1、通信原理第第3章章 随机过程随机过程概念概念随机过程随机过程平稳过程平稳过程白噪声白噪声平稳随机过程平稳随机过程通过线性系统通过线性系统窄带随机过程窄带随机过程http:/ 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 样本函数集合样本函数集合 随机变量集合随机变量集合 分布函数，数字特征，分布函数，数字特征，E的计算的计算3.2 平稳随机过程平稳随机过程 严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性 过程的时域、频域特性，功率概念，维纳过程的时域、频域特性，功率概念，维纳-辛钦定理辛钦定理 3.4 平稳随机通过线性系统：平稳随机通过线性系统：输出平
2、稳，输出功率谱输出平稳，输出功率谱3.5 窄带随机过程：窄带随机过程：窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法3.3 高斯随机过程（概念）高斯随机过程（概念）3.6 白噪声白噪声第2页，共62页。随机过程初识：初识：特征量：特征量：两个集合两个集合分类分类分布函数，数字特征分布函数，数字特征平稳平稳高斯高斯定义：严、宽定义：严、宽时域频域特征时域频域特征维纳维纳-辛钦定理辛钦定理通过线性系统的求解通过线性系统的求解举例：白噪声举例：白噪声应用：窄带随机过程应用：窄带随机过程第3页，共62页。第第3 3章章 随机过程随机过程l3.1 随机过程的
3、基本概念随机过程的基本概念n什么是随机过程？什么是随机过程？u随机随机：发生前不定，发生后确定：发生前不定，发生后确定u随机试验随机试验：抛硬币，样本空间，随机变量：抛硬币，样本空间，随机变量 统计概率，数字特征统计概率，数字特征u找100人同时抛硬币，1小时后的集合小时后的集合=随机过程随机过程u角度角度1：对应不同随机试验结果的：对应不同随机试验结果的时间过程的集合时间过程的集合。第4页，共62页。3.1 随机过程的基本概念【例】n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输台接收机的输出噪声波形出噪声波形 p样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。p随机
4、过程：(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。(t1)=1(t1),2(t1),n(t1)(t1)是是随机变量随机变量！第5页，共62页。3.1 随机过程的基本概念u角度角度2：随机过程是：随机过程是随机变量的集合随机变量的集合。p在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，上，(t)中的每个中的每个样本函数有一个取值样本函数有一个取值 i(t1)全全部部取值集合取值集合 i(t1),i=1,2,n是个随机变量，记为是个随机变量，记为 (t1)。p (t)=(t1),(t2),n(tn)p我们可以把我们可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于不同时刻的在时间进程中处于不同时
5、刻的随随机变量的集合机变量的集合。p这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。(t1)=1(t1),2(t1),n(t1)第6页，共62页。n3.1.1随机过程的分布函数随机过程的分布函数u不同时刻有不同的分布（那时它是随机变量）。不同时刻有不同的分布（那时它是随机变量）。u随机过程随机过程 (t)的的一维分布函数一维分布函数：u随机过程随机过程 (t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf3.1 随机过程的基本概念随机过
6、程是随机变量的集合随机过程是随机变量的集合第7页，共62页。3.1 随机过程的基本概念u随机过程随机过程 (t)的的二维分布函数二维分布函数：u随机过程随机过程 (t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。若上式中的偏导存在的话。u随机过程随机过程 (t)的的n维分布函数维分布函数：u随机过程随机过程 (t)的的n维概率密度函数维概率密度函数：221121212)(,)(),;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nn
7、n21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，第8页，共62页。n3.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征u均值（数学期望）（数学期望）：在任意给定时刻在任意给定时刻t1的取值的取值 (t1)是一个随机变量，其均值是一个随机变量，其均值式中式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数的概率密度函数由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接写为直接写为t，x1改为改为x，这样上式就变为这样上式就变为结果是结果是t的函数！一直在变，永不停息的函数！一直在变，永不停息-咋认得它？咋认得它？dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfx
8、tE3.1 随机过程的基本概念集合平均第9页，共62页。(t)的均值是时间的确定函数，常记作的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表，它表示随机过程的示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心:dxtxxftE),()(1a(t)3.1 随机过程的基本概念第10页，共62页。u方差方差常记为方差常记为 2(t)。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻t1直接写成了直接写成了t。因为因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻随机过程在时刻 t 对于均值对于均值a(t)的偏离程度。的偏离程度。2)()()(tatEtD
9、 )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方3.1 随机过程的基本概念第11页，共62页。u相关函数式中，式中，(t1)和和 (t2)分别是在分别是在t1和和t2时刻观测得到的随机变时刻观测得到的随机变量。可以看出，量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量是两个变量t1和和t2的确定函数。的确定函数。u协方差函数协方差函数式中式中 a(t1)a(t2)在在t1和和t2时刻得到的时刻得到的 (t)的均值的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。2121212212121),;,
10、()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 3.1 随机过程的基本概念第12页，共62页。p相关函数和协方差函数之间的关系相关函数和协方差函数之间的关系u互相关函数式中式中(t)和和(t)分别表示两个随机过程。分别表示两个随机过程。因此，因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR3.1 随机过程的基本概念随机过程特性时变，如何认识分析？第13页，共62页。第第3
11、 3章章 随机过程随机过程l3.2 平稳随机过程平稳随机过程n3.2.1 平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义u定义：定义：若一个随机过程若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数任意的正整数n和和任意实数任意实数，有，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称简称严(狭义)平稳随机过程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；如何证？如何证？第14页，共62页。)(),(11111xftxft1t1+t1+2*),(),(
12、21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；);,(),;,(21221212xxfttxxf),(111txf),(111txf)*2,(111txf=),;,(11212ttxxf)*2,;,(11322ttxxf=)*2,;,(11312ttxxf第15页，共62页。u性质性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：无关：而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 =t2 t1有关：有关：u数字特征数字特征：可见，（可见，（1）其均值与
13、）其均值与t无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关有关。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 3.2 平稳随机过程第16页，共62页。u宽(广义)平稳随机过程：（1）其均值与）其均值与t 无关，为常数无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。把同时满足（把同时满足（1）和（）和（2）的过程定义为）的过程定义为宽宽(广义广义)平平稳随机过程稳随机过程。显然
14、，。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。实际意义。3.2 平稳随机过程第17页，共62页。n3.2.2 各态历经性u问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本
15、，这样，我们自但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从然会提出这样一个问题：能否从一次试验而而得到的一到的一个样本函数个样本函数x(t)来决定平稳过程的来决定平稳过程的数字特征呢呢?u“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）假设）假设 设设2个样本函数，个样本函数，f1(t1)=1,f2(t1)=0=P(1,t1)=1/2 设设f1(t2)=0,则则f2(t2)=1,因平稳。因平稳。P(1,t2)=1/2 推而广之：推而广之：f1(t)必取得集合的所有可能取值必取得集合的所有可能取值3.2 平稳随机过程第18页，共62页。u各态历经性条件设：设：
16、x(t)是平稳过程是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），的任意一次实现（样本），则其则其时间均值时间均值和和时间相关函数时间相关函数分别定义为：分别定义为：如果平稳过程使下式成立如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa3.2 平稳随机过程时间平均=集合平平均第19页，共62页。u“各态历经各态历经”的的含义含义是：随机过程中的任一次实现都经是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计历了随机
17、过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均时间平均”值值代替过程的代替过程的“统计平均统计平均”值即可，从而使测量和计算的值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。问题大为简化。u具有具有各态历经各态历经的随机过程的随机过程一定一定是是平稳平稳过程，过程，反之不一定反之不一定成立成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。能满足各态历经条件。3.2 平稳随机过
18、程第20页，共62页。u 例例3-1 设一个随机相位的正弦波为设一个随机相位的正弦波为其中，其中，A和和 c均为常数；均为常数；是在是在(0,2)内均匀分布的随机内均匀分布的随机变量。试讨论变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。是否具有各态历经性。【解】【解】(1)先求先求(t)的统计平均值：的统计平均值：数学期望数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc3.2 平稳随机过程第21页，共62页。自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t
19、 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc3.2 平稳随机过程第22页，共62页。(2)求求(t)的时间平均值的时间平均值比较统计平均与时间平均，有比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdtt
20、AtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa3.2 平稳随机过程第23页，共62页。3.2 平稳随机过程n3.2.3 平稳过程的平稳过程的自相关函数 -时域特征u平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的定义：同前u平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质p (t)的平均功率的平均功率p 的偶函数的偶函数p R()的上界的上界p (t)的的直流直流功率功率p (t)的的交流交流功率。功率。当均值为当均值为0时，有时，有 R(0)=2 。)()0(2tER)()(RR)0()(RR22a)()(tER2)()0(R
21、R0)()(2ttE第24页，共62页。n3.2.4 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度u定义：定义：p对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为，它的功率谱密度定义为式中，式中，FT(f)是是f(t)的截短函数的截短函数fT(t)所对应的频谱函数所对应的频谱函数TfFmi lfPTTf2)()(3.2 平稳随机过程第25页，共62页。p对于平稳随机过程对于平稳随机过程 (t)，可以把，可以把f(t)当作是当作是(t)的一个样本；的一个样本；p某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。p过程的功率谱密度应看
22、作是对所有样本的功率谱的过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统统计平均计平均p故故 (t)的功率谱密度可以定义为的功率谱密度可以定义为TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(3.2 平稳随机过程第26页，共62页。u功率谱密度的计算p维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为简记为以上关系称为维纳以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个中
23、是一个非常重要的工具非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR3.2 平稳随机过程R(0)=？第27页，共62页。p例例3-2 求随机相位余弦波求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数的自相关函数和功率谱密度。和功率谱密度。【解解】在在例例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一
24、对傅里叶变换，即有变换，即有 以及由于有以及由于有所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为平均功率为平均功率为 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS3.2 平稳随机过程第28页，共62页。第第3 3章章 随机过程随机过程l 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）n3.3.1 定义定义u如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n=1,2,.）分布均服）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。u n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示
25、式为：式中式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa第29页，共62页。式中式中|B|归一化协方差矩阵的行列式，即归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(3.3 高斯随机过程第30页，共62页。n 3.3.2 性质性质un维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一维分布只依
26、赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。化协方差。u宽平稳的高斯过程也是严平稳的。宽平稳的高斯过程也是严平稳的。u不相关就独立。不相关就独立。即对所有j k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为u经线性系统后输出仍是高斯过程经线性系统后输出仍是高斯过程3.3 高斯随机过程),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf第31页，共62页。n 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量u定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率
27、密度函的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为数为式中式中a 均值均值 2 方差方差曲线如右图：曲线如右图：221()()exp22xaf x3.3 高斯随机过程第32页，共62页。u性质性质p对称对称p pa中心，中心，偏差偏差(集中程度集中程度),减小减小,图图?p当当a=0和和 =1时，称为标准化的正态分布：时，称为标准化的正态分布：xafxaf 1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21()exp22xf x3.3 高斯随机过程第33页，共62页。u正态分布函数正态分布函数不易计算，通常用查表的方法求不易计算，通常用查表的方法求p用误差函数表示正态分布函数：令用误差函
28、数表示正态分布函数：令 则有则有 及及 式中式中 误差函数，可以查表求出其值。误差函数，可以查表求出其值。221()()()exp22xzaF xPxdz2/)(aztdtdz22()/2()22121122xatF xedtxaerf202()xterf xedt3.3 高斯随机过程还有其他方法！还有其他方法！第34页，共62页。第3章 随机过程l3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统n确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统（复习）（复习）：式中式中 vi 输入信号，输入信号，vo 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系：对应的傅里叶变换关系：n随机信号通过线性系统：随机信
29、号通过线性系统：u假设：假设：i(t)是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程，a 均值，均值，Ri()，Pi()；求输出过程求输出过程 o(t)的统计特性的统计特性(均值、自相关函数、均值、自相关函数、功率谱以及概率分布功率谱以及概率分布)。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f()f()f(0iVHVdthti)()()(0第35页，共62页。u输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 两边取统计平均两边取统计平均,得到得到设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的，则有，则有 式中，式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f=0处的频率响应，因此输出处的频率响应，因此输出过程的均值
30、是一个常数。过程的均值是一个常数。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE3.4 平稳随机过程通过线性系统第36页，共62页。u输出过程输出过程 o(t)的自相关函数：的自相关函数：根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有于是于是 上式表明上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。的函数。由上两式可知，由上两式可知，若输入平稳，则输出平稳若输入平稳，则输出平稳。ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()(
31、)()()()()()(),(11111010110)()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 3.4 平稳随机过程通过线性系统第37页，共62页。u输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度令令 =+-，代入上式，得到，代入上式，得到结论结论ddRhhRi)()()()(0 deRfPj)()(00deddRhhji)()()(0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii3.4 平稳随机过程通过线性系统维纳维纳-辛钦定理辛钦定理第38页，共62页。u输出过程输出过程 o(t)的概率分布的
32、概率分布p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。程也是高斯型的。因为从积分原理看，因为从积分原理看，可以表示为：可以表示为：由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个量之和。由概率论理论得知，这个“和和”也是高斯随机也是高斯随机变量，因而输出过程也为高
33、斯过程。变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(03.4 平稳随机过程通过线性系统第39页，共62页。第3章 随机过程l3.5 窄带随机过程窄带随机过程 n什么是什么是窄带窄带随机过程？随机过程？若随机过程若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围附近相对窄的频带范围 f 内，即满足内，即满足 f)(),(ttsc是高斯随机过程第45页，共62页。3.5 窄带随机过程根据互相关函数的性质
34、，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc()是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR同相分量、正交分量同一时刻互不相关！同相分量、正交分量同一时刻互不相关！第46页，共62页。3.5 窄带随机过程将将代入下两式代入下两式得到得到即即上式表明上式表明(t)、c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(sc
35、RRR222sc c(t)与与 s(t)在在 =0处互不相关，高斯处互不相关，高斯=c(t)与与 s(t)是统计独立的是统计独立的。第47页，共62页。3.5 窄带随机过程u结论结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t t)，它的同相分，它的同相分量量 c c(t t)和正交分量和正交分量 s s(t t)同样是平稳高斯过程，而且均值为同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的 c c和和 s s是互不是互不相关的或统计独立的。相关的或统计独立的。2exp21)()(),(2222scscscff
36、f第48页，共62页。3.5 窄带随机过程n3.5.2 a(t)和和 (t)的统计特性的统计特性ua 的一维概率密度函数的一维概率密度函数可见，可见，a 服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)分布。分布。),()(),(),(,afafscsc202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa2exp21)()(),(2222scscscfffsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp2),(),(2222scscafaaf第49页，共62页。u 的一维概率密度函数的一维概率密度函数可见，可见，服从均匀分布。服从均匀分布。20212
37、exp21),()(02220daaadaaff3.5 窄带随机过程第50页，共62页。u结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程(t)，其，其包络包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位 (t)的一维分布的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与与 (t)是统计是统计独立的独立的，即有，即有)()(),(fafaf3.5 窄带随机过程第51页，共62页。第第3 3章章 随机过程随机过程l3.6 正弦波加窄带高斯正弦波加窄带高斯噪声噪声(自学自学)广义瑞利分布广义瑞利分布，又称，又
38、称莱斯莱斯（Rice）分布）分布第52页，共62页。第3章 随机过程l3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声n白噪声白噪声n(t)u定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中式中 n0 正常数正常数u白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：变换，得到相关函数：2)(0nfPn)(f0)(nfPn)(0 f)(2)(0nR第53页，共62页。u白噪声和其自相关函数的曲线：白噪声和其自相关函数的曲
39、线：3.7 高斯白噪声和带限白噪声第54页，共62页。u白噪声的功率白噪声的功率如果白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即如果白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或p因此，真正因此，真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构造的一的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。种理想化的噪声形式。p实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。p如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高高斯
40、白噪声斯白噪声。p高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。仅是互不相关的，而且还是统计独立的。f2n)0(0dR)0(2)0(0nR3.7 高斯白噪声和带限白噪声第55页，共62页。n低通白噪声低通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声低通白噪声。u功率谱密度功率谱密度p由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，内，通常把这样的噪声也
41、称为通常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。u自相关函数自相关函数其它02)(0HnffnfPHHHfffnR22sin)(03.7 高斯白噪声和带限白噪声第56页，共62页。u功率谱密度和自相关函数曲线功率谱密度和自相关函数曲线p由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。),3,2,1(2/kfkH3.7 高斯白噪声和带限白噪声第57页，共62页。n带通白噪声带通白噪声u定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为想带通信道，则其输出的噪声称
42、为带通白噪声带通白噪声。u功率谱密度功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为式中式中fc 中心频率，中心频率，B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为fBffBffHcc其他0221)(fBffBfnfPccn其它0222)(03.7 高斯白噪声和带限白噪声第58页，共62页。u自相关函数自相关函数dfendfefPRfjBfBffjncc222022)()(dfenfjBfBfcc22202cfBBBn2cossin03.7 高斯白噪声和带限白噪声0)(RBnR0)0(第59页，共62页。n窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声u通常，带通滤波
43、器的通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声。u窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。节。u平均功率平均功率dfndffPBnNBfBfcc22002*2)(3.7 高斯白噪声和带限白噪声第60页，共62页。612 2、设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度、设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度，零均值高斯过程，接收滤波器的传输特性为，零均值高斯过程，接收滤波器的传输特性为（1 1）求滤波器的输出噪声功率谱密度和平均噪声功率；）求滤波器的输出噪声功率谱密度
44、和平均噪声功率；（2 2）求输出噪声的一维概率密度函数。）求输出噪声的一维概率密度函数。1 1、若、若(t)(t)是平稳随机过程，自相关函数为是平稳随机过程，自相关函数为R()R()，试求它，试求它通过如下图的系统后的自相关函数及功率谱密度。通过如下图的系统后的自相关函数及功率谱密度。第61页，共62页。3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 样本函数集合样本函数集合 随机变量集合随机变量集合 分布函数，数字特征，分布函数，数字特征，E的计算的计算3.2 平稳随机过程平稳随机过程 严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性 过程的时域、频域特性，功率概念，维纳过程的时域、频域特性，功率概念，维纳-辛钦定理辛钦定理 3.4 平稳随机通过线性系统：平稳随机通过线性系统：输出平稳，输出功率谱输出平稳，输出功率谱3.5 窄带随机过程：窄带随机过程：窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法3.3 高斯随机过程（概念）高斯随机过程（概念）3.6 白噪声白噪声 理想与带限理想与带限 窄带白噪声窄带白噪声第62页，共62页。
