1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线 恒过一定点，则此定点为（）ABCD2已知 且 ，则 x 的值是（）A3B4C5D63若直线 与 互相垂直，则 （）A-2B1C-1 或 2D-1 或-24已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（）ABC 或 D不确定5若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（）A0B1C2D不确定6如图，在三棱柱 中，与 相交于点 ，则线段 的长度为（）ABCD7设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ，若 的最大值为 ，则 的值为（）A2BCD18已知抛物线 ：和圆
2、：，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ，则 的最小值为（）AB2C3D二、多选题二、多选题9已知双曲线 C：，下列对双曲线 C 判断正确的是（）A实轴长是虚轴长的 2 倍B焦距为 4C离心率为 D渐近线方程为 10点 在圆 ：上，点 在圆 ：上，则（）A两圆有且仅有两条公切线B 的最大值为 10C两个圆心所在直线斜率为 D两个圆相交弦所在直线方程为 11下列命题中，正确的有（）A若向量 ，与空间任意向量都不能构成基底，则 ；B若非零向量 ，满足 ，则有 ；C在四面体 中，若 ，则 ；D若向量 ，是空间一组基底，则 ，也是空间的一组基底.12已知椭圆 ：上有一点 ，分别为左右焦点，的
3、面积为 ，则下列选项正确的是（）A若 ，则 B若 ，则满足题意的点 有四个C椭圆 内接矩形周长的最大值为 20D若 为钝角三角形，则 三、填空题三、填空题13已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 60，则直线的斜率为 .14已知 ，为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .15已知实数 ，满足 ，则 的最大值为 .16已知 A、B 是抛物线 上异于坐标原点 O 的两点，满足 ，且 面积的最小值为 36，则正实数 P ；若 ODAB 交 AB 于点 D，若 为定值，则点 Q 的坐标为 四、解答题四、解答题17直线 经过两直线 ：和 ：的交点.（1）若直线 与直线 平行，求
4、直线 的方程；（2）若点 到直线 的距离为 5，求直线 的方程.18已知点 ，圆 ：.（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.19如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ，分别是 的中点，点 在线段 上，且 .（1）求证：面 ；（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.20如图，椭圆 ：的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .（1）求椭圆 的方程；（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，求 面积的最大值.21如图，在棱长为 的正方体 中，分别是棱 ，上的动点，且 .（1）求证：；（2）
5、当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.22已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为 1.（1）求曲线 的方程；（2）设直线 ，为曲线 的两条互相垂直切线，切点为 A，交点为点 .（i）求点 的轨迹方程；（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.答案解析部分答案解析部分1【答案】A【解析】【解答】直线 可变形为：，由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点。故答案为：A【分析】将直线 变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。2【答案】C【解析】【解答】因为 所以 ，解得 。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数
6、x 的值。3【答案】D【解析】【解答】直线 与 互相垂直，解得 或 。故答案为：D【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数 a 的值。4【答案】C【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程是 ，当焦点在 轴上时，；当焦点在 轴上时，故离心率为 或 。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中 a，b，c 三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。5【答案】C【解析】【解答】因为直线 和圆 没有交点，所以圆心 到直线 的距离 ，可得：，即点 在圆 内，又因为圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，即过点 的直线与椭圆 有两个交点。故答
7、案为：C.【分析】利用直线 和圆 没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点 在圆 内，再利用圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，从而得出过点 的直线与椭圆 的交点个数。6【答案】A【解析】【解答】三棱柱 中，因为 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，所以 ，因为 ，所以，所以 ，则线段 的长度为。故答案为：A【分析】在三棱柱 中，再利用 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出 ，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段
8、 的长度。7【答案】B【解析】【解答】根据题意，设直线 ，圆心为 ，如图，集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，此时 ，故 。故答案为：B.【分析】根据题意，设直线 ，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出 MP 的长，再结合角之间的关系得出 的值，再利用正弦函数的定义，从而求出 r 的值。8【答案】D【解析】【解答】由抛物线 ：可知焦点为 ，设直线 的方程为 ，由 ，得 ，设 ，则 ，由抛
9、物线的定义可知 ，当且仅当 时取等号。故答案为：D【分析】由抛物线 ：可知焦点 F 的坐标，设直线 的点斜式方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由抛物线的定义可知 从而得出 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出 的最小值。9【答案】B,D【解析】【解答】双曲线 C：.双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 ，A 不符合题意；焦距为 .B 符合题意；离心率为 ，C不符合题意：渐近线方程为 ，D 符合题意.故答案为：BD【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出 a，b 的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中 a
10、，b，c 三者的关系式，从而求出 c 的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线 C 判断正确的选项。10【答案】B,C【解析】【解答】圆 的圆心坐标 ，半径 圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 因为圆心距 ，所以两圆外切，所以两圆有 3 条公切线，A 不符合题意；又 在圆 上，在圆 上则 的最大值为 ，B 符合题意；两圆圆心所在的直线斜率为 ，C 符合题意；因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D 不符合题意。故答案为：BC【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆 的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆
11、心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有 3 条公切线；再利用点 在圆 上，在圆 上，再结合几何法得出 的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。11【答案】A,C,D【解析】【解答】对于 A：若向量 ，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，A 符合题意；对于 B：若非零向量 ，满足 ，则 与 不一定共线，B 不符合题意；对于 C：因为 ，所以 ，将上述两式相加得，所以 ，所以 ，C 符合题意；对于 D：若向量
12、 ，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ，使 ，则 ，也是空间的一组基底.D 符合题意.故答案为：ACD.【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为 0 的等价关系，从而找出正确的命题。12【答案】B,C,D【解析】【解答】椭圆 ：，设 ，则 ，若 ，则 ，所以 不存在，A 不符合题意；若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B 符合题意；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，由 得 ，椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C 符合题意；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得
13、 ，此时 ，当 为钝角三角形时，所以 ，D 符合题意.故答案为：BCD【分析】利用椭圆 ：得出 a，b 的值，再结合椭圆中 a，b，c 三者的关系式，从而求出 c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图象求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，
14、易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。13【答案】【解析】【解答】因为直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，所以直线的斜率为 。故答案为：。【分析】直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。14【答案】【解析】【解答】由题意得 ，又因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 。故答案为：。【分析】由题意得 ，再利用双曲线定义，解方程组求出，的值，再利用，从而结合勾股定理推出，再
15、利用三角形面积公式得出三角形 的面积。15【答案】34【解析】【解答】设 ，则 ，又 ，所以 ，化简可得 ，其中 ，表示以 为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，的最大值为 。故答案为：34。【分析】设 ，则 ，再利用 ，所以化简可得 ，其中 ，表示以 为圆心，为半径的圆的一部分，代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数 的最大值。16【答案】3；（3，0）【解析】【解答】设 ，因为 ，即 ，两边平方化简得 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 （舍去），设直线 AB：，联立 得 ，所以 ，所以 ，所以 ，又 ，解得 ，又因为 ，所以：直线 AB 为
16、恒过定点 ，因为 ，所以 ，所以点 D 在以点 ，为直径的圆上，设圆心 Q，则 ，半径 ，所以 为定值，进而求出点 Q 的坐标为。故答案为：3；。【分析】设 ，再利用平行四边形法则和三角形法则，得出，两边平方化简得 ，再结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用数量积的坐标表示，得出 （舍去），设直线 AB 的斜截式方程为：，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，所以 ，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形 面积的最小值，再利用三角形 面积的最小值为 36，从而求出 p 的值，再利用 t 和 p 的关系式，从而求出 t 的值，进而求出直线 A
17、B 为 恒过定点 M 的坐标，再利用，所以 ，所以点 D 在以点 ，为直径的圆上，设圆心 Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出 为定值，所以，进而求出点 Q 的坐标为。17【答案】（1）解：直线 方程与 方程联立 ，得交点坐标为 设直线 的方程为：，代入交点 得 ，所以 的方程为（2）解：当直线 的斜率不存在时，得 的方程为：，符合条件.当 斜率存在时，设直线 的方程为：，根据 ，解得 ，所以直线 的方程为 .综上所述，为 或【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线 的方程。
18、（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线 的斜率不存在时，结合已知条件求出直线 的方程，符合条件；当 斜率存在时，设直线 的点斜式方程为：，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线 的方程。18【答案】（1）解：若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，即 ，解得 ，当 时，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；当 时，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；（2）解：设圆心到直线的距离为 ，则 ，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得：，又因为 ，计算得：，所以 .当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，所以 ，又因为 ，计算得：（舍）或 ，所以 .综上所述
19、，或 .【解析】【分析】（1）若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，再结合代入法得出 a 的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线 OA 的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。（2）设圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理得出 d 的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得出 ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数 a 的值；当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，再利用点到直线的距离公式得出 t 的值，进而求出实数 a 的值。19【答案】（
20、1）证明：以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系 ，则 ，又 ，所以 为 的中点，因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，所以 ，所以 面 ；（2）解：，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，则 ，又平面 的一个法向量 ，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .【解析】【分析】（1）以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面 的一个法向量为 ，再利用 结合数量积的坐标表
21、示得出，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，从而证出 ，进而证出 面 。（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出 ，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面 与平面 所成二面角的余弦值。20【答案】（1）解：由已知 ，则 由题意得：得 ，所以 的方程为（2）解：由已知可得 的斜率必存在，设 的方程为：，直线 与椭圆方程联立得：，整理得：，由 可得 所以 令 ，所以 ，当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为【解析】【分析】（1）利用椭圆 ：
22、的离心率是 结合椭圆的离心率公式，得出 a，c 的关系式，再利用点 在短轴 上，且 ，再结合数量积的坐标表示，得出b 的值，再结合椭圆中 a，b，c 三者的关系式，从而解方程组求出 a，c 的值，进而求出椭圆 E 的标准方程。（2）由已知可得 的斜率必存在，设 的斜截式方程为：，再利用直线与椭圆相交，将直线 与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出 和，再结合三角形的面积公式，得出，令 ，再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形 面积的最大值。21【答案】（1）证明：如图：以 为原点，分别以 ，所在直线为 ，轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，则 ，因为 ，所以 ，可得 .（2）解：，当且仅当
23、 即 时 最大，所以当 分别为 ，中点时体积最大，设面 的法向量为 ，由 ，令 可得 ，所以面 的法向量为 ，设 与面 所成角为 ，则 ，【解析】【分析】（1）以 为原点，分别以 ，所在直线为 ，轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出 ，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，所以 ，从而证出 。（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当 时，最大，所以当 分别为 ，中点时体积最大，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的法向量，再利用数量积求向
24、量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥 的体积取得最大值时的直线 与面 所成角的正弦值。22【答案】（1）解：设 ，则当 时，所以 ，当 x0时化简得 ；当 时，由题意得 ，所以曲线 的方程为：或 .（2）解：(i)当 时，不合题意，故设 ，则过点 A 的切线为：，同理可得过点 的切线为：.根据 可得 .所以联立两条切线方程 可得 ，所以 的轨迹为(ii)由题意可得 的直线方程为：，所以必过【解析】【分析】（1）设 ，则当 时，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线 C 的方程。（2）（i）当 时，不合题意，故设 ，则过点 A 的切线的斜截式方程为：，同理可得过点 的切线斜截式方程为：，再根据 结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得 ，所以联立两条切线方程 可得点交 M 的横坐标，进而求出点 的轨迹；(ii)由题意可得 的直线方程，再结合点斜式求出直线 AB 过的定点坐标。
