1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知空间向量 ，若 ，则实数 （）A2B-2C1D-12直线 的倾斜角为（）A30B60C120D1503已知双曲线 的焦距为 10，则双曲线 的浙近线方程为（）ABCD4已知 ，则“”是“曲线 表示椭圆”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5在平面直角坐标系中，坐标原点 到过点 的直线距离为（）ABCD16已知正方体 的棱长为 3，点 在棱 上，且 ，则直线 与 所成角的余弦值为（）ABCD7已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，点 ，则 的最小值为（）AB2CD38在长方
2、体 中，分别是棱 的中点，是平面 内一动点，若直线 与平面 平行，则 的最小值为（）AB25CD二、多选题二、多选题9下列四个结论正确的有（）A对于任意两个向量 ，若 ，则 或 或 B若空间中点 满足 ，则 三点共线C空间中任意三个向量 都满足 D对于任意两个向量 ，都有 10已知直线 与曲线 有且仅有一个公共点，则 的取值可以是（）ABCD111已知双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（）A双曲线 的离心率为 B左焦点到浙近线的距离为 C双曲线的实轴长为 1D过右焦点截双曲线 所得弦长为 6 的直线只有三条12古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前 262 年至前 190 年）
3、与欧几里得、阿基米德齐名，著有圆锥曲线论八卷他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆已知在平面直角坐标系 中，点 满足 ，设点 所构成的曲线为 ，下列结论正确的是（）A曲线 的圆心坐标为 BC曲线 的周长为 D曲线 上的点到直线 的最小距离为 三、填空题三、填空题13若 ，则 14设直线 ，若 ，则 15已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为 4 米的半圆，若行驶车辆的宽度为 2.5 米，则车辆的最大高度为 米16已知椭圆 ，过椭圆在第二象限上的任意一点 作椭圆的切线与 轴相交于 点，是坐标原
4、点，过点 作 ，垂足为 ，则 的取值范围是 四、解答题四、解答题17已知点 ，直线 不论 取何值，直线 过定点 （1）求点 的坐标，及点 到直线 距离的最大值；（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求 的值 18已知点 ，圆 （1）若直线 过点 ，且圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，求直线 的方程；（2）若直线 过点 ，且直线 与圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程 19已知抛物线 ，点 是抛物线 上的点 （1）求抛物线的方程及 的值；（2）直线 与抛物线交于 两点，且 ，求 的最小值并证明直线 过定点 20如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，平面 平面 ，且侧面 为等边
5、三角形 为线段 的中点 （1）求证：直线 ；（2）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 21已知 是平面上的动点，且点 与 的距离之和为 点 的轨迹为曲线 （1）求动点 的轨迹 的方程；（2）不与 轴垂直的直线 过点 且交曲线 于 两点，曲线 与 轴的交点为 ，当 时，求 的取值范围 答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故 故答案为：B【分析】由向量平行关系可求得 m、n 的值，进而可得答案。2【答案】A【解析】【解答】由方程知直线的斜率为 ，因此倾斜角为 30 故答案为：A【分析】先求出直线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系
6、求出直线的倾斜角。3【答案】C【解析】【解答】因为双曲线 的焦距为 10，所以 ，即 ，所以渐近线方程为 .故答案为：C【分析】由已知条件结合双曲线 可求出 a，b，再根据渐近线方程公式即可求出答案。4【答案】D【解析】【解答】方程 表示椭圆，则 ，解得 且 ，因此 是曲线 表示椭圆的既不充分也不必要的条件故答案为：D【分析】根据椭圆的定义列出方程组，求解可得 m 的范围，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。5【答案】C【解析】【解答】如图所示：为 中点，因为 ，所以 为等边三角形，所以 到直线 的距离为 的高，故 .故答案为：C【分析】利用两点间的距离公式可得，得出 为等边三角形，进而得
7、出 到直线 的距离为 的高，根据勾股定理可求得答案。6【答案】B【解析】【解答】在正方体 中，因 DA，DC，DD1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ，于是得 ，则有 ，所以直线 与 所成角的余弦值为 .故答案为：B【分析】建立空间直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求出直线 与 所成角的余弦值。7【答案】D【解析】【解答】抛物线 的准线 l：，显然点 A 在抛物线 C 内，过 A 作 AMl 于 M，交抛物线 C 于 P，如图，在抛物线 C 上任取不同于点 P 的点 ，过 作 于点 N，连 PF，AN，由抛物线定义知，于是得 ，即点 P 是过 A 作准线 l 的垂线与抛物线
8、 C 的交点时，取最小值，所以 的最小值为 3.故答案为：D【分析】由抛物线定义可得，根据图像可知点 P 是过 A 作准线 l 的垂线与抛物线 C的交点时，取最小值，即可得答案。8【答案】A【解析】【解答】连接 ，交于点 ，连接 ，交于点 ，补全截面 为截面 ，其中 分别为 的中点，所以 ，所以平面 /平面 ，所以 M 的轨迹是直线 AC，当 位于点 时，的值最小，且最小为 ，所以 .故答案为：A.【分析】首先补全截面 为截面 ，然后证明平面 /平面 ，从而得到 M的轨迹是直线 AC，根据向量的运算把所求 转化为，从而得出当 位于点 时，取最小值。9【答案】A,B【解析】【解答】对 A，若 ，
9、则 或 或 ，A 符合题意.对 B，因为 ，所以 ，所以 ，又因为 为公共点，所以 三点共线，B 符合题意.对 C，若 为空间向量中的单位向量，且 夹角为 ，的夹角为 ，则 ，C 不符合题意.对 D，因为 ，当 时，D 不符合题意.故答案为：AB【分析】对 A，根据 得到 或 或 ，即可判断 A 选项的正误；对 B，根据题意得到 和 为公共点，即可判断 B 选项的正误；对 C，利用特殊向量，即可判断 C 选项的正误；对D，根据，即可判断 D 选项的正误。10【答案】A,C,D【解析】【解答】因为 ，所以曲线 表示以 为圆心，为半径的半圆，位于 轴及 轴右侧部分，如图所示：当直线 过 时，直线与
10、曲线有一个交点，当直线 过 时，直线与曲线有两个交点，当直线 与曲线相切时，解得 ，因为直线 与曲线 有且仅有一个公共点，所以 或 .故答案为：ACD【分析】首先根据题意得到曲线 表示以 为圆心，为半径的半圆，位于 轴及 轴右侧部分，再根据直线与曲线的位置关系得到 或 ，即可得答案。11【答案】B,D【解析】【解答】由已知设双曲线方程为 ，因此双曲线过点 ，所以 ，双曲线方程为 ，所以 ，离心率为 ，A 不符合题意；左焦点为 ，一条渐近线方程是 ，左焦点到渐近线距离为 ，B 符合题意；双曲线实轴长是 2，C 不符合题意；双曲线两顶点间距离为 ，又 ，即通径长为 6，因此过焦点的直线截双曲线得弦
11、长为6 的直线有 3 条，两个交点在同一支上的只有一条，即双曲线的通径所在直线，另两条与双曲线的两支各有一个交点D 符合题意故答案为：BD【分析】由渐近线求出双曲线方程，然后根据方程判断双曲线的几何性质，可得答案。12【答案】A,B,D【解析】【解答】设 ，由 可得 ，整理可得 ，化为 ，所以曲线 的圆心坐标为 ，半径为 ，A 符合题意；圆心 到点 的距离为 ，所以 ，即 ，B 符合题意；圆的周长为 ，C 不符合题意；圆心到直线 的距离为 ，所以曲线 上的点到直线 的最小距离为 .故答案为：ABD【分析】设，利用两点间的距离公式求出点 P 所构成的曲线方程 E，然后逐一判断即可。13【答案】【
12、解析】【解答】，.故答案为：.【分析】先求出的坐标，再根据向量模的公式即可求出。14【答案】-4【解析】【解答】因直线 ，而 ，于是得 ，解得 ，所以 .故答案为：-4【分析】根据给定条件结合两直线垂直的性质列式计算，即可求出 m 的值。15【答案】【解析】【解答】建立如图所示的平面直角坐标系，是圆心，半圆方程为 （），在半圆上，且 轴，则 ，故答案为：【分析】建立平面直角坐标系，得出半圆方程，设，求出 A 点处半圆的高度，即可求出车辆的最大高度。16【答案】【解析】【解答】设 ，则有 ，即 ，显然切线 PQ 斜率存在，设 PQ 的方程：，由 消去 y 并整理得：，因此，化简整理得：，即 ，亦
13、即 ，解得 ，则直线 PQ 方程为：，当 时，即点 ，又 ，则 ，令 ，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，于是得 ，所以 的取值范围是 .故答案为：【分析】设，PQ 的方程：，把直线方程与椭圆方程联立，化简可得，求出点 Q 的坐标，由 利用平面向量数量积的运算可得，令，再利用函数的单调性，即可求出 的取值范围。17【答案】（1）解：由 整理可得 ，令 ，解得 所以直线 l 过定点 P（1，3）点 A（2，1）到直线 l 距离的最大值为 （2）解：令 y0，得 ；令 x0，得 ya2 依题意，解得 a2 或 a2【解析】【分析】（1）由已知条件可得 ，求解可得点 的坐标，再利用点到直线的距离公式
14、可得 到直线 距离的最大值；（2）分别令 y0 和 x0 可解得 x，y 的值，再根据已知条件列出等式，求解可得 的值18【答案】（1）解：由圆 可得圆心 ，半径 ，若圆 上任意一点关于直线 的对称点也在圆 上，所以圆心 在直线 上，所以直线斜率为 ，所以直线 的方程为 ，化简得：（2）解：由 及 ，所以 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，设直线 的方程为 ，所以圆心 到直线 的距离 ，解得：，所以直线 的方程为 【解析】【分析】（1）求出圆心的坐标，由题意可得圆心 在直线 上，由点 P，C 两点坐标可得直线 的方程；（2）由 结合半径可得弦长，进而可得圆心 到直线 的距离，设直线 的方程为 ，
15、由圆心到直线的距离列方程求出 m 的值，即可求出直线 的方程19【答案】（1）解：依题意，点 坐标满足方程 ，抛物线的方程为 （2）解：设直线 l 的方程为 ，联立方程组 ，消去 x 得，解得 或 2（舍），当 ，即 ，时等号成立.t3 或 t1（舍）所以 的最小值为 ，直线 l：xmy3 恒过定点（3，0）【解析】【分析】（1）将点 代入抛物线方程，解出 p，可得抛物线的方程；（2）设直线 l 的方程为 ，联立方程组 ，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据 得到，再利用均值不等式解得最值，得到直线的定点。20【答案】（1）证明：连接 ，因为 为正三角形，可得 ，又因为四边形 为菱形，且 ，所
16、以 也是正三角形，由点 为 的中点，所以 ，又由 ，平面 ，平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以（2）解：由平面 PMB平面 ABCD，及 PEBC 可得，PE平面 ABC 以 E 为原点，直线 EA，EB，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，菱形 ABCD 边长为 2，所以可求得 ，设平面 PAC 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，即 因为 F 是线段 PA 上的点，所以存在实数 使得 设直线 EF 与平面 PAC 所成的角为 ，则 解得 或 ，所以线段 PA 上存在点 F 满足题意，且 F 为线段 PA 的两个三等分点【解析】【分析】（1）连接 ，可得 ，可得出
17、 也是正三角形，推出 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，推出 ；（2）以 E 为原点，直线 EA，EB，EP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PAC 的法向量，利用向量法即可求出直线 与平面 所成角的正弦值，求解可得的值，进而得结论。21【答案】（1）解：依题意，点 P 的轨迹 E 是以 为焦点，长轴为 的椭圆，设 ，则 故轨迹 E 的方程为 （2）解：设直线 l 方程为 yk（x1）代入 E 的方程 ，整理得 设点 ，可得 由 得，解得 因为 所以 由已知得 ，的取值范围是 【解析】【分析】（1）由椭圆定义得 a，由焦点坐标得 c，即可求出动点 的轨迹 的方程；（2）设直线 l 方程为 yk（x1），代入椭圆方程，设点 ，由韦达定理得，代入圆锥曲线中的弦长求得 k 的范围，再用数量积的坐标表示计算并化为 k 的函数，从而可得 的取值范围
