1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知 为虚数单位，则复数 的实部是（）ABCD12已知实数 ，则下列不等式恒成立的是（）ABCD3为迎接 2022 年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的 200 名学生志愿者中抽取 30 人组成亚运志愿小组，若 30 人中共有男生 12 人，则这 200 名学生志愿者中男生可能有（）人 A18B12C120D804若向量 ，则（）ABCD5将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）ABCD6设 是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（）A如果 ，那么 B如果
2、，那么 C如果 ，那么 D如果 ，与 所成的角和 与 所成的角相等，那么 7设 ，则“”是“”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件8在等腰梯形 中，是腰 上的动点，则 的最小值为（）AB3CD二、多选题二、多选题9给定一组数 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A平均数为 3B标准差为 C众数为 2 和 3D85%分位数为 4.510抛掷三枚硬币，设事件 “第 枚硬币正面朝上”，2，3则（）A 与 互斥B 与 相互独立CD11以下结论正确的是（）AB 的最小值为 2C若 a2+2b21，则 D若 a+b1，则 12如图，三棱柱 的各棱长均为 2，侧棱
3、 与底面 所成的角为 60，为锐角，且侧面 底面 ，下列四个结论正确的是（）ABC直线 与平面 所成的角为 45D三、填空题三、填空题13甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 ，则密码被成功破译的概率 14已知函数 ，则 的零点个数为 .15若不等式 对于一切 恒成立，则实数 a 的取值范围为 16如图，矩形 中，平面 ，若在线段 上至少存在一个点 满足 ，则 的取值范围是 .四、解答题四、解答题17如图：已知四棱锥 中，平面 ，四边形 是正方形，是 的中点，求证：（1）平面 ；（2）平面 .18袋中有 9 个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球黄球绿球，从中任意取一球，
4、得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：（1）袋中黑球黄球绿球的个数分别是多少？（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？（3）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？19已知 的内角，所对的边分别是 ，且 .（1）求角 A 的大小；（2）若 ，且 的面积 ，求 a.20已知定义在 上的函数 .（1）求 的值，并判断 的奇偶性（要有过程）；（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.21在三棱柱 中，平面 ，是 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答
5、】，复数 的实部是 。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 z，再利用复数的实部的定义，从而求出复数 z 的实部。2【答案】C【解析】【解答】当 时，不等式不成立，错误；，故 错误 正确；当 时，不等式不成立，错误。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，从而找出不等式恒成立的选项。3【答案】D【解析】【解答】这 200 名学生志愿者中男生可能有 人。故答案为：D.【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，从而求出这 200 名学生志愿者中男生可能的人数。4【答案】D【解析】【解答】因为 ，对于 A：，A 不符合题意；对于 B：，B 不符合题意
6、；对于 C：因为 ，所以 坐标不成比例，C 不符合题意；对于 D：，D 符合题意.故答案为：D【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出两向量夹角的余弦值；再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，推出两向量不垂直；再利用共线向量的坐标表示推出两向量不平行；再利用向量的模的坐标表示求出两向量的模相等，从而找出正确的选项。5【答案】A【解析】【解答】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是 13 。故答案为：A【分析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等
7、的，从而可得球的直径，进而求出球的半径，再利用球的体积公式，从而求出该球的体积。6【答案】C【解析】【解答】A.因为 ，所以 或 ，又 ，则 位置不确定，故错误；B.因为 ，所以 或 ，又 ，所以 ，故错误；C.因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故正确；D.如果 ，与 所成的角和 与 所成的角相等，那么 ，相交或异面，故错误故答案为：C【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线线平行的判断方法，从而找出正确命题的选项。7【答案】A【解析】【解答】解不等式 得；，解不等式 得：，因为 是 的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】分别解两个不等式得到集合
8、 ，再利用集合间的关系，即可得到答案.8【答案】C【解析】【解答】解：如图，以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得 ，设 ，其 ，则 ，所以 ，所以 ，所以当 时，取最小值 ，故答案为：C【分析】根据题意，建立坐标系，表示出 B、C、P 的坐标，求出 的坐标，进而可得的表达式，由向量模的计算公式分析可得答案.9【答案】A,C【解析】【解答】平均数为 ，A 符合题意；标准差为 ，B 不符合题意；观察数据可得众数为 2 和 3，C 符合题意；将数据从小到大排序得 1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则 ，第 85 百分位数为 5，D 不符合题意.故答案为：AC.【分析】利用
9、已知条件结合平均数公式、标准差公式、众数公式和分位数求解方法，从而找出正确的选项。10【答案】B,C,D【解析】【解答】事件 =“第 i 枚硬币正面朝上”，i=1，2，3.因为 A1与 A2可以同时发生，所以 A1与 A2不互斥，A 不符合题意；因为 A1、A2与 A3相互独立，所以 与 相互独立，B 符合题意；因为 ，C 符合题意；因为 D 符合题意.故答案为：BCD【分析】利用相互独立事件、互斥事件的定义以及相互独立事件的概率公式，逐一判断四个选项即可.11【答案】A,C【解析】【解答】对于 A，当且仅当 x21 时等号成立，A 符合题意，对于 B，当且仅当 时等号成立，但 ，B 不符合题
10、意，对于 C，当且仅当 a2 1，b2 时等号成立，C 符合题意，对于 D，当 a0，b0，a+b1 时，但 a+b1，不一定 a0，b0，D 不符合题意.故答案为：AC.【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出结论正确的选项。12【答案】A,C,D【解析】【解答】如图，过 作 ，为垂足，连结 ，如图建立空间直角坐标系，对于 A 选项，侧棱 与底面 所成角为 ，为锐角，且侧面 底面 ，又三棱柱 的各棱长相等，可知四边形 为菱形，A 选项正确；对于 B 选项，易知，B 选项不正确；对于 C 选项，由题意可知 即为 与平面 所成的角，C 选项正确；对于 D 选项，因此 ，D 选
11、项正确.故答案为：ACD【分析】过 作 ，为垂足，连结 ，建立空间直角坐标系，利用侧棱 与底面 所成角为 ，为锐角，且侧面 底面 ，再利用三棱柱 的各棱长相等，可知四边形 为菱形，从而结合菱形的结构特征，进而得出的值；利用已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而推出；由题意可知 即为 与平面 所成的角，再利用正切函数的定义得出直线 与平面 所成的角；再利用已知条件结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而推出，进而找出结论正确的选项。13【答案】【解析】【解答】根据题意，甲乙两人能
12、成功破译的概率分别是 ，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率 ，故该密码被成功破译的概率 。故答案为：。【分析】根据题意，得出甲、乙两人能成功破译的概率，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出该密码被成功破译的概率。14【答案】2【解析】【解答】令 ，则 ，当 时，解得 ；当 时，解得 ；所以函数 的零点为 ，共 2 个。故答案为：2。【分析】利用函数零点的定义，令 ，则 ，再利用分类讨论的方法结合解方程的方法，从而求出函数 的零点个数。15【答案】a-8【解析】【解答】，在 的最小值为-8，实数 a 的取值范围为 a-8。故答案为 a-8。【分析】利用已知条件
13、结合不等式恒成立问题求解方法，再结合二次函数图象求最值的方法，从而求出实数 a的取值范围。16【答案】a2【解析】【解答】平面 ，平面 ，又 ，平面 ，又 平面 ，所以点 是以 中点为圆心，以 为直径的圆与 的交点，在线段 上至少存在一个点 满足 ，。故答案为：a2。【分析】利用 平面 结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，所以，再利用 结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以点 是以 中点为圆心，以 为直径的圆与 的交点，再利用，在线段 上至少存在一个点 满足 ，从而求出实数 a 的取值范围。17【答案】（1）证明：连 ，与 交于 ，连接 是正方形
14、，是 的中点，是 的中点，又 平面 ，平面 平面 ；（2）证明：平面 ，平面 是正方形，又 平面【解析】【分析】（1）连 ，与 交于 ，连接，再利用四边形 是正方形，所以 是 的中点，再利用 是 的中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 平面 。（2）利用 平面 结合线面垂直的定义，从而证出线线垂直，所以，再利用四边形 是正方形，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出 平面 。18【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球黄球绿球为事件 ，由于 ，为互斥事件，根据已知，得 ，解得 ，所以，任取一球，得到黑球黄球绿球的概率分别是
15、，.所以黑球的个数为 个，黄球的个数为 个，绿球的个数为 个，所以袋中黑球黄球绿球的个数分别是 3、2、4 个.（2）解：由（1）知黑球黄球个数分别为 3，2，所以从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是 .（3）解：从 9 个球中取出 2 个球的样本空间中共有 36 个样本点，其中两个是黑球的样本点是 3 个，两个黄球的是 1 个，两个绿球的是 6 个，于是，两个球同色的概率为 ，则两个球颜色不相同的概率是 .【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球黄球绿球为事件 ，由于 ，为互斥事件，再结合互斥事件加法求概率公式，从而解方程组求出任取一球，得到黑球黄球绿球的概率，
16、再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出袋中黑球黄球绿球的个数。（2）由（1）知黑球黄球个数分别为 3，2，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，得出从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率。(3)利用已知条件结合组合数公式，再结合古典概型求概率公式，从而结合分类加法计数原理，进而求出两个球颜色不相同的概率。19【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理得；所以 得 因 故（2）解：得 所以【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和辅助角公式，得出，再利用三角形中角 A的取值范围，进而求出角 A 的值。（2）利用已知条件结合三角形的面积公式，从而得出 bc 的值，再结合余弦定理
17、得出 a 的值。20【答案】（1）解：，因为函数的定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以 为奇函数.（2）解：由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 令 ，则 ，此时不等式可化为 ，记 ，因为当 时，和 均为减函数，所以 为减函数，故 ，因为 恒成立，所以 【解析】【分析】（1）利用代入法结合函数的解析式，从而求出函数值，再利用奇函数定义，从而判断出函数为奇函数。（2）由 ，得 ，再利用 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，此时不等式可化为 ，记 ，当 时结合减函数的定义，从而判断出函数 和 均为减函数，所以函数 为减函数，再结合函数的单调性，从而求出函数的值域，再结合 恒成立和不等式恒成立问题求解方法，
18、进而求出实数 k 的取值范围。21【答案】（1）证明：由 平面 ，平面 ，得 ，又 ，故 平面 ，平面 ，故平面 平面（2）解：以 为原点，为 轴，为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，又 ，故 ，设平面 的一个法向量为 ，则，即 ，令 ，则 ，设直线 与平面 所成的角为 ，故 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为【解析】【分析】（1）由 平面 ，结合线面垂直的定义证出线线垂直，即 ，又 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面 平面 。（2）以 为原点，为 轴，为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
