1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角为（）ABCD2已知复数是的共轭复数，则（）ABCD3已知向量 ，分别是直线 、的方向向量，若 ，则下列几组解中可能正确的是（）ABCD4已知点，点在直线上，则|MP|的最小值是（）AB1CD5如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）ABCD6已知函数的零点分别为 a，b，c，则 a，b，c 的大小顺序为（）ABCD7如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 分别是棱 、的中点，则点 到平面 的距离等于（）ABCD8在如图所示的平行六面体中，已知，N 为上一点，且，若，
2、则（）ABCD二、多选题二、多选题9有一组样本数据 ，和一组样本数据 ，如果 ，其中 为非零常数，则（）A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本方差相同C两组样本数据的样本中位数相同D两组样本数据的样本极差相同10一箱产品有正品 10 件，次品 2 件，从中任取 2 件，有如下事件，其中互斥事件有（）A“恰有 1 件次品”和“恰有 2 件次品”B“至少有 1 件次品?和“都是次品”C“至少有 1 件正品”和“至少有 1 件次品”D“至少有 1 件次品”和“都是正品”11已知函数 ，则下列说法正确的是（）A函数 的周期为 B函数 图象的一条对称轴为直线 C函数 在 上单调递增D函数 的
3、最小值为-412在正三棱柱 中，点 满足 ，其中 ，则（）A当 时，的周长为定值B当 时，三棱锥 的体积为定值C当 时，有且仅有一个点 ，使得 D当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 三、填空题三、填空题13某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 150 的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查，已知该校高一年级共有学生 660 人，高三年级共有 540 人.抽取的样本中高二年级有 50 人，则该校高二学生总数是 人.14已知直线与直线垂直，且垂足为，则的值为 15设的对角线和交于为空间任意一点，如图所示，若，则 16如图，在三棱锥 中，已知 ，设 ，则 的最小值为 .四、解答
4、题四、解答题17已知直线和的交点为（1）若直线 经过点且与直线平行，求直线 的方程；（2）若直线经过点且与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，求的面积（其中 O 为坐标原点）1820 名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计 20 名学生数学考试成绩的众数，中位数；（3）已知成绩在内的男生数与女生数的比例为，若在成绩为内的人中随机抽取 2 人进行座谈，求恰有 1 名男生和 1 名女生的概率.19如图所示，在四棱锥中，且，底面为正方形.（1）设试用表示向量；（2）求的长.20已知角 A，B，C
5、 是ABC 的内角，向量 ，（1）求角 A 的大小；（2）求函数 的值域.21如图，在四棱锥中，平面，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.22设常数，函数（1）若 a=1，求 f(x)的单调区间；（2）若 f(x)是奇函数，且关于 x 的不等式 mx2+mff(x)对所有的 x-2，2恒成立，求实数 m 的取值范围答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】设直线的倾斜角为，斜率为，则.故答案为：B.【分析】由直线的方程即可得出直线的斜率，由斜率公式即可得出倾斜角的大小。2【答案】A【解析】【解答】，则故答案为：A【分析
6、】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由共轭复数的定义即可得出答案。3【答案】A【解析】【解答】由题意 ，即 ，代入各选项中的值计算，只有 A 满足 。故答案为：A【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为 0，从而选出满足要求的 x,y 的值。4【答案】C【解析】【解答】因为点在直线上，所以|MP|的最小值是点到直线的距离，即：.故答案为：C.【分析】根据题意由点到直线的距离公式，代入数值计算出结果即可。5【答案】D【解析】【解答】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的 2 个都开，上边的 2 个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为 ，所以
7、灯泡亮的概率为 ，故答案为：D【分析】利用已知条件结合互斥事件和相互独立事件求概率公式，从而求出灯亮的概率。6【答案】B【解析】【解答】解：由得，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、的图象，由图象知，.故答案为：B【分析】求出三个函数零点时 x 的表达式，在同一平面直角坐标系中画出、的图象，即可得到 a，b，c 的大小关系.7【答案】D【解析】【解答】以 为坐标原点，分别以 ，的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，.设平面 的法向量为 ，则 ，即 令 ，得 .又 ，点 到平面 的距离 。故答案为：D.【分析】以 为坐标原点，分别以 ，的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角
8、坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。8【答案】D【解析】【解答】令，因为，所以，令，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，解得，故答案为：D【分析】根据题意由平行六面体的几何性质结合向量的加减运算性质，整理化简再由数量积的运算公式代入数值即可得出关于的方程，计算出结果即可。9【答案】B,D【解析】【解答】A 中，且 ，故平均数不相同，错误；B 中，故方差相同，正确；C 中，若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；D 中，由极差的定义知，若第一组
9、的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；故答案为：BD.【分析】直接利用平均数、中位数、方差、极差的定义判断即可.10【答案】A,D【解析】【解答】A：“恰有 1 件次品”和“恰有 2 件次品”不可能同时发生，为互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有 1 件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有 1 件正品”的基本事件为“有 1 件正品和 1 件次品”，“有 2 件正品”，“至少有 1 件次品”的基本事件为“有 1 件正品和 1 件次品”，“有 2 件次品”，它们有共同的基本事件“有 1 件正品和 1 件次品”，不是互斥事件；D：由 C 分析知：“至少有 1 件次品”
10、和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；故答案为：AD【分析】由已知条件结合互斥事件的定义，对选项逐一判断即可得出答案。11【答案】A,B,D【解析】【解答】解：函数 .所以函数 的周期为 ，A 选项正确；当 时，所以直线 是函数 图象的一条对称轴，B 选项正确；当 ，则 ，由正弦函数性质可知，此时 单调递减，C 选项错误；由 可知，当 时，取得最小值为-4，D 选项正确.故答案为：ABD.【分析】由已知条件结合二倍角的正、余弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的周期性、图象以及单调性对选项逐一判断即可得出答案。12【答案】B,D【解析】【解答】解：易知，点 在矩形
11、内部（含边界）对于 A，当=1 时，即此时 P线段 CC1，周长不是定值，故 A 错误；对于 B，当=1 时，故此时 P 点轨迹为线段 B1C1，而 B1C1/BC，B1C1/平面 A1BC，则有 P 到平面 A1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确 对于 C，当时，取 BC，B1C1中点分别为 Q，H，则，所以P 点轨迹为线段 QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以=0 或=1故 H，Q 均满足，故 C 错误；对于 D，当时，取 BB1，CC1中点为 M，N，所以 P 点轨迹为线段 MN设，因为，所以，所以，解得，此时 P 与 N 重合，故 D 正确 故选：BD【
12、分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于 B，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 CD，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数；13【答案】600【解析】【解答】由分层抽样可得高二年级学生数占总人数的，故高一与高三总人数占三个年级总人数的，故总人数为人，故高二年级总人数为，故答案为：600.【分析】首先由分层抽样的定义计算出频率的取值，由此计算出满足题意的人数，从而得出答案。14【答案】-9【解析】【解答】解：由，可得，解得，直线的方程为由题意，可知是两条直线的交点，
13、将代入直线得将代入直线，得，所以故答案为：-9.【分析】首先由直线垂直的系数的关系计算出 a 的取值，由此得出直线的方程，联立直线的方程计算出交点的坐标，结合题意计算出结果即可。15【答案】4【解析】【解答】由为中点，可得，所以，所以，故答案为：4.【分析】根据题意由向量的加减运算性质，整理化简已知条件即可得出答案。16【答案】2【解析】【解答】设 ，又，当且仅当 时等号成立，即 的最小值是 2。【分析】利用三棱锥的结构特征结合已知条件，再利用向量的模与数量积的关系式，再结合数量积的运算法则，从而利用均值不等式求最值的方法求出 的最小值。17【答案】（1）解：由，解得：，可得直线 和的交点为，
14、由于直线 l3的斜率为，故过点 P 且与直线平行的直线 l 的方程为，即；（2）解：由题意知：直线 m 的斜率存在且不为零，设直线 m 的斜率为 k，则直线 m 的方程为，由于直线 m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且为线段 AB 的中点，故：，解得，故，故的面积为.【解析】【分析】(1)首先联立直线的方程由此计算出交点的坐标，然后由斜率的坐标公式计算出斜率的取值，结合直线平行的性质，由点斜式即可得出直线的方程。(2)由已知条件对斜率分情况讨论，结合中点与斜率的坐标公式，计算出 k 的取值结合三角形的面积公式，代入数值计算出结果即可。18【答案】（1）解：由频率分布直方图得：，解得
15、；（2）解：根据频率分布直方图估计 20 名学生数学考试成绩的众数为 75，设中位数为，则，则.（3）解：成绩在80，100内的学生人数有人男生人数 6 人，女生人数 2 人，8 人选 2 人的总选法数 种，恰有 1 名男生 1 名女生的选法有种，所以概率为.【解析】【分析】(1)首先由频率分布直方图中的数据，计算出 a 的取值即可。(2)由众数公式，代入数值计算出答案(3)由已知条件结合排列组合以及计数原理，计算出事件的个数，并代入到概率公式计算出结果即可。19【答案】（1）解：M 是 PC 的中点，.，结合，得.（2）解：，.，即 BM 的长等于.【解析】【分析】(1)根据题意由中点的性质
16、结合向量的加减运算性质，整理化简即可得出答案。(2)结合题意由数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。20【答案】（1）解：因为 ，且 ，所以 ，则 ，又 ，所以（2）解：，而 ，所以 ，则 ，所以 故所求函数的值域为【解析】【分析】(1)根据向量垂直的性质求得，求得 tanA 的值，进而根据 A 的范围求得A；(2)利用二倍角公式和两角差的正弦公式对函数解析式化简整理得 ，利用 B 的范围和正弦函数的性质，即可求得函数的值域.21【答案】（1）证明：平面，平面，、平面，平面，又平面，；（2）解：如图所示，过点作于，连接，由（1）知，平面，又，平面，即为平面与平面所成的角在中，在中，故平面与
17、平面夹角的余弦值为（3）解：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，异面直线与所成的角为，解得或（舍），.【解析】【分析】(1)首先由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。(2)由(1)的结论结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由线面角的定义结合三角形中的几何计算关系，代入数值计算出夹角的余弦值即可。(3)根据题意建立空间直角坐标系，由此得出点以及向量的坐标，结合异面直线所成角的定义，结合数量积的坐标公式，计算出夹角的大小，结合题意计算出 m 的取值从而得出答案。22【答案】（1）解：当 a=1 时，当时，则
18、f(x)在内是增函数，在内是减函数，当 x0 时，则 f(x)在(-，0)内是减函数；综上可知，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(-，0)，；（2）解：因 f(x)是奇函数，必有 f(-1)=-f(1)，即(a+1)1-(a-1)1，解得 a=0，此时，它是奇函数，因此，a=0，则，于是有，而时，并且，令，则在上单调递增，当时，因此，当时，则，所以实数 m 的取值范围是.【解析】【分析】(1)首先由 a 的取值即可得出函数的解析式，结合二次函数的图象和性质即可得出函数的单调性。(2)根据题意由奇函数的定义计算出 a 的取值，从而得出函数的解析式，再由分离参数法即可得出关于 m 的不等式，整理化简结合基本不等式即可得出函数的最值，由此得出 m 的取值范围。
