .故选B.,思路分析 先通过证明ADEBFA得到AF与BF的数量关系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程求解.,3.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.6 D.4,答案 B 由AD是中线可得DC= BC=4. B=DAC,
17、C=C, ADCBAC, = ,AC2=BCDC=84=32, AC=4 ,故选B.,评析 本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中线,属容易题.,4.(2016广西南宁,11,3分)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1S2等于 ( ) A.1 B.12 C.23 D.49,答案 D 如图所示,由题意可知AG=GE=EF,BH=HC= BC. 设DE=a,则AG2=GE2=EF2=2a2, 则AE2=4a2, 即AE=2a,AD=3a,HC= a, S1= a2,S2= a2, S1S2=49.,5.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB
18、=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 .,答案,解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD= ABtan 30= .当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在 DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30, = = ,又 FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE
19、,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨迹 为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1= .,6.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若 = ,则 = .,答案,解析 ABCD,A=C,B=D, AOBCOD. = = .,7.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接 BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= .,答案,疑难突破 此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从而 实现线段的转化.,8.(2017黑龙江哈尔滨,20,3
20、分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,若 DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .,答案,解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA.又B=AED=90, ADEMAB. = ,即 = . AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0), 则BM=2x, 在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x= (舍负),BM=2x= .,9.(2016辽宁沈阳,16,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=20,DE是ABC的中位线.点M是边BC上 一点,BM=3,点N是
21、线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若OMN是直角三角形,则DO的 长是 .,答案 或,DEBC,DEO=EMF, DOE=EFM=90, ODEFEM, = ,即 = ,解得OD= . 综上所述,DO的长是 或 .,评析 对于几何探究型问题,分类讨论思想是重点考查内容.本题中,要对OMN分两种情况进行讨论,一是 ONM为直角时,二是MON为直角时.,10.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则 AC的长为 .,答案,解析 EF是ODB的中位线,OE= OD= ,EFBD,ACBD,
22、EFBD,ACEF, = , = ,AC= .,11.(2019内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,AB=BC,BAD=90,AC交BD于点E,ABD=30, AD= ,求线段AC和DE的长.,解析 在RtABD中, BAD=90,ABD=30,AD= , tanABD= ,即 = ,AB=3. ADBC, BAD+ABC=180, ABC=90. 在RtABC中,AB=BC=3,AC= =3 . (4分) ADBC,ADECBE, = , = . 设DE= x,则BE=3x,BD=DE+BE=( +3)x, = .,在RtABD中,ABD=30, BD=2AD=2 .
23、 DE=2 ,DE=3- . (8分),12.(2019福建,20,8分)已知ABC和点A,如图. (1)以点A为一个顶点作ABC,使得ABCABC,且ABC的面积等于ABC面积的4倍;(要求:尺规 作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)设D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点,D,E,F分别是你所作的ABC三边AB,BC,CA的中点,求 证:DEFDEF.,解析 本小题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理等基础知识,考查推理能力, 满分8分. (1) ABC为所求作的三角形. (2)证明:D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点,DE= AC,EF= AB
24、,FD= BC. 同理,DE= AC,EF= AB,FD= BC. ABCABC, = = , = = ,即 = = ,DEFDEF.,13.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B= ,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重 合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说 明理由.,解析 (1)证明:AB=AC, B=
25、ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE. ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtan B=4k =3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2. k=4. AB=AC,AMBC, BC=2BM=24k=32.,DEAB, BAD=ADE. 又ADE=B,B=ACB, BAD=ACB. 又ABD=CBA, ABDCBA. = . DB= = = . DEAB, = . AE= = = .,(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 过点F作FHBC于点H.过点
26、A作AMBC于点M,ANFH于点N. 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=90,MH=AN. AB=AC,AMBC, BM=CM= BC= 32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM= = =12.,解后反思 由相似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比例 线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解.,14.(2018云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DPCP),APB=90,将ADP沿AP翻 折得到ADP,PD的延长线交边AB于点M,过点B作BNMP交DC于点N. (1)求证:AD2
27、=DPPC; (2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由; (3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若 = ,求 的值.,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,C=D=90, DAP+APD=90, APB=90, CPB+APD=90, DAP=CPB, (1分) ADPPCB, = , (2分) ADCB=DPPC. AD=BC, AD2=DPPC. (3分) (2)四边形PMBN为菱形,理由如下: (4分) 在矩形ABCD中,CDAB,BNPM, 四边形PMBN为平行四边形, ADP沿AP翻折得到ADP, APD=APM, CDAB, APD=PAM, APM=P
28、AM, (6分) APB=90, PAM+PBA=90,APM+BPM=90, 又APM=PAM, PBA=BPM, PM=MB. 又四边形PMBN为平行四边形,四边形PMBN为菱形. (7分) (3)解法一:APM=PAM, PM=AM, PM=MB, AM=MB, 四边形ABCD为矩形, CDAB且CD=AB, 设DP=a,则AD=2DP=2a, 由AD2=DPPC得PC=4a, DC=AB=5a, (8分) MA=MB= , CDAB,ABF=CPF,BAF=PCF, BFAPFC, = = = , (9分) = , 同理可得MEAPEC, = = = , = , (10分) = - =
29、 - = , (11分) = , = = . (12分),解法二:过点F作FGPM,交MB于点G. APM=PAM, PM=AM, PM=MB, AM=MB, 四边形ABCD为矩形, CDAB且CD=AB, 设DP=a,则AD=2DP=2a, 由AD2=DPPC得PC=4a,DC=AB=5a, (8分) MA=MB= . CDAB, CPF=ABF,PCF=BAF, PFCBFA, = = = , (9分) FGPM, = = , (10分) = , AM=MB, = ,FGPM, = = . (12分),思路分析 (1)根据矩形的性质以及所给条件,证明ADPPCB,从而得AD2=DPPC;(
30、2)由翻折得APD =APM,由等角的余角相等得PBA=BPM,从而得PM=MB,进而易得四边形PMBN为菱形;(3)解法一:设 DP=a,则可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,由CDAB,可得BFAPFC,MEAPEC,所以 = , = ,进而可得 的值.解法二:过点F作FGPM,交MB于点G,设DP=a,可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB = ,根据CDAB,FGPM,AM=MB这些条件可求得 的值.,解题关键 本题主要考查了矩形的性质,轴对称,菱形的判定,相似三角形的判定与性质等知识,题目综合性 强、计算量大,属难题.解题的关键在于从复杂的条件中确定解决问题所需的
31、条件,进而推理、论证、计算, 使题目得以解答.,15.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点 E,F. 求证:BE=CF; 求证:BE2=BCCE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF 的值. 图1 图2,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCF=90. 又AGB=90,BAE+ABG=90. 又ABG+CBF=90,BAE=CBF. ABEBCF(ASA
32、),BE=CF. (4分) 证明:AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB,GAM=AGM. 又CGE=AGM,从而CGE=CBG. 又ECG=GCB,CGECBG. = ,即CG2=BCCE. 由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG. 由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE. (9分),(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图). 四边形ABCD是正方形,ABCD. N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA. 故 = ,即BECN=ABCE. AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE. 由ABDN知, = = . 又AM=MB,FC=CN=BE. 不妨令正方形的
33、边长为1. 设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).,解得x1= ,x2= (舍去). = . 于是tanCBF= = = . (14分) 解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x, 则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去),即BE= . 作GNBC交AB于N(如图), 则MNGMBC. = = .,设MN=y,则GN=2y,GM= y. = ,即 = , 解得y= .GM= . 从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. AGB是直角三角形,且AGB=90. 由(1)知BE=CF,于是tanCBF= = = . (14分),16
34、.(2016福建福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC= ,在AC边上截取AD=BC,连接BD. (1)通过计算,判断AD2与ACCD的大小关系; (2)求ABD的度数.,解析 (1)AD=BC= ,AD2= = . AC=1, CD=1- = , AD2=ACCD. (2)AD2=ACCD,AD=BC, BC2=ACCD,即 = . 又C=C, ABCBDC. = . 又AB=AC, BD=BC=AD.,A=ABD,ABC=C=BDC. 设A=ABD=x, 则BDC=A+ABD=2x, ABC=C=BDC=2x, A+ABC+C=x+2x+2x=180. 解得x=36.
35、ABD=36.,评析 本题主要考查相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得 ABCBDC是解题的关键.,17.(2016湖北武汉,23,10分)在ABC中,P为边AB上一点. (1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=APAB; (2)若M为CP的中点,AC=2. 如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长; 如图3,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长. 图1 图2 图3,解析 (1)证明:ACP=B,A=A, ACPABC. (2分) = ,AC2=APAB. (3分) (2)解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD. M为CP的中点,
36、 CDMB. D=PBM, (4分) PBM=ACP,D=PBM=ACP. 由(1)得AC2=APAD, (5分) 设BP=x,则22=(3-x)(3+x). 解得x= (舍去负根),即BP= . (7分) 解法二:取AP的中点E,连接EM. M为CP的中点,MEAC,EM= AC=1. (4分) PME=ACP, PBM=ACP, PME=PBM. 由(1)得EM2=EPEB, (5分),设BP=x,则12= . 解得x= (舍去负根),即BP= . (7分) BP= -1. (10分),18.(2016四川南充,24,10分)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB
37、上,且满足 PBCPAM,延长BP交AD于点N,连接CM. (1)如图一,若点M在线段AB上,求证:APBN,AM=AN; (2)如图二,在点P运动过程中,满足PBCPAM的点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN是否成立 (不需说明理由)? 是否存在满足条件的点P,使得PC= ?请说明理由.,解析 (1)证明:PBCPAM,PBC=PAM. (1分) 四边形ABCD是正方形, ADBC, PBC=ANP. PAM=ANP. (2分) PAM+PAN=90, ANP+PAN=90. APN=90,即APBN. (3分) BAN=90,APBN, BPA=BAN=90. ABP=NBA,AB
38、PNBA, = . (4分),又PBCPAM, = . (5分) 故 = .又AB=BC,AM=AN. (6分) (2)点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN仍然成立.(7分) 不存在.理由如下: 如图,以AB为直径,作半圆O,连接OC,OP. BC=1,OB= ,OC= . (8分) APBN,点P一定在以点O为圆心、 为半径的半圆上(A,B两点除外).,如果存在点P,那么OP+PCOC, 则PC . (9分) ,故不存在满足条件的点P,使得PC= . (10分),评析 本题是以考查相似三角形为主的综合题,涉及正方形的性质、圆的性质等知识,有一定难度.,19.(2016山东烟台,24,
39、12分)【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问 题,请你给出证明; 如图1,矩形ABCD中,EFGH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证: = ; 【结论应用】 (2)如图2,在满足(1)的条件下,又AMBN,点M,N分别在边BC,CD上,若 = ,则 的值为 . 【联系拓展】 (3)如图3,四边形ABCD中,ABC=90,AB=AD=10,BC=CD=5,AMDN,点M,N分别在边BC,AB上,求 的值.,解析 (1)证明:作FMAB,HNAD,垂足分别为M,N, (1分) EMF=HNG
40、=90, 四边形ABCD是矩形,A=B=D=90, 四边形ADFM是矩形,AD=FM. (2分) 同理可证:AB=NH. 1=90,A+3+1+4=360, 3+4=180, 又2+3=180, 2=4, FEMHGN. (4分), = . = . (5分) (2) . (7分) 解法提示:由(1)的结论可得 = = = . (3)解法一:过D作AB的平行线交BC的延长线于E,作AFAB交直线DE于点F. BAF=B=E=90, 四边形ABEF是矩形, (8分) 连接AC,由已知得ADCABC, ADC=ABC=90,1+2=90, 又2+3=90, 1=3. ADFDCE. = = = .
41、(9分) 设DE=x,则AF=2x,DF=10-x, 在RtADF中,AF2+DF2=AD2, 即(2x)2+(10-x)2=100. 解得x1=4,x2=0(舍去), AF=2x=8. (11分) 则 = = = . (12分) 解法二:,补全矩形ABEF; (8分) 连接AC、BD,则AC垂直平分BD; (9分) AC=5 ; (10分) BD=4 ; (11分) = = = . (12分),20.(2015山东威海,23,10分) (1)如图,已知ACB=DCE=90,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,CAE=45,求AD的长; (2)如图,已知ACB=DCE=90,ABC=CED=
42、CAE=30,AC=3,AE=8,求AD的长. 图 图,解析 (1)连接BE. (1分) 图 ACB=DCE=90, ACB+ACE=DCE+ACE,即BCE=ACD. 又AC=BC,DC=EC, ACDBCE,AD=BE. (3分) AC=BC=6,AB=6 . (4分) BAC=CAE=45,BAE=90. 在RtBAE中,AB=6 ,AE=3,BE= =9. AD=9. (5分) (2)连接BE. (6分) 图 在RtACB和RtDCE中,ABC=DEC=30, tan 30= = = . ACB=DCE=90, ACB+BCD=DCE+BCD,即ACD=BCE.,ACDBCE. = =
43、 . (8分) BAC=60,CAE=30,BAE=90. 在RtACB中,AC=3,ABC=30,AB=6. 在RtBAE中,AB=6,AE=8,BE=10. (9分) = ,AD= . (10分),评析 求线段长的常见方法:利用相似三角形的性质求线段长;通过解直角三角形(含勾股定理)求线段 长,所以对于此类问题要从相似或解直角三角形入手,通过作辅助线等寻找解题思路.,21.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作 CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC. (1)求证:AD=
44、BC; (2)求证:AGDEGF; (3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求 的值.,由AGDBGC,知GAD=GBC. 在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB. AGB=AHB=90, (12分) AGE= AGB=45, = . 又AGDEGF, = = . (14分) (本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略) 图2 图3,评析 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似的判定方法和 性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.,22.(2015福建福州,25,13分)如图,在锐角ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且AFE=A, DMEF交AC于点M. (1)求证:DM=DA; (2)点G在BE上,且BDG=C,如图,求证:DEGECF; (3)在图中,取CE上一点H,使CFH=B,若BG=1,求EH的长.,BDG=C, EDG=FEC. DEGECF.,(3)解法一:如图所示, BDG=C=DEB,B=B, BDGBED.,图, = ,即BD2=BEBG. A=AFE,B=CFH, C=180-AFE-CFH=EFH. 又FEH=CEF, EFHECF. =
