1、考点1 图形的轴对称,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2019南京,6,2分)如图,ABC是由ABC经过平移得到的,ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形 变化得到?下列结论:1次旋转;1次旋转和1次轴对称;2次旋转;2次轴对称.其中所有正确结论的序号 是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 连接BC,先将ABC绕着BC的中点旋转180,再将所得的三角形绕着BC的中点旋转180,便可 得到ABC.还可以先将ABC沿着AA的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着过点A且垂直于AA的 直线翻折,即可得到ABC.故选D.,2.(2017无锡,10,3分)如图,ABC中,BAC=90,
2、AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将ABD沿AD所在直线翻折 得到AED,连CE,则线段CE的长为 ( ) A.2 B. C. D.,答案 D 如图,连接BE交AD于O,作AHBC于H. 在RtABC中,AC=4,AB=3, BC= =5, CD=DB, AD=DC=DB= , BCAH= ABAC, AH= ,AE=AB,EAD=BAD,AO=AO, AOEAOB, AOE=AOB=90,OE=OB, 又D为BC的中点, ODEC, BEC=90, BCE是直角三角形, ADBO= BDAH, OB= ,BE=2OB= , 在RtBCE中,EC= = = ,故选D.,解题关键 本题考查翻
3、折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用 等积法求高,有一定的难度.,3.(2019扬州,14,3分)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形,若ABC=26,则ACD= .,答案 128,解析 延长DC到E点, 由题意可得:ABC=BCE=BCA=26, 则ACD=180-26-26=128.,4.(2019淮安,16,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点 P处,连接AP,则tanHAP= .,答案,解析 如图,连接PB,交CH于E, 由折叠可得,CH垂直平分BP,BH=PH, 又H为AB的中点, A
4、H=BH, AH=PH=BH, HAP=HPA,HBP=HPB, 又HAP+HPA+HBP+HPB=180, APB=90,APB=HEB=90, APHE, BAP=BHE, 在RtBCH中,tanBHC= = , tanHAP= .,5.(2017宿迁,15,3分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1,若点P在对角线BD上移动,则PA+ PE的最小值是 .,答案,解析 作出点E关于BD的对称点E,连接AE与BD交于点P,连接PE,此时AP+PE最小, BD垂直平分EE,PE=PE, AP+PE=AP+PE=AE, 在RtABE中,AB=3,BE=BE=1, 根据勾股定
5、理得AE= , 则PA+PE的最小值为 .,6.(2016苏州,17,3分)如图,在ABC中,AB=10,B=60,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将BDE沿 DE所在直线折叠得到BDE(点B在四边形ADEC内),连接AB,则AB的长为 .,答案 2,解析 由折叠知BDEBDE, BD=BE=4,DB=BE=EB=BD=4, 四边形BDBE为菱形, BDBE. B=60, BDA=B=60. 作BGAD于点G, 在RtBGD中,易得BG=2 ,DG=2, AG=AB-BD-DG=4, 在RtABG中,AB= = =2 .,思路分析 由折叠可得四边形BDBE为菱形,从而得BDA=6
6、0,构造直角三角形,求AB的长.,评析 本题考查折叠的性质,等边三角形和菱形的性质,勾股定理等知识,属中档题.,7.(2018扬州,17,3分)如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折 叠,点C落在点D处,则点D的坐标为 .,答案,解析 设AO与BD的交点为E, 由折叠得CBO=DBO, 矩形ABCO, BCOA, CBO=BOA, DBO=BOA, BE=OE, 在ODE和BAE中, ODEBAE(AAS), AE=DE,设DE=AE=x,则有OE=BE=8-x, 在RtODE中,根据勾股定理得42+x2=(8-x)2, 解得x=3,
7、即OE=5,DE=3, 过D作DFOE, SOED= ODDE= OEDF, DF= ,OF= = , 则D .,思路分析 DB与OA交点为E,利用AAS得到ODEBAE(AAS),由全等三角形对应边相等得到DE=AE, 过D作DF垂直于OE,利用勾股定理及等面积法求出DF与OF的长,即可确定出点D的坐标.,解题关键 此题考查了图形的轴对称(折叠问题),坐标与图形变换,以及矩形的性质,熟练掌握轴对称的性 质,作辅助线是解决本题的关键.,8.(2016连云港,15,3分)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一 次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B
8、的对应点为M,EM交AB于N.若AD=2,则MN= .,答案,9.(2019盐城,25,10分)如图1是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作: 将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图2; 在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B处,如图3,两次折痕交于点O; 展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图4. 【探究】 (1)证明:OBCOED; (2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.,解析 (1)证明:由折叠可知,AD=ED,BCO=DCO=ADO=CDO=45, BC=DE,COD=90,OC=OD, 在OBC和OED中, OBCOE
9、D(SAS). (2)过点O作OHCD于点H. 由(1)知OBCOED,OE=OB, BC=x,AD=DE=x, CE=8-x,OC=OD,COD=90, CH= CD= AB= 8=4, OH= CD=4, EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4. 在RtOHE中,由勾股定理得OE2=OH2+EH2, 即OB2=42+(x-4)2, y关于x的关系式为y=x2-8x+32.,10.(2018泰州,25,12分)对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图 ),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图). (1)根据以上操作和发现,求 的值; (2)
10、将该矩形纸片展开. 如图,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证:HPC=90; 不借助工具,利用图探索一种新的折叠方法,找出与图中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在 折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由),解析 (1)由题图,可得BCE= BCD=45, 又B=90, BCE是等腰直角三角形, =cos 45= ,即CE= BE, 由题图,可得CE=CD,而AD=BE, CD= AD, = . (2)设AD=BC=a,则AB=CD= a,BE=a, AE=( -1)a, 如图,连接EH,则CEH=CDH=90, BEC=45,A=90,
11、AEH=45=AHE, AH=AE=( -1)a, 设AP=x,则BP= a-x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2, AH2+AP2=BP2+BC2, 即( -1)a2+x2=( a-x)2+a2, 解得x=a,即AP=BC, 又PH=CP,A=B=90, RtAPHRtBCP(HL), APH=BCP, 又RtBCP中,BCP+BPC=90, APH+BPC=90, CPH=90.,折法一:沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P. 折法二:沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE边上,此时,折痕与AB的交点即为P.,方法总结 本题属于折叠问题,主要考查了等腰直
12、角三角形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定与性质 的综合运用,折叠是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.解题时常常设要 求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,构造直角三角形,运用 勾股定理列出方程求出答案.,11.(2017徐州,27,9分)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠与展平后,得折痕AD, BE(如图1),点O为其交点. (1)探求AO与OD的数量关系,并说明理由; (2)如图2,若P,N分别为BE,BC上的动点, 当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度; 如图3,若点Q在线段BO上,BQ
13、=1,则QN+NP+PD的最小值= .,解析 (1)AO=2OD. 理由:ABC是等边三角形, BAO=ABO=OBD=30,AO=OB, BD=CD,ADBC,BDO=90, OB=2OD,OA=2OD. (2)作点D关于BE的对称点D,过D作DNBC分别交BE、BC于P、N,连接BD, 则此时PN+PD的长度取得最小值, BE垂直平分DD, BD=BD,思路分析 (1)根据等边三角形的性质得到BAO=ABO=OBD=30,从而得到AO=OB,根据直角三角形 的性质即可得到结论; (2)作点D关于BE的对称点D,过D作DNBC分别交BE、BC于P、N,连接BD,则此时PN+PD的长度取得 最
14、小值,根据线段垂直平分线的性质知BD=BD,从而推出BDD是等边三角形,得到BN= BD= ,从而可得 结论; 作Q关于BC的对称点Q,作D关于BE的对称点D,连接PD、QN、QD,则QD即为QN+NP+PD的最小值.根 据轴对称的定义得到QBN=QBN=30,QBQ=60,从而得到BQQ为等边三角形,BDD为等边三角 形,解直角三角形即可得到结论.,解题关键 本题考查了等边三角形的性质和判定,解直角三角形,最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相 等的线段是解题的关键.,12.(2017南京,27,11分)折纸的思考. 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步,对折矩形纸片ABCD(
15、ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图). 第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到 PBC.,(1)说明PBC是等边三角形. 【数学思考】 (2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化, 可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. (3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角,形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围. 【问题解决】 (4)用一张正方形铁片剪一
16、个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最 小值为 cm.,解析 (1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC, 因此PBC是等边三角形.,解后反思 这是一道阅读理解题,考查了等边三角形的性质、三角形相似等知识点,同时对学生的逻辑思 维能力及动手操作能力要求也比较高,属难题.,考点2 图形的平移,1.(2019苏州,9,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16.将ABO沿点A到点C的方向平 移,得到ABO.当点A与点C重合时,点A与点B之间的距离为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12,答案 C 由菱形及平移的性质得AO=
17、OC=CO=2,BO=OD=BO=8, AOB=AOB=90, AOB为直角三角形. AB= = =10,即点A与点B之间的距离为10. 故选C.,解后反思 本题考查了菱形的对角线互相垂直平分及图形平移的性质,可通过构造直角三角形,运用勾股 定理求得AB的长.,2.(2017苏州,10,3分)如图,在菱形ABCD中,A=60,AD=8,F是AB的中点.过点F作FEAD,垂足为E.将AEF 沿点A到点B的方向平移,得到AEF.设P、P分别是EF、EF的中点,当点A与点B重合时,四边形PPCD的 面积为 ( ) A.28 B.24 C.32 D.32 -8,答案 A 如图,分别过E、P、D点作EN
18、AB,PGAB,DHAB,垂足分别为N,G,H,DH交PP于点M. 在菱形ABCD中,AD=8,A=60,F是AB的中点, AF=4=AH,DH=4 , FEAD,AEF=90. AE=2,EN= ,PGAB,ENAB,PGEN, 又P是EF的中点,PG= EN= . 将AEF平移得到AEF, PPAB,PPDC, 四边形PPCD是平行四边形, DM=DH-PG= . S四边形PPCD=8 =28 . 故选A.,解题关键 本题有一定的难度,考查了平移、菱形的性质,以及三角形中位线的运用,在解题的过程中应用 特殊角的三角函数值求线段的长度是解决本题的关键.,3.(2016泰州,13,3分)如图,
19、ABC中,BC=5 cm,将ABC沿BC方向平移至ABC的位置时,AB恰好经过AC 的中点O,则ABC平移的距离为 cm.,答案 2.5,解析 根据题意得ABAB, O是AC的中点,B是BC的中点, BB= BC=2.5 cm, ABC平移的距离是2.5 cm.,考点3 图形的旋转,1.(2019扬州,1,3分)下列图案中,是中心对称图形的是 ( ),答案 D A.不是中心对称图形,故此选项不符合题意; B.不是中心对称图形,故此选项不符合题意; C.不是中心对称图形,故此选项不符合题意; D.是中心对称图形,符合题意. 故选D.,2.(2019镇江,10,2分)将边长为1的正方形ABCD绕点
20、C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图),使得点D落 在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD= .(结果保留根号),答案 -1,解析 四边形ABCD为正方形, CD=1,CDA=90, 边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置,使得点D落在对角线CF上, CF= ,CFE=45, DFH为等腰直角三角形, DH=DF=CF-CD= -1.,3.(2019宿迁,18,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以 EF为边向右侧作等边EFG,连接CG,则CG的最小值为 .,答案,解题关键 本题考查了线段最值问题
21、,通过旋转构造全等,确定点G的运动轨迹是解题关键.,4.(2016连云港,16,3分)如图,P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、 P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 .,答案 9,解析 CD边扫过的区域如图阴影部分所示.作PFAB(垂足为F)并延长交DC于E,连接PC. 易知四边形BFEC为矩形. FPAB,FB= AB=3,EC=3.S阴影=PC2-PE2=EC2=9.,思路分析 分析确定CD扫过一周形成一个圆环,再利用圆环面积=大圆面积-小圆面积求解.,解题关键 本题考查了垂径定理、正方形的性质、勾股定理等知识.解
22、题的关键是弄清CD绕点P旋转一周 所形成的图形的形状.,5.(2018苏州,17,3分)如图,在RtABC中,B=90,AB=2 ,BC= ,将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得 到ABC,连接BC,则sinACB= .,答案,解析 过点B作BDAC,垂足为D, ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ABC, BAB=90, 1+3=90,又2+3=90, 1=2, AB=2 ,BC= , tan2=tan1= ,AC= = =5, 在RtADB中,设AD=x(x0),则BD=2x,AB= x, 又AB=AB=2 ,5x2=20, 解得x1=2,x2=-2(舍),AD=2,CD=3,BD=4,
23、根据勾股定理得BC= =5, sinACB= = .,解后反思 本题主要考查旋转的性质、勾股定理、正切和正弦的定义.构造直角三角形,运用锐角三角函 数的定义是解题的关键.,6.(2018南通,17,3分)如图,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,点O是BC中点,将ABC绕点O旋转得ABC,则 在旋转过程中点A、C两点间的最大距离是 .,答案 2+,解析 连接OA,AC,如图, 点O是BC中点, OC= BC=2, 在RtAOC中,OA= = , ABC绕点O旋转得ABC, OC=OC=2, ACOA+OC(当且仅当点A、O、C共线时,取等号), AC的最大值为2+ , 即在旋转过程中点A
24、、C两点间的最大距离是2+ .,思路分析 连接OA,AC,易得OC=2,再利用勾股定理计算出OA= ,接着利用旋转的性质得OC=OC=2,根 据三角形三边的关系得到ACOA+OC(当且仅当点A、O、C共线时,取等号),从而得到AC的最大值.,7.(2017盐城,15,3分)如图,在边长为1的小正方形网格中,将ABC绕某点旋转到ABC的位置,则点B运动 的最短路径长为 .,答案,解析 如图,连接AA,分别作线段AA、CC的垂直平分线相交于点P,点P即为旋转中心, 观察图形可知,旋转角为90(逆时针旋转)时B运动的路径长最短,PB= = , 点B运动的最短路径长为 = .,解题关键 本题考查图形的
25、旋转变换、弧长公式、勾股定理等知识点,解题的关键是确定旋转中心和旋转 角的大小.,8.(2017苏州,18,3分)如图,在矩形ABCD中,将ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边BC交 CD边于点G.连接BB、CC,若AD=7,CG=4,AB=BG,则 = (结果保留根号).,答案,解析 如图,连接AG,AC,AC, 由旋转的性质知AB=AB,AC=AC,BAB=CAC, ABBACC, = . 设AB=AB=x.CG=4,GD=x-4, 在RtADG中,AD=7,AG2=72+(x-4)2, 在RtABG中,AB=BG=x, AG2=2x2,72+(x-4)2=2x2,整理得x
26、2+8x-65=0,x1=-13(舍),x2=5. AB=5,AD=7,AC= = , = = .,思路分析 根据相似得到 = ,从而求出AC、AB的长即可.,评析 本题综合考查了三角形相似、勾股定理等知识点,有一定的难度.本题的难点在于根据相似得到 = ,及求AC、AB的长.,9.(2019淮安,23,8分)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A、B都在格点上(两条网格线 的交点叫格点). (1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90,点B1的对应点为点B2,请
27、画出旋转后的线段A1B2; (3)连接AB2、BB2,求ABB2的面积.,解析 (1)线段A1B1如图所示. (2)线段A1B2如图所示. (3) =44- 22- 24- 24=6.,B组 20152019年全国中考题组,考点1 图形的轴对称,1.(2019天津,4,3分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( ),答案 A 根据轴对称图形的概念可得选项B、C、D都不是轴对称图形,“美”可以看作轴对称图形.故选 A.,2.(2019河北,9,3分)如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使 它们与原来涂黑的小
28、正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为 ( ) A.10 B.6 C.3 D.2,答案 C 正三角形恰有三条对称轴,所以联想把图中的三个小正三角形涂黑,而当n=1或2时,不能出现符 合题意的新图案,所以n的最小值为3,故选C.,3.(2015重庆,2,4分)下列图形是轴对称图形的是 ( ),答案 A A选项是轴对称图形,B、C、D选项都不是轴对称图形,故选A.,4.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由A
29、BCD,得1=BAB,CAB=CAB= 1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,评析 折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义上 说,折叠问题其实就是轴对称问题.,5.(2016天津,10,3分)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC相交于点E,则 下列结论一定正确的是 ( ) A.DAB=CAB B.ACD=BCD C.AD=AE D.AE=CE,答案 D 由折叠知,EAC=BAC, ABCD,ECA=BAC, EAC=ECA,AE=CE.故选D.,6.(2015福建福州
30、,7,3分)如图,在33的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直 线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是 ( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点,答案 B 以点B为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C关于坐标轴对称,故 选B.,7.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB= S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和 PA+PB的最小值为 ( ) A. B. C.5 D.,答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称
31、点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距 离为h,由AB=5,AD=3,SPAB= S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交 点时,PA+PB最小,其最小值为 = ,故选D.,疑难突破 本题的突破口是根据SPAB= S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称 的性质将问题转化.,8.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有 一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A
32、处到内壁B处的 最短距离为 cm(杯壁厚度不计).,答案 20,解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过 B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB= = =20,即蚂蚁 从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,考点2 图形的平移,1.(2018四川宜宾,7,3分)如图,将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置,已知ABC的面积为9,阴 影部分三角形的面积为4,若AA=1,则AD等于 ( ) A.2 B.3 C. D.,2.(2018山东东营,9,3分)如图,把ABC沿着B
33、C的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是ABC 面积的一半,若BC= ,则ABC移动的距离是 ( ) A. B. C. D. -,答案 D ABC沿BC的方向平移到DEF的位置, ABDE,ABCHEC, = = , ECBC=1 , BC= ,EC= , BE=BC-EC= - .故选D.,3.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30.矩形CODE 的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2. (1)如图1,求点E的坐标; (2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为
34、C,O,D,E.设OO=t,矩形CO DE与ABO重叠部分的面积为S. 如图2,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子 表示S,并直接写出t的取值范围; 当 S5 时,求t的取值范围(直接写出结果即可).,解析 (1)由点A(6,0),得OA=6, 又OD=2,AD=OA-OD=4, 在矩形CODE中,有EDCO,得AED=ABO=30, 在RtAED中,AE=2AD=8, 由勾股定理,得ED= =4 , 点E的坐标为(2,4 ). (2)由平移知,OD=2,ED=4 ,ME=OO=t, 由EDBO,得EFM=ABO=30, 在RtMFE
35、中,MF=2ME=2t, 由勾股定理,得FE= = t, SMFE= MEFE= t t= t2, S矩形CODE=ODED=8 ,S=S矩形CODE-SMFE=8 - t2, S=- t2+8 ,其中t的取值范围是0t2. t6- . 提示:当0t2时,S=- t2+8 , t=0时,Smax=8 ;t=2时,Smin=6 ,6 S8 ,不在范围内. 当2t4时,如图,OA=6-t,DA=4-t, 根据勾股定理得ON= (6-t),DF= (4-t), S= (6-t)+ (4-t)2=-2 t+10 ,2 S6 . 当S=5 时,t= , t4. 当4t6时,如图,OA=6-t,根据勾股定
36、理得ON= (6-t), S= (6-t) (6-t)= t2-6 t+18 ,0S2 . 当S= 时,t1=6+ (舍去),t2=6- ,4t6- . 综上所述, t6- .,易错警示 此题为动态几何问题,需按矩形CODE与ABO重叠部分的形状变化分类讨论,若只画出其中 一种情况,则会因为考虑不全而产生错误.,4.(2015山东聊城,19,8分)在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,ABC的顶点均在 格点上,点A的坐标是(-3,-1). (1)将ABC沿y轴正方向平移3个单位得到A1B1C1.画出A1B1C1,并写出点B1的坐标; (2)画出A1B1C1关于y轴对称的A2
37、B2C2,并写出点C2的坐标.,解析 (1)A1B1C1的位置如图所示. (3分) 点B1的坐标是(-2,-1). (4分) (2)A2B2C2的位置如图所示. (7分) 点C2的坐标是(1,1). (8分),5.(2018福建,21,8分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转9 0得到,EFG由ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D. (1)求BDF的大小; (2)求CG的长.,解析 (1)线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到, DAB=90,AD=AB=10. ABD=45. EFG由ABC沿CB方向平移得到,ABE
38、F, BDF=ABD=45. (2)由平移的性质可得AECG,ABEF,且AE=CG. DEA=DFC=ABC,ADE+DAB=180, DAB=90,ADE=90, ACB=90,ADE=ACB,ADEACB, = , AC=8,AB=AD=10,AE= ,CG=AE= .,解后反思 本题考查图形的平移与旋转、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角 形、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查运算能力、推理能力、数形结合思想、化归与转化思想.,考点3 图形的旋转,1.(2019天津,11,3分)如图,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的 对
39、应点为E,连接BE,下列结论一定正确的是 ( ) A.AC=AD B.ABEB C.BC=DE D.A=EBC,答案 D 由旋转的性质可知,AC=CD,但AC不一定等于AD,选项A不符合题意.由旋转的性质可知,BC= EC,但BC不一定等于DE,选项C不符合题意.根据旋转的性质可得,ACD=ECB,AC=CD,BC=CE,A= CDA= (180-ACD),EBC=CEB= (180-ECB),A=EBC,选项D符合题意.根据题意无法得 到ABE=90,B选项不符合题意.故选D.,2.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排列,若 A
40、点的坐标为(2, ),则B点与D点的坐标分别为 ( ) A.(-2, ),(2,- ) B.(- ,2),( ,-2) C.(- ,2),(2,- ) D. ,思路分析 根据题意画出图形,分别过点A,D作AEx轴,DFy轴,证AOEDOF,根据点A的坐标求出 点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.,答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E,F,四边形ABCD为正方形,AO= DO,AOD=EOF=90,1=2,AEO=DFO=90,AOEDOF.OF=OE=2,DF=AE= , D( ,-2),点B与点D关于原点对称,B(- ,2),故选B.,3.(2018内蒙
41、古鄂尔多斯,5,3分)如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案,若将三角尺DEF绕点M按顺时 针方向旋转,则边DE与边AB第一次平行时,旋转角的度数是 ( ) A.75 B.60 C.45 D.30,答案 C 过M作MHAB交BC于H, ABBC,MHBC, BMH是等腰直角三角形, BMH=45, 将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转,则边DE与边AB第一次平行时,旋转角的度数是45.故选C.,4.(2018辽宁大连,10,3分)如图,将ABC绕点B逆时针旋转,得到EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则 CAD的度数为 ( ) A.90- B. C.180- D.2,答案 C 由题意可得,
42、CBD=,ACB=EDB, EDB+ADB=180, ADB+ACB=180, ADB+DBC+BCA+CAD=360,CBD=, CAD=180-,故选C.,5.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应 点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .,答案 3,解析 根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,AD=DE=3,D=90, 即ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE= =3 ,所以AB=AE=3 .,解题关键 熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.,6.(201
43、6宁夏,16,3分)在平面直角坐标系xOy中,ABC由ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为 .,答案 (1,-1),解析 根据旋转的性质知,旋转中心点P在对应点连线的垂直平分线上.AA的垂直平分线为x=1,设点P(1,y), 则PC=PC.由题图知C(-1,0),C(2,1),所以(1+1)2+y2=(1-2)2+(y-1)2,解得y=-1.所以P(1,-1).,7.(2017河北,25,11分)平面内,如图,在ABCD中,AB=10,AD=15,tan A= .点P为AD边上任意一点,连接PB,将 PB绕点P逆时针旋转90得到线段PQ. (1)当DPQ=10时,求APB的大小; (2)当ta
44、nABPtan A=32时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号); (3)若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留). 备用图,解析 (1)当点Q与B在PD异侧时,由DPQ=10,BPQ=90得BPD=80, APB=180-BPD=100. 当点Q与B在PD同侧时,如图1,APB=180-BPQ-DPQ=80. APB是80或100. (4分) (2)如图1,过点P作PHAB于点H,连接BQ. tanABPtan A= =32, 图1,AHHB=32. 而AB=10,AH=6,HB=4. (6分) 在RtPHA中,PH=AHtan A=8. PQ=
45、PB= = =4 . 在RtPQB中,QB= PB=4 . (8分) (3)16或20或32. (11分) 【注:下面是(3)的一种解法,仅供参考,解答过程如下: 点Q在AD上时,如图2,由tan A= 得PB=ABsin A=8, S阴影=16.,图2 点Q在CD上时,如图3,过点P作PHAB于点H, 交CD延长线于点K,由题意得K=90,KDP=A. 设AH=x(x0),则PH=AHtan A= x,AP= x. BPH=KQP=90-KPQ,PB=QP, RtHPBRtKQP. KP=HB=10-x,PD= (10-x), AD=15= x+ (10-x), 解得x=6. PH=8,HB=4, PB2=80,S阴影=20. 图3 点Q在BC延长线上时,如图4,过点B作BMAD于点M,由得BM=8.,图4 又MPB=PBQ=45,PB=8 ,S阴影=32.】,思路分析 (1)分以下两种情形求解:点Q和点B在PD同侧,点Q和点B在PD异侧;(2)过点P作PHAB于 H.当tanABPt
