1、考点一 矩形,A组 20152019年湖南中考题组,1.(2017湖南怀化,9,3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=6 cm,则AB的长是 ( ) A.3 cm B.6 cm C.10 cm D.12 cm,答案 A 四边形ABCD是矩形,AC=6 cm,OA=OC=OB=OD=3 cm,AOB=60,AOB是等边三角 形,AB=OA=3 cm.故选A.,2.(2018湖南湘潭,5,3分)如图,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是 ( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形,答案 B 连接AC、BD,交于点O
2、.设AC交FG于点L. 四边形ABCD是菱形, ACBD, 点G,H分别是菱形ABCD各边的中点, DH=HA,DG=GC, GHAC,HG= AC.,同理可得EFAC,EF= AC, GH=EF,GHEF, 四边形EFGH是平行四边形, 同理可证GFBD, OLF=AOB=90, ACGH, HGL=OLF=90, 平行四边形EFGH是矩形. 故选B.,解后反思 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线等知识,解题的关键 是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.,3.(2018湖南常德,15,3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点
3、C落在点H处,已知 DGH=30,连接BG,则AGB= .,答案 75,解析 由折叠的性质可知GE=BE,EGH=ABC=90, EBG=EGB, EGH-EGB=EBC-EBG, 即BGH=GBC, 又ADBC, AGB=GBC, AGB=BGH, DGH=30, AGH=150, AGB= AGH=75.,思路分析 由折叠的性质可知:GE=BE,EGH=ABC=90,从而可证明EBG=EGB,进而得到BGH= GBC,由平行线的性质可知AGB=GBC,从而易证AGB=BGH,据此可得答案.,4.(2019湖南郴州,25,10分)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合)
4、,把ADE沿DE翻折,点A 的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于 点H. (1)求证:A1DEB1EH; (2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断DEF的形状,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,点G为DEF内一点,且DGF=150,试探究DG,EG,FG的数量关系.,解析 (1)证明:由折叠的性质可知DAE=DA1E=90,EBH=EB1H=90,AED=A1ED,BEH=B1EH, DEA1+HEB1=90. 又HEB1+EHB1=90, DEA1=EHB1, A1D
5、EB1EH. (2)DEF是等边三角形. 理由如下: 直线MN是矩形ABCD的对称轴,点A1落在直线MN上, 点A1是EF的中点,即A1E=A1F, 在A1DE和A1DF中,A1DEA1DF(SAS), DE=DF,FDA1=EDA1, 又ADEA1DE,ADF=90. ADE=EDA1=FDA1=30, EDF=60, DEF是等边三角形. (3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2. 理由如下:由(2)可知DEF是等边三角形,将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位置,如图, GF=GE,DG=DG,GDG=60, DGG是等边三角形, GG=DG,DGG=60, DGF=1
6、50, GGF=90,在RtGGF中,GG2+GF2=GF2, DG2+GF2=GE2.,思路分析 (1)由折叠的性质可得DA1E=EB1H=90,AED=A1ED,BEH=B1EH,所以DEA1+ HEB1=90,从而可得DEA1=EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEB1EH; (2)由A1恰好落在直线MN上可知A1为EF的中点,由SAS易证A1DEA1DF,即可得ADE=EDA1= FDA1=30,进而得EDF=60,可证DEF是等边三角形; (3)将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位置,由旋转将DG,EG,FG集中到GGF中,结合DGF= 150,可得GGF为直角三角
7、形,由勾股定理可得GG2+GF2=GF2,即可证明DG2+GF2=GE2.,5.(2016湖南岳阳,18,6分)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EFDF,求证: BF=CD.,证明 四边形ABCD是矩形,B=C=90. EFDF,EFD=90,EFB+CFD=90. EFB+BEF=90,BEF=CFD. 在BEF和CFD中, BEFCFD(ASA),BF=CD.,思路分析 由四边形ABCD为矩形,得到B=C=90,再由EF与FD垂直,利用同角的余角相等得到一对角 相等,利用ASA证明BEF与CFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证.,解题关键
8、本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.,6.(2017湖南邵阳,20,8分)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,OB=OD, OBC=OCB,OB=OC,BD=AC, 平行四边形ABCD是矩形. (2)AB=AD或ACBD,答案不唯一. 理由:四边形ABCD是矩形,AB=AD, 四边形ABCD是正方形. 或四边形ABCD是矩形,ACBD, 四边形ABCD是正方形.
9、,思路分析 (1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,根据等角对等边可得OB=OC,可得BD =AC,再根据对角线相等的平行四边形是矩形得证;(2)根据正方形的判定方法添加条件即可.,解题关键 本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的判定,熟练掌握特殊四边形的判定方法与 性质是解题的关键.,考点二 菱形,1.(2017湖南长沙,10,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6 cm、8 cm,则这个菱形的周长为 ( ) A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.20 cm,答案 D 根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3 cm,OB=4 cm
10、,且OAOB,在RtAOB中,根据勾股定 理可得AB=5 cm,所以菱形ABCD的边长为5 cm,所以菱形ABCD的周长为45=20 cm.,方法总结 已知菱形两条对角线的长求菱形的周长时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定理 即可求解.,2.(2016湖南益阳,4,5分)下列判断错误的是 ( ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形,答案 D 由对角线互相平分的四边形是平行四边形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形,易得“两条 对角线垂直且平分的四边形是菱形”,D项错误.故选
11、D.,3.(2016湖南湘西,8,4分)如图,已知菱形ABCD的两条对角线AC=8,BD=6,则菱形ABCD的面积为 .,答案 24,解析 菱形ABCD的面积= 68=24.,思路分析 直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可.,4.(2019湖南湘潭,21,6分)如图,将ABC沿着AC边翻折,得到ADC,且ABCD. (1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2)若AC=16,BC=10,求四边形ABCD的面积.,解析 (1)四边形ABCD是菱形. 理由:由翻折得ABCADC, AB=AD,BC=CD,BAC=DAC. ABCD, BAC=DCA, DAC=DCA,
12、 AD=DC, AB=AD=BC=CD, 四边形ABCD是菱形. (2)连接BD交AC于点O.,四边形ABCD是菱形, ACBD,AO=CO,BO=DO. 又AC=16,BC=10, CO=8,BO= =6, BD=12, S菱形ABCD= 1612=96.,5.(2018湖南郴州,19,7分)如图,在ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连 接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.,证明 在ABCD中,EF为对角线BD的垂直平分线, BO=DO,EDB=FBO, 在DOE和BOF中, DOEBOF(ASA). OE=OF, 又OB=OD, 四边形BF
13、DE是平行四边形, EFBD, 四边形BFDE为菱形.,考点三 正方形,1.(2019湖南衡阳,12,3分)如图,在直角三角形ABC中,C=90,AC=BC,E是AB的中点,过点E作AC和BC的垂 线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间为t,运 动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为 ( ),答案 C 在直角三角形ABC中,C=90,AC=BC, ABC是等腰直角三角形, EFBC,EDAC, 四边形EFCD是矩形, E是AB的中点, EF= AC,DE= BC, EF=ED, 四边形EFCD是正
14、方形. 设正方形EFCD的边长为a,它运动的速度为v, 如图1,当运动的距离小于a时,S=正方形EFCD的面积-EEH的面积=a2- t2;,图1 当运动的距离大于a且小于等于2a时,如图2,S=SACH= (2a-vt)2= t2-2avt+2a2, S关于t的函数图象大致为C选项中的图象, 故选C.,图2,思路分析 根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形,推出四边形EFCD是正方形,设正方形EFCD的边 长为a,它运动的速度为v,根据移动的距离小于a及大于a且小于等于2a分别写出S关于t的函数关系式,根据 函数关系式即可得到结论.,2.(2017湖南长沙,12,3分)如图,将正方形ABCD
15、折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D重合),折痕 交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,CHG的周长为n,则 的 值为 ( ) A. B. C. D.随H点位置的变化而变化,答案 B 设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a, 设CH=x,DE=y, 则DH=2a-x,EH=AE=2a-y, EHG=90, DHE+CHG=90, DHE+DEH=90, DEH=CHG, 又D=C=90, CHGDEH, = = , 即 = = , CG= ,GH= ,CHG的周长为CH+CG+HG= , 在RtDEH中,DH2+DE2
16、=EH2, 即(2a-x)2+y2=(2a-y)2, 整理得4ax-x2=4ay, CH+CG+HG= = =4a=n. = ,故选B.,思路分析 设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=2a-y,然后利 用正方形的性质和折叠的性质证明CHGDEH,利用相似三角形的对应边成比例可以把CG、HG分别 用含a、x、y的式子来表示,CHG的周长也可以用含a、x、y的式子来表示,然后在RtDEH中用勾股定 理可以得到4ax-x2=4ay,进而得到CHG的周长为4a=n,最后求得 的值.,3.(2018湖南常德,26,10分)已知正方形ABCD
17、中,AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC 于E,过D作DHAE于H,设直线DH交AC于N. (1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO; (2)如图2,当M在线段OD上时,连接NE,当ENBD时,求证:BM=AB; (3)如图3,当M在线段OD上时,连接NE,当NEEC时,求证:AN2=NCAC.,证明 (1)正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, OD=OA,AOM=DON=90, OND+ODN=90, ANH=OND, ANH+ODN=90, DHAE, DHM=90, ANH+OAM=90, ODN=OAM, DONAOM, OM=ON. (2)连接
18、MN,ENBD, ENC=DOC=90,NEC=BDC=45=ACD, EN=CN,同(1)可得,OM=ON, OD=OC,DM=CN=EN, ENDM, 四边形DENM是平行四边形, DNAE, DENM是菱形,DE=EN, EDN=END,ENBD, END=BDN, EDN=BDN. BDC=45,BDN=22.5, AHD=90,AMB=DME=90-BDN=67.5, ABM=45, BAM=67.5=AMB, BM=AB. (3)设CE=a(a0), ENCD, CEN=90, ACD=45, CNE=45=ACD,EN=CE=a, CN= a, 设DE=b(b0), AD=CD=
19、DE+CE=a+b, 根据勾股定理得AC= AD= (a+b), 同(1)可得OAM=ODN, OAD=ODC=45, EDN=DAE, DEN=ADE=90, DENADE, = , = ,a= b(负值舍去), CN= a= b,AC= (a+b)= b, AN=AC-CN= b, AN2=2b2,ACCN= b b=2b2, AN2=ACCN.,思路分析 (1)先判断出OD=OA,AOM=DON,再利用同角的余角相等判断出ODN=OAM,即可证得 DONAOM,进而得出结论. (2)先判断出四边形DENM是菱形,进而判断出BDN=22.5,即可判断出AMB=67.5,得出结论. (3)设
20、CE=a(a0),进而表示出EN=CE=a,CN= a,设DE=b(b0),进而表示出AD=a+b,根据勾股定理得,AC= (a+b),同(1)可得OAM=ODN,得出EDN=DAE,进而判断出DENADE,得出 = ,进而得 出a= b,即可表示出CN= b,AC= b,所以AN2=ACCN=2b2,得出结论.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 矩形,1.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BDx 轴,反比例函数y= (k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4), 则k的值为 (
21、) A.16 B.20 C.32 D.40,答案 B 点D(0,4),DBx轴, 点B的纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4). 由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4, AD= = ,AB= ,DB=a. 四边形ABCD是矩形,DAB=90. 在RtDAB中,DA2+AB2=DB2, ( )2+ 2=a2,解得a=10. 点B的坐标为(10,4). 四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点. 点E的坐标为(5,4).将点E(5,4)代入y= 中,得k=20,故选B.,思路分析 由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股定 理列出
22、关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y= 中,便可求 出k的值.,2.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点 B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为 ( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm,答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm, CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D.,3.(2017上海,6,4分)已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四 边形为矩形的是 ( ) A.BAC=D
23、CA B.BAC=DAC C.BAC=ABD D.BAC=ADB,答案 C 如图,设AC与BD交于点O, 四边形ABCD为平行四边形,OA=OC,OB=OD, 当BAC=ABD时,OA=OB, AC=BD,ABCD为矩形,故选C.,4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠, 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .,答案 或,解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形
24、,BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图.,1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, = . 在RtADB中,由勾股定理得BD= = , = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 .,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.,5.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=
25、30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 .,答案,解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD= ABtan 30= .当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在 DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30, = = ,又 FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE
26、1E=60,由此可知点E的运动轨迹 为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1= .,思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果.,易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误解.,6.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长 为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC, EA=EC=3. 在RtA
27、DE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计 算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练 应用勾股定理计算是解题的关键.,7.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四
28、边形. (1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO. (2分) AO=OD. (3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形. (4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x. (5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18. (6分) ODC=318=54. (7分),ADO=90-ODC=90-54=36. (8分),名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等
29、于与它 不相邻的两个内角之和.,8.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.,证明 本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力. 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE.,考点二 菱形,1.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm,答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所
30、以三角形ABC为等边三角形, 所以AC=AB=1 cm,故选A.,2.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图2是 点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为 ( ) 图1 图2 A. B.2 C. D.2,答案 C 如图,作DEBC于点E, 在菱形ABCD中,当F在AD上时,y= BCDE, 即a= aDE,DE=2. 由题意知DB= ,在RtDEB中, BE= =1,EC=a-1. 在RtDEC中,DE2+EC2=DC2, 22+(a-1)2=a2.,解得a= .故选C.,思路分析
31、当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形BC边上的高为2,由点F在BD上运动的时间为 s,得出BD的长,由勾股定理可求a的值.,解后反思 本题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义求出菱形BC 边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解.,3.(2018浙江湖州,13,4分)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,若tanBAC= ,AC=6,则BD的长是 .,答案 2,解析 四边形ABCD是菱形,AC=6, ACBD,OA= AC=3,BD=2OB. 在RtOAB中,tanBAC= = ,OB=1,BD=2.故答案为2.,思路分析
32、根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD,OA= AC=3,BD=2OB,在RtOAB中, 根据tanBAC= = ,求出OB,则BD可求.,4.(2017新疆乌鲁木齐,12,4分)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,AB=2,则菱形ABCD的面积为 .,答案 2,解析 四边形ABCD是菱形,AB=AD=2. 如图,作DEAB交AB于点E, 则DE=ADsin 60= , S菱形ABCD=ABDE=2 .,5.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接B
33、D交AC于点O.若BD=4,tan G= ,求AO的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. BE=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为菱形, AO=OC,OD= BD,ACBD. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4, OD=2.,在RtCOD中,tanCDO=tan G= ,可得OC=1. AO=1.,考点三 正方形,1.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60, 则CF的长是 ( ) A. B. C. -1 D.,答案 C 如图,连接EF,
34、在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF,BE =DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90,EF= x, 则AE= x.在RtABE中,12+(1-x)2=( x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x= -1或x=-1- (舍),CF=CE= -1.故 选C.,2.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为 的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线 DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM= ( ) A. B. C. -1 D. -1,答案 D
35、 连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC= ,在正方形ABCD中,AC= DC=2,OC=OD= AC= 1,ACBD,EM=CM=1-OM,OE= -1. 解法一:在RtEOM中,OM2+OE2=EM2,即OM2+ =(1-OM)2,解得OM= -1. 解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE=90, DOMCOE,OM=OE= -1,故选D.,3.(2019新疆,9,5分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF 分别交BD,DE于点M,N,且AFDE,连接PN,则以下结论
36、中: SABM=4SFDM;PN= ;tanEAF= ;PMNDPE.正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点, AB=BC=CD=AD=2,ABC=C=ADF=90,CE=BE=1. AFDE,易证ADFDCE, DF=CE=1, ABDF,ABMFDM, = =4, SABM=4SFDM ,故正确. 由勾股定理可知:AF=DE=AE= = , ADDF= AFDN, DN= , EN= ,AN= = ,tanEAF= = ,故正确. 过点P作PHAN于点H. BEAD, = =2, PA= , tanEAF= ,sinEAF= , PH
37、=PAsinEAF= , PHEN, = = , AH= = ,HN= , PN= = ,故正确.,PNDN,DPNPDE, PMN与DPE不相似,故错误. 故选A.,思路分析 利用ABMFDM及相似三角形的性质即可解决问题;作PHAN于H,根据平行线分线 段成比例定理,求AP,AH的长,进一步得PH,HN的长,由勾股定理即可求出PN的长;分别求出EN,AN的长即 可判断;证明DPNPDE即可判断.,4.(2018湖北宜昌,9,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,点E、F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD, FHAB,FJAD,垂足分别为G、I、H、J,则图中阴影部分的面积等于 (
38、 ) A.1 B. C. D.,答案 B 由正方形的对称性可知,阴影部分的面积等于正方形面积的一半,故S阴影= .,5.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD中,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论: SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,答案 C AB=AD,BAF=DAF,AF=AF, ABFADF,SABF=SADF,正确; 同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点, SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确; ADEC,FAD=FCE,FD
39、A=FEC, AFDCFE, = = =2, = =22=4, SAFD=4SCFE,不正确; =2, =2, SADF=2SCDF,正确.故选C.,6.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD为边作等边ADE,则BEC的度数是 .,答案 30或150,解析 当点E在正方形ABCD外时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形, AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=150,AEB=ABE=15, 同理可得DCE=DEC=15,则BEC=AED-AEB-DEC=30. 当点E在正方形ABCD内时,如图, 四边形ABCD为正方形,ADE为等边三
40、角形, AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60, BAE=30,AEB=ABE=75, 同理可得DCE=DEC=75, 则BEC=360-AED-AEB-DEC=150. 综上,BEC=30或150.,解题关键 熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.,易错警示 此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,容易只画出点E在正方形外而导致漏解.,7.(2019内蒙古包头,25,12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点 ,连 接AM,过点M作MNAM交边BC于N. (1)如图,求证:MA=MN; (2)如图,连接AN,O为AN的中点,MO
41、的延长线交边AB于点P,当 = 时,求AN和PM的长; (3)如图,过点N作NHBD于H,当AM=2 时,求HMN的面积.,解析 (1)证明:如图,过点M作MFAB于F,作MGBC于G. AFM=NGM=90. 四边形ABCD为正方形,ABC=90, 又点M在BD上, 由此易得四边形FBGM为正方形,MF=MG,FMG=90, FMN+NMG=90. MNAM, NMA=90, AMF+FMN=90.,NMG=AMF. RtAMFRtNMG, MA=MN. (3分) (2)在RtAMN中,AMN=90,MA=MN, MAN=45. 在RtBCD中,DBC=45, MAN=DBC, RtAMNR
42、tBCD, = . 在RtABD中,AB=AD=6,BD=6 . = , = , AN=2 . (6分) 在RtABN中,BN= =4.,在RtAMN中,MA=MN,O是AN的中点, OM=AO=ON= AN= ,PMAN, AOP=ABN=90, 又PAO=NAB, AOPABN, = , = , OP= . PM=PO+OM= + = . (9分) (3)如图,过点A作AFBD于F,AFM=90,FAM+AMF=90. MNAM,AMN=90, AMF+HMN=90, FAM=HMN. NHBD,NHM=90, NHM=AFM. 又MA=MN,AFMMHN,AF=MH. 在RtABD中,A
43、B=AD=6,BD=6 . AFBD,AF= BD=3 ,MH=3 . AM=2 ,MN=2 . 在RtMNH中,HN= = , SMNH= HMHN= 3 =3. HMN的面积是3. (12分),思路分析 (1)先作MFAB,MGBC,再利用正方形ABCD及角平分线的性质可证MF=MG,进一步证明 AMFNMG,问题解决;(2)先证RtAMNRtBCD,然后根据相似的性质求出AN,再根据条件证明 AOPABN,从而由相似比求出OP,问题解决;(3)先作AFBD,然后根据条件证明AFMMHN, 得出AF=MH,再在RtABD和RtMNH中分别求出MH,MN,HN,最后求出面积.,C组 教师专用
44、题组,考点一 矩形,1.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的长 为 ( ) A.2 B.4 C.3 D.2,答案 C 四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=8, AD=BC=8,CD=AB=4,D=90, 由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD, 设FD=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x, 在RtADF中,AD2+FD2=AF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3. FD=3,故选C.,2.(2018浙江杭州,8,3分)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1
45、,PBA=2,PCB=3, PDC=4.若APB=80,CPD=50,则 ( ) A.(1+4)-(2+3)=30 B.(2+4)-(1+3)=40 C.(1+2)-(3+4)=70 D.(1+2)+(3+4)=180,答案 A 过P作PQAD,与AB交于点Q, ADBC,PQADBC, APQ=PAD,QPB=CBP, 又APB=80,CBP=APB-DAP=80-1, ABC=2+80-1, 又在CDP中,DCP=180-CPD-PDC=130-4, BCD=3+130-4, 又在矩形ABCD中,ABC+BCD=180, 2+80-1+3+130-4=180, 即(1+4)-(2+3)=30,故选A.,3.(2018山东枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD
