1、A组 20152019年浙江中考题组,考点一 多边形,1.(2019衢州,9,3分)如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成,其中等边三角形的高为原来的纸带宽度, 所以原来的纸带宽度= 2= .故选C.,2.(2016嘉兴,6,4分)已知一个正多边形的内角是140,则这个正多边形的边数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 D 设该正多边形有n条边,则(n-2)180=140n,解这个方程,得n=9,故选D.,3.(2017湖州,11,4分)已知一个多
2、边形的每一个外角都等于72,则这个多边形的边数是 .,答案 5,解析 一个多边形的每一个外角都等于72, 此多边形为正多边形, 多边形的外角和为360, 所求多边形的边数为36072=5.,4.(2016金华,16,4分)由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF,相邻两钢管可以转动.已知各钢管的 长度为AB=DE=1米,BC=CD=EF=FA=2米.(铰接点长度忽略不计) (1)转动钢管得到三角形钢架,如图1,则点A,E之间的距离是 米; (2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架,有A=B=C=D=120,现用三根钢条连接顶点,使该钢架不 能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是 米.
3、图1 图2,答案 (1) (2)3,解析 (1)如图,连接AE.由题意可得FB=DF=3,又已知FA=FE=2, = = ,又F=F,FAE FBD, = = ,又BD=4,AE= ,则点A,E之间的距离是 米. (2)如图,由题意可知,BACDEC(SAS),BAC=DEC,AC=EC,又AF=FE,FC=FC,ACF ECF(SSS),CAF=CEF,BAC+CAF=DEC+CEF,即BAF=DEF=120.AFE=(6-2) 180-1205=120.,在以上条件下,通过判定三角形全等,可得到六边形中三组相等的对角线:AC=BF=DF=EC,BD=AE,BE=AD (六边形的对角线CF与
4、其他对角线都不相等). 作BNFA交FA的延长线于N,延长AB、DC交于点M. 以下求BF、AE、BE、CF的长:FAB=120,BAN=60. 在RtBAN中,BNA=90,AB=1,BAN=60, AN= AB= ,BN= = . 在RtBFN中,FN=AN+AF= +2= ,BN= , BF= . 在等腰AFE中,AF=EF=2,AFE=120,可求得AE=2 . 易知BAE=90,在RtABE中,由AB=1,AE=2 ,可求得BE= . MBC=MCB=60,M=60,MBC为等边三角形. M+MAF=180,AFMC,又MC=BC=AF,四边形AMCF是平行四边形. CF=AM=3.
5、 32 ,要用三根钢条连接顶点,使该钢架不能活动,且使三根钢条之和最短,只需三根钢条位 于AC、BF、CE、DF中的任意三条线段处即可,所用三根钢条总长度的最小值为3 .,关键提示 本题难度较大,综合性强,主要考查三角形的稳定性、勾股定理、等边三角形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质等,解决本题的关键是作出辅助线,求出各条对角线的长度.,解析 (1)画法不唯一,如图或图,图中的格点正方形的面积分别为9,5. (2)画法不唯一,如图,图.,6.(2017宁波,26,14分)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1,在半对角四边形ABCD中,B= D,C= A,求
6、B与C的度数之和; (2)如图2,锐角ABC内接于O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO.OBA的平分线交OA于点E,连接DE并 延长交AC于点F,AFE=2EAF. 求证:四边形DBCF是半对角四边形; (3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DGOB于点H,交BC于点G.当DH=BG时,求BGH与ABC的面积之比.,解析 (1)在半对角四边形ABCD中,B= D,C= A. A+B+C+D=360, 3B+3C=360, B+C=120, 即B与C的度数之和为120. (2)在BED和BEO中, BEDBEO(SAS). BDE=BOE.,又BCF= BOE, BCF= BDE. 如图,
7、连接OC. 设EAF=,则AFE=2EAF=2. EFC=180-AFE=180-2. OA=OC, OAC=OCA=, AOC=180-OAC-OCA=180-2. ABC= AOC= EFC. 四边形DBCF是半对角四边形.,评析 该新定义题实现了四边形与圆的完美融合,立意深刻,新颖脱俗.试题通过分层设问,逐步递进,将四边 形的内角和、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、圆的基本性质、含30角的直角三角形的三边关 系等核心知识与方程思想、转化思想等融合一体,该题综合考查了学生的阅读理解能力、观察分析能力、 直观感知能力.,考点二 平行四边形的性质,1.(2019台州,8,4分)如图,有两张
8、矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm.把纸片ABCD交叉叠放 在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成的角最小时,tan 等于 ( ) A. B. C. D.,MD=ND.又四边形DNKM是平行四边形, 四边形DNKM是菱形,KM=DM.sin =sinDMC= , 当点B与点E重合时,两张纸片交叉所成的角最小. 设MD=a=BM,则CM=8-a. MD2=CD2+MC2,a2=4+(8-a)2, a= ,CM= , tan =tanDMC= = ,故选D.,答案 C 四边形ABCD是平行四边形, CD=AB=2,BC=A
9、D,D=ABC=CAD=45, AC=CD=2,ACD=90, 即ACD是等腰直角三角形, BC=AD= =2 . 故选C.,3.(2018台州,8,4分)如图,在ABCD中,AB=2,BC=3,以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点 Q,再分别以点P,Q为圆心,大于 PQ的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的 长是 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 由题意可知CE是BCD的平分线,BCE=DCE.四边形ABCD是平行四边形,AB CD,DCE=E,BCE=AEC,BE=BC=3,AB=2,AE=BE-AB=1,故选B.,4.(201
10、9金华、丽水,21,8分)如图,在OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于 点D. (1)求 的度数; (2)如图,点E在O上,连接CE与O交于点F,若EF=AB,求OCE的度数.,解析 (1)连接OB, BC是圆的切线,OBBC, 四边形OABC是平行四边形, OABC,OBOA, AOB是等腰直角三角形,ABO=45, 的度数为45. (2)连接OE,过点O作OHEC于点H,设EH=t,OHEC,EF=2HE=2t, 四边形OABC是平行四边形,AB=CO=EF=2t, AOB是等腰直角三角形,OA= t, 则HO= = =t, OC=2OH,OCE=30.,5
11、.(2016台州,23,12分)定义:有三个内角相等的四边形叫三等角四边形. (1)三等角四边形ABCD中,A=B=C,求A的取值范围; (2)如图,折叠平行四边形纸片DEBF,使顶点E,F分别落在边BE,BF上的点A,C处,折痕分别为DG,DH. 求证:四边形ABCD是三等角四边形; (3)三等角四边形ABCD中,A=B=C,若CB=CD=4,则当AD的长为何值时,AB的长最大,其最大值是多 少?并求此时对角线AC的长.,解析 (1)1803A360,60A120. (2)证明:四边形DEBF是平行四边形, E=F,E+B=180. 由折叠,得E=DAE,F=DCF, DAE=DCF,DAB
12、=DCB, DAB+DAE=180, DAB=B,DAB=DCB=B, 四边形ABCD是三等角四边形. (3)当60A90时,如图1所示, 过点D作DFAB交BC于点F,作DEBC交AB于点E. 四边形BEDF是平行四边形,DFC=B=DEA, EB=DF,DE=FB. A=B=C,DFC=B=DEA,DA=DE,DNAB.AN= AE= . DAN=CBM,DNA=CMB=90,DANCBM. = .BM=1,AM=4,CM= . AC= = .,考点三 平行四边形的判定,1.(2016绍兴,7,4分)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同 的平行四边形
13、玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 带不能确定平行四边形任一边长;带或只能确定平行四边形一对对边边长;带 可以确定平行四边形玻璃的原貌,故选D.,2.(2019湖州,21,8分)如图,已知在ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DF,EF,BF. (1)求证:四边形BEFD是平行四边形; (2)若AFB=90,AB=6,求四边形BEFD的周长.,解析 (1)证明:D,E,F分别是AB,BC,AC的中点, DFBC,FEAB, 四边形BEFD是平行四边形. (2)AFB=90,D是AB的中点,AB=6, DF=DB=DA= AB=3.四
14、边形BEFD是菱形. DB=3,四边形BEFD的周长为12.,3.(2019嘉兴,20,8分)在66的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图: (1)在图1中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形; (2)在图2中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法).,解析 (1)画出图形如图所示. (2)如图所示.,4.(2016温州,20,8分)如图,在方格纸中,点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点四边形,使P在四 边形内部(不包括边界),且P到四边形的两个顶点的 . (1)在图甲中画出一个ABCD; (2)在图乙中画出一个四边形ABCD
15、,使D=90,且A90.,解析 (1)画法不唯一,如图,等. (2)画法不唯一,如图,等.,5.(2017温州,21,10分)如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,O(圆心O在ABC内部)经过B、C两点,交AB 于点E,过点E作O的切线交AC于点F,延长CO交AB于点G,作EDAC交CG于点D. (1)求证:四边形CDEF是平行四边形; (2)若BC=3,tanDEF=2,求BG的值.,解析 (1)证明:连接OE. AC=BC,ACB=90,B=45,COE=90. EF与O相切,FEO=90, COE+FEO=180,EFCO. DECF,四边形CDEF是平行四边形.,(2)过点G作G
16、HCB于点H. ACB=90,ACGH,FCD=CGH. 在CDEF中,DEF=FCD,DEF=CGH, tanCGH=tanDEF=2, =2. B=45,GH=BH,CH=2BH. BC=3,BH=GH=1,BG= .,思路分析 (1)连接EO,通过切线证明EFCO,结合DECF证得四边形CDEF是平行四边形.(2)过G作GH BC,由(1)可证明CGH=DEF,结合tanDEF=2,B=45,BC=3求出BH,GH的长,从而求BG.,解析 (1)证明:DEAB,EDC=ABD. CEAM,ECD=AMB. 又AM是ABC的中线,且D与M重合,BD=DC, ABDEDC,AB=ED,又AB
17、ED, 四边形ABDE为平行四边形. (2)结论成立,理由如下: 过点M作MGDE交EC于点G. CEAM,四边形DMGE为平行四边形, ED=GM且EDGM, 由(1)可得AB=GM且ABGM,AB=ED且ABED. 四边形ABDE为平行四边形. (3)取线段HC的中点I,连接MI, MI是BHC的中位线,MIBH,MI= BH. 又BHAC,且BH=AM,MI= AM,MIAC, CAM=30. 设DH=x,则AH= x,AD=2x, AM=4+2x,BH=4+2x, 由(2)已证四边形ABDE是平行四边形,FDAB, = ,即 = , 解得x=1+ 或x=1- (不合题意,舍去). DH
18、=1+ .,关键提示 本题是平行四边形的综合题,考查平行四边形的判定和性质,用到了三角形全等的知识.对于第 (3)问,关键是构造三角形中位线,利用边的关系得出含特殊角的直角三角形.,考点一 多边形,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019福建,5,4分)已知正多边形的一个外角是36,则该正多边形的边数为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,答案 B 设该正多边形的边数为n,则n= =10,故选B.,2.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 ( ) A.2 160 B.2 080 C.1 980 D.1 800,答案 D 根据多边形的内角和公式(n-2)180,
19、可得十二边形的内角和等于(12-2)180=1 800.故选D.,3.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为 上的一点(点P不与点D重合),则CPD的 度数为 ( ) A.30 B.36 C.60 D.72,答案 B 连接CO,DO,五边形ABCDE为正五边形,COD= 360=72,CPD= COD=36,故 选B.,4.(2018山东济宁,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300,DP、CP分别平分EDC、BCD,则 P的度数是 ( ) A.50 B.55 C.60 D.65,答案 C 在五边形ABCDE中,A+B+BCD+CDE+E=(5-2
20、)180=540,又因为A+B+E=300, 所以BCD+CDE=240.因为DP、CP分别平分EDC、BCD,所以PCD= BCD,PDC= CDE, 所以PCD+PDC= (BCD+CDE)= 240=120.在PCD中,PCD+PDC+P=180,所以P= 180-(PCD+PDC)=180-120=60.,思路分析 根据五边形内角和求出BCD与CDE的和,再根据角平分线及三角形内角和求出P.,5.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边 形的中心,则MON的度数是 度.,答案 72,解析 解法一:连接OA,
21、OB, O为正五边形ABCDE的中心, OAM=OBN, 又OA=OB,AM=BN, OAMOBN, AOM=BON, MON=AOB= =72. 解法二:特殊位置法,当OMAB,ONBC时,MON=180-B=72.,解法三:作OPAB,OQBC,如图所示. 易证RtOPMRtOQN,则POM=QON, MON=POQ=180-B=72.,1.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为 圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两 弧在AOB内交于点
22、F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为 ( ) A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),考点二 平行四边形的性质,答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=AO= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,思路分析 根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股定理可求相 关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载体为一种数
23、学模型,如下图,若存 在3个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得出第三个.,2.(2019湖北武汉,14,3分)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,ADF=90,BCD=63,则 ADE的大小是 .,答案 21,解析 设ADE=x,AE=EF,ADF=90,DE=AE=EF. DAE=x.DEC=2x. 又AE=EF=CD,DC=DE.DCE=2x. ADBC,BCA=DAE=x. BCD=3x=63.x=21.即ADE=21.,3.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4 ,BD=4,则平行四边形ABC
24、D的面积等于 .,答案 16 或8,解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 图1 在RtADE中,A=30,AD=4 , DE= AD= 4 =2 , AE= AD= 4 =6. 在RtBDE中,由勾股定理得BE= = =2, AB=AE+BE=6+2=8, SABCD=ABDE=82 =16 .,当ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2 ,AE=6,BE=2, 图2 AB=AE-BE=6-2=4, SABCD=ABDE=42 =8 . 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16 或8 .,方法点拨 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平
25、行四边 形的一边长及该边上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎刃而 解了.,4.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,且EF= AB;G、H是BC边 上的点,且GH= BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 .,答案 2S1=3S2,解析 如图,连接AC,BD,交点为O,四边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF= AB,S1= SABO,GH= BC,S2= SOBC,所以2S1=3S2.,5.(2019吉林,18,5分)如图,在ABCD中,
26、点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F.连接BE, DF.求证:ABECDF.,证明 四边形 ABCD为平行四边形, AB=CD,A=C. (2分) 由作图,得AE=CF, (3分) ABECDF. (5分),考点三 平行四边形的判定,1.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出四边形AECF一定为平 行四边形的是( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF,所以四边形AECF一定是平行四边形,故A不
27、符合题意; 当AFCE时,如图1, 则AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC,所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 当BAE=DCF时,如图1,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF,所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意;,如图2,其中AE=CF, 但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意. 图1 图2,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,2.(2019福建,21,8分)在RtABC中,ABC=90,ACB=30.将ABC绕点C顺
28、时针旋转一个角度得到 DEC,点A,B的对应点分别为D,E. (1)若点E恰好落在边AC上,如图1,求ADE的大小; (2)若=60,F为AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.,解析 本小题考查图形的旋转、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、三角形内角和、平行四边形的 判定等基础知识,考查运算能力、推理能力. (1)在RtABC中,ABC=90,ACB=30,BAC=60. 由旋转性质得,DC=AC,DCE=ACB=30. DAC=ADC= (180-DCE)=75, 又EDC=BAC=60, ADE=ADC-EDC=15. (2)证明:在RtABC中,ABC=90,ACB=3
29、0, AB= AC. F是AC的中点,BF=FC= AC, FBC=ACB=30,AB=BF. 由旋转性质得AB=DE,DEC=ABC=90,BCE=ACD=60,DE=BF. 延长BF交EC于点G,则BGE=GBC+GCB=90, BGE=DEC,DEBF, 四边形BEDF是平行四边形.,一题多解 (2)在RtABC中,ABC=90,ACB=30, AB= AC,A=60. F是AC的中点, AF=BF=FC= AC, AB=BF=FC. 由旋转性质得AB=DE,EDC=A=60,ACD=60. DE=BF,DE=FC,EDC=ACD. CD=DC,EDCFCD. CE=DF. 由旋转性质得
30、BEC为等边三角形, CE=BE,DF=BE. 又DE=BF,四边形BEDF是平行四边形.,证明: (3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .,C组 教师专用题组,考点一 多边形,1.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 ( ),答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D.,2.(2017辽宁沈阳,10,2分)正六边形ABCDEF内接于O,正六边形的周长是12,则O的半径是 ( ) A. B.2 C.2 D.2,答案 B 由正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,则BOC= =60,所以BOC为等边三角 形,所以OB=BC=2,即O的半径为2,故选B.,3.(2016江
31、苏南京,5,2分)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 B 正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六边形的 内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2sin 60= ,故选B.,4.(2016四川南充,10,3分)如图,正五边形的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点 M,N.给出下列结论: AME=108;AN2=AMAD;MN=3- ;SEBC=2 -1.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 如图,五边形ABCDE是正五
32、边形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABDEA, AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正确; 易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108, AEMADE, = ,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正确; 设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1= -1,x2=- -1(不合题意,舍去),AD= -1+2= +1,MN=AN-AM=3- ,故正确; 作EHBC于点H,则BH= BC=1,EB=AD= +1,EH= = ,SEBC= BCEH= 2
33、= ,故错误.故选C.,5.(2015丽水,5,3分)一个多边形的每个内角均为120,则这个多边形是 ( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形,答案 C 解法一:多边形的每个内角均为120, 每个外角的度数是180-120=60. 多边形的外角和是360, 这个多边形的边数是36060=6.故选C. 解法二:设该多边形为n边形,则(n-2)180=120n,解得n=6.,6.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,
34、由多边形内角和公式可知内角 和为180(6-2)=720.故选C.,7.(2015台州,16,5分)如图,正方形ABCD的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O 可任意旋转,在旋转过程中,这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边),当这个六边形的边长最 大时,AE的最小值为 .,答案,解析 连接AC,根据正方形的性质可得,AC= ,则AO= ,当正六边形的边长最大时,正六边形的大小如图 所示,连接FI、AE、OE,易得FI=1,正六边形边长为 ,OE= ,在旋转过程中,当O、A、E三点共线时,AE 的长度最小,则AE的最小值为OA-OE= - = .,思路
35、分析 当正六边形EFGHIJ的边长最大时,对角线最长,分析知对角线最长为正方形边长,此时要使AE 最小,只需六边形对角线EH与正方形对角线AC重合,由此即可解决问题.,方法总结 解决此类题时,需理解题意,画出图形,化动为静.,评析 本题考查的知识点有正方形、正六边形的性质,旋转的性质,最值问题,本题对学生的平面几何的想 象能力要求较高,难度较大.,8.(2016衢州,23,10分)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由. (2)性质探究:试探索垂美四边形ABCD两组对边
36、AB,CD与BC,AD之间的数量关系. 猜想结论:(要求用文字语言叙述) 写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证). (3)问题解决:如图3,分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接 CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE长.,解析 (1)是垂美四边形.理由: 连接AC、BD. AD=AB,点A在BD的垂直平分线上, CB=CD,点C在BD的垂直平分线上, AC所在直线是BD的垂直平分线,ACBD, 四边形ABCD是垂美四边形. (2)猜想结论:垂美四边形两组对边的平方和相等. 已知:如图,在四边形ABCD中,对角线ACBD,垂足是点E.
37、 求证:AD2+BC2=AB2+CD2. 证明:ACBD,AED=BEC=AEB=CED=90,AD2+BC2=DE2+AE2+BE2+CE2, AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,AD2+BC2=AB2+CD2. (3)如图,连接CG,BE,设CE、CA分别交GB于点M、N. GAC=BAE=90,BAG=CAE, AG=AC,AB=AE,BAGEAC, AGN=ACM,CNM=ANG, CMN=NAG=90, BGCE,即四边形CGEB是垂美四边形. CG2+BE2=BC2+GE2,CG2=42+42=32,BE2=52+52=50,BC2=52-42=9,32+50=9+GE
38、2.GE2=73,GE= .,9.(2017江苏南京,14,2分)如图,1是五边形ABCDE的一个外角.若1=65,则A+B+C+D= .,答案 425,解析 因为1=65,所以AED=115. 因为五边形内角和是180(5-2)=540, 所以A+B+C+D=540-115=425.,10.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图 所示,则AOB等于 .,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-108=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,11.(20
39、16河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析 (1)甲对,乙不对. (2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4. (3分) =630,(n-2)180=630,解得n= . n为整数,不能取630. (5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180. (7分) 解得x=2. (9分),关键提示 本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一
40、起的题目,解题的关键是熟练掌握多 边形的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一个常 识性的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,考点二 平行四边形的性质,1.(2017贵州贵阳,8,3分)如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接CE,若 CED的周长为6,则ABCD的周长为 ( ) A.6 B.12 C.18 D.24,答案 B EF垂直平分AC,AE=CE,CED的周长=CE+DE+CD=AE+ED+CD=AD+CD=6,ABCD 的周长=(AD+CD)2=62=12.故选B.,2.(2016山东淄博,
41、7,4分)如图,ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD= BC,点G是AB上一点,点H在 ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影的面积是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B 设ABC底边BC上的高为h,AGH底边GH上的高为h1,CGH底边GH上的高为h2,则有h=h1+h2, 由题意知SABC= BCh=16, S阴影=SAGH+SCGH= GHh1+ GHh2= GH(h1+h2)= GHh. 四边形BDHG是平行四边形,且BD= BC, GH=BD= BC, S阴影= = = SABC=4.,思路分析 本题考查三角形的面积的计算,平行四边形的性质及整体
42、思想,解题关键是能整体求解.这里两 阴影部分以公共边GH为底,则高的和等于ABC中BC边上的高.,3.(2016山东泰安,7,3分)如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF 的值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,AD=BC=8,AB=DC=6,ABCD,ADBC,1=F,2=3, 又CF平分BCD,1=2, 又3=4,1=3=F=4, DE=DC=AB=6,则AE=AF=AD-DE=2, AE+AF的值等于4.,4.(2016湖南株洲,7,3分)已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、B
43、D交于点O,E是BC的中点,以下说法 错误的是 ( ) A.OE= DC B.OA=OC C.BOE=OBA D.OBE=OCE,答案 D 四边形ABCD是平行四边形, ABDC,OA=OC,OB=OD, 又点E是BC的中点,OE是ABC和BCD的中位线, OEAB,OE= DC, OEAB,BOE=OBA, 由条件推不出OBE=OCE,D中说法错误.故选择D.,5.(2016山东济南,13,3分)如图,在ABCD中,AB=12,AD=8,ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点 E,CGBE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为 ( ) A. B.4 C.2 D.,答案 C ABC的
44、平分线交CD于点F, ABE=CBE, 四边形ABCD是平行四边形,DCAB,ADBC, CBE=CFB=ABE=E, CF=BC=AD=8,AE=AB=12, DE=4,DCAB, = , = , EB=6,CF=CB,CGBF, BG= BF=2, 在RtBCG中,BC=8,BG=2, 根据勾股定理得,CG= = =2 ,故选C.,审题技巧 题目中出现平行线和角平分线时,极易出现等腰三角形.,6.(2016丽水,7,3分)如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则OBC的周长为 ( ) A.13 B.17 C.20 D.26,答案 B 四边形ABCD是
45、平行四边形,AC=6,BD=12, OA=OC=3,OB=OD=6. 又BC=AD=8, OBC的周长=OB+OC+BC=6+3+8=17.故选B.,7.(2016衢州,5,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,M是BC延长线上的一点.若A=135,则MCD的度数 是 ( ) A.45 B.55 C.65 D.75,答案 A 四边形ABCD是平行四边形,BCD=A=135,MCD=180-BCD=180-135=45.故 选A.,8.(2015衢州,4,3分)如图,在ABCD中,已知AD=12 cm,AB=8 cm,AE平分BAD交BC边于点E,则CE的长等于 ( ) A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm,答案 C 四边形ABCD是平行四边形, BC=AD=12
