1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第三章函数第一节函数的概念初中我们学过对应，例如：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对和它对应；对于任何一个三角形，都有唯一的一个确定的面积和它对应.这一节我们将学习映射与函数.看下面的例子：在图3-1中，设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集.图3-1第一节函数的概念说明：(2)(3)这两个对应的共同特点是,对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应.设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都有唯一的
2、元素b和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射.记作f:A B.元素a叫做元素b的原象，元素b叫做元素a的象.第一节函数的概念可以看出：(2)(3)这两个对应都是集合A到集合B的映射；(1)不是集合A到集合B的映射.映射的三要素：集合A、集合B、对应法则f，缺一不可；集合A中的元素一定有象，且唯一；集合B中的元素不一定有原象，即使有也未必唯一；集合A、集合B可以是数集，也可以是点集或其他集合.第一节函数的概念映射概念是函数概念的推广.函数传统定义函数传统定义设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数函数，自变量x
3、取值的集合叫做定定义域义域，自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值y的集合叫做函数的值域值域.第一节函数的概念近代定义近代定义(从映射的观点定义函数)如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数函数，记作y=f(x)，其中xA，yB，原象的集合叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合M()叫做函数y=f(x)的值域值域.函数有三要素：定义域，值域，对应法则.第一节函数的概念函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，可简记为函数f(x)，有时也记为g(x)，F(x).f(a)的意义：自变量x取确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)表示.两个函数相同：当且仅当两个函数的三
4、要素完全相同时,这两个函数相同.第一节函数的概念前面我们学习了函数的概念、表示方法，现在我们来研究一下函数的性质.单调递增函数单调递增函数设函数f(x)的定义域为D,如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数增函数，如图3-2所示.第二节函数的单调性第二节函数的单调性图3-2第二节函数的单调性图3-3单调递减函数如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数，如图3-3所示.第二节函数的单调性单调性如果函数y=f(x)
5、在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间单调区间.在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的.要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.第二节函数的单调性第三节函数的奇偶性图3-4函数f(x)=2x的图像(图3-4)关于原点对称，f(-x)=-f(x)；由此，我们引出奇函数的定义.奇函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.根据上面的定义，函数f(x)=2x是
6、奇函数.第三节函数的奇偶性图3-5函数f(x)=x2的图像(图3-5)关于y轴对称，f(-x)=f(x)；由此，我们引出偶函数的定义.偶函数偶函数如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.根据上面的定义,函数f(x)=x2+1,f(x)=x4-2等都是偶函数.第三节函数的奇偶性奇偶性的定义奇偶性的定义如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：(1)其定义域关于原点对称；(2)f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)必有一项成立.因此，判断某一函数的奇偶性时
7、，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域不关于原点对称，则函数没有奇偶性.(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数非奇非偶函数.(4)函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)=f(-x)也满足f(x)=-f(-x).(5)奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数.偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.第三节函数的奇偶性第三节函数的奇偶性第三节函数的奇偶性第三节函数的奇偶性第四节反函数在物理上，我们学过匀
8、速运动的位移和时间的函数关系，即s=vt与t=s/v(其中速度v是常量),在s=vt中，位移s是时间t的函数.在t=s/v中，时间t是位移s的函数.在这种情况下，我们说函数t=s/v是函数s=vt的反函数.在函数y=2x(xR)中，x是自变量，y是x的函数.从函数y=2x中解出x，就可以得到式子x=1/2y(yR).这样，对于y在R中的任何一个值，通过式子x=1/2y，x都有唯一的值和它对应.这就说明可以把y作为自变量，x作为y的函数.这时，我们就说x=1/2y(yR)是函数y=2x(xR)的反函数.由此，我们可给出反函数的定义.第四节反函数设有函数y=f(x),其定义域D,值域为M.如果对于
9、M中的每一个y值(yM),都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(xD)与之对应,这样就确定了一个以y为自变量的新函数,即为x=f-1(y),这个函数就叫做y=f(x)的反函数,它的定义域为M,值域为D.第四节反函数函数y=f(x)的反函数x=f-1(y)中是以y表示自变量的,为了符合习惯，我们常常对换函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x),xM符号f-1的含义有二个：一是表明原函数的反函数；二是表明反函数的对应法则.第四节反函数对于任意一个函数y=f(x)，它的反函数不一定存在.例如，在函数y=x2(xR)中，因为对于y(y0)都有两个值与它对应，所以不能构成yx的
10、映射，更不能构成函数.我们就说在函数y=x2(xR)没有反函数.y第四节反函数反函数与函数的关系:(1)反函数与函数是相对的.如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，即y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.(2)函数y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义域.第四节反函数求函数y=f(x)的反函数的一般步骤一般步骤是：(1)由y=f(x)解出x=f-1(y)，写出y的取值范围；(2)互换x,y，得y=f-1(x)；(3)写出完整结论(一定要有反函数的定义域).第四节反函数第四节反函数图3-6图 3-6第四节反函数第四节反函数第四节反函数第四节反函数
