1、 第五章傅里叶应用于通信系统第五章傅里叶应用于通信系统5.2利用系统函数利用系统函数H(jw)求响应求响应5.3无失真传输无失真传输5.4 理想低通滤波器理想低通滤波器5.8带通滤波系统的运用带通滤波系统的运用5.9从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号5.2利用系统函数H(jw)求响应一.系统函数的概念(频域)()()(jwEjwRjwH)()()(tethtrzs)()()(jwEjwHjwR输入的傅里叶变换输出的傅里叶变换)()()(jwEjwRjwH系统的频率特性)()(thFTjwH1:系统函数:证明:2:求系统函数的方法:(1)输出的傅里叶比输入的傅里叶变换 (2)求
2、系统冲激响应的傅里叶变换.说明:系统的功能是对信号各频率分量进行加权,某些频率 分量增强,而某些频率分量减弱,每个频率分量在传输的过 程中产生各自的附加相移.同同频频率率分分量量进进行行相相乘乘)jw(Ee)jw(H)jw(E)jw(H)jw(R)w(j1 )10()10()10()10(2121)10()10()10()10()10()10()10(jjjejEjHejEejHjEjHjR设:输入信号中包含w=10rad/s,对于这个频率得到的响应)()()(tethtr)()()(jwEjwHjwR)()(1jwRFTtr方法:二:利用系数函数FT求系统的响应)t(vFT),t(v)t(e
3、21分分析析方方法法求求利利用用为为矩矩形形脉脉冲冲如如图图电电路路，输输入入)()()(12tvthtv)()()(12jwVjwHjwV)()(212jwVFTtV)(1tvEt例:解:Rc)(2tv)(1tv2211)()(jwweSaEtvFTjwv)()(201tvtv分压公式）()()(1)(12111jwRctvRtvtvjwcjwcRcjwjwRcjwvjwvjwH111)()(12)(其中其中:222)(jwwjweSaEjwv222)(2wSaEwjwv)22(2)12(22)12(242arctan0arctan)(nnwwnnwwwww)1()1)()1)()(1222
4、jwjwEjwjwjwjwwjweewEewEeSaEjwv)(1)()1()()()(212tueEtueEjwvFTtvtt)(tht)(1tVtEw)(2jwVw)(1jwV)(jwH1cwwt)(2tVte1)(1te 2:输出信号波形与输入相比产生了失真，表现在上升和下降 特性上。说明：1:输入信号频谱的高频分量比起低频分量受到较严重的衰减，是一低通滤波器时时间间常常数数，而而中中的的指指数数因因子子于于上上升升和和下下降降的的速速度度取取决决Rce)t(vRc1t2 的上升和下降速度可改变输出的值改变电路中)(,2tvcRRcet上升快，需要1Rcet上升慢，需要13:电路网络不允
5、许高频分量通过，输出电压不能迅速变化。4:减少滤波器的时间常数，则此低通滤波器带宽增加，允许 更多的频率分量通过222)()(111wjjwRcjwHjwHRcw5:本电路图为一阶无源低通滤波器。5.3无失真传输一:无失真传输的条件1:无失真:响应信号与激励信号相比,只是大小与出现的时间不同,而无波形上的变化)(tet系统0tt)(tr2:时域条件:为滞后时间为常数，00)()(tkttketr0)()(jwtejwkEjwR0)()()(jwtjwEjwRkejwH0)(,)(wtjwkjwH即：频域条件:w)(jwH0wt)(jww从系统函数的意义上讲,输出仅是输入的线形放大和延时.则系统
6、不使输出波形失真.二:进行无失真传输遇到的问题.1:如何保证信号经过系统不会失真.2:如何根据要求设计系统函数 说明:欲使信号在通过过线形时不变系统时,不产生任何失真,必须在信号的全部频带内,要求系统的频率响应特性是一常数,相位特性是一通过原点的直线.3:什么系统函数是理想函数4:如何将设计的理想的系统函数变为物理可以实现的5:信号在经过系统前后能量有何变化三:振幅失真和相位失真1:振幅失真:而产生的失真由kjwH)(2:相位失真:而引起的失真0)(wtjw220wt16w16)(jw例:系统的频谱如图缩示，当激励为如下三种信号时，求 各自的响应，讨论失真情况。)(jwH21w20101020
7、3211602t斜率)8sin()6sin(2)()1(ttte)14sin(2)8sin(3)()2(tttewwtw3210)()18sin(3)14sin(4)()3(ttte 解:)()()(thtetr)()()()()()()(321)(jwEejwHjwEejwHjwHjwEjwRwjwj458sin28.336sin4)(88sin2)(66sin22)()(321321tttttrte10)(8sin2)(6sin4321321tt(1):幅值和相位无失真，所以，波形无失真。为：201410108)(14sin2)(8sin6)(1414sin21)(88sin32)(321
8、321321321tttttr波形失真发生了幅度失真同的倍数，两个频率分量扩大了不和对于148(2):201410201810)(143210wt16182)(jw)(18sin3)(14sin418sin3)(1414sin4)(3613212321tttttr(3):放大1倍幅值相位变化不一样，发生了相位失真。正数0)(dwwdwwdwwd)()(常数)(,)(,)()()(00trejwHeewjtwwjtwwj求其响应的系统中特性为同时作用于频响及设有两个复数信号群延时：若不产生相位失真,则：例：四:群延时(群时延):是对于传输系统相移特性的另一种 表述方法。)(21)()()()(0
9、000000)(cos)(wtjwwwwjtwwjwwjtwwjetweeeetr)(00w)(00ww)(00ww出现在包络中群延时dwwdww)(0lim出现在载波中相位延时00w解：其中:)()(0ttkth0t五:对h(t)的要求当信号通过线性系统时，为了不产生失真，冲激响应也应该是冲激响应，而时间延后5.4 理想低通滤波器一.理想低通滤波器的频域特性)()()(wjejwHjwH其它01)(ccwwwjwH0)(wtwcwccwww其中:工作特性:原因:)(jwHwwwcc)(w0wtw将低于某一频率的所有信号传送，而无任何失真，将频率高于的信号完全衰减cw内，理想低通滤波器满足无失
10、真条件)()(jwHth)()()()(0212110ttwSadweedwejwHjwHFTthcwwwjwtjwtjwtccc)(t)(th理低二.单位冲激响应存在问题:为负时已经存在然而响应在时刻加入，在激励信号ttt0)(说明:(1)理想低通滤波器是一个非因果系统.(2)理想低通滤波器具有不可实现性.)(tSat2cwt0)(thtcw0t三:系统的物理可实现性(佩利维纳准则)理想低通滤波器在物理上是不可实现的,然而,传输特性接近于理想特性的滤波网络不难实现.CLR)(th求例:简单的低通滤波器如图。求:该滤波网络的幅度特性和相位特性._)(2tVRC)(1tVL)(/)()()()(
11、111112wjCRjwLCRjwLjwVjwVejwHjwHjwCRjwCR222)()(11)(cwwcwwjwHarctan)(2)(1cwwcwww解:0)(1)(0wjwHw221)()(wjwHwwc)(0)(wjwHw)(th求0)sin()()(2332)()(321122232223ttweFTjwHFTthcwwjwwwtcwcccwcc画图:观察与理想低通滤波器的区别：1 幅度特性不可能出现零值2 冲激响应的起始时刻在t=0处)(jwH121cwcw)(w22)(tht00)(,0tht满满足足平平方方可可积积)(jwHdwjwH2)(必必要要条条件件 dw2w1)jw(
12、Hln0)(jwH1 时域因果性 2 频域 3 佩利维纳准则 区分物理可实现特性与不可实现特性的标准：能量有限4 频带内不为零 换句话说：零零许在一个有限频带内为许在一个有限频带内为频率点上为零，但不允频率点上为零，但不允特性在某些不连续的特性在某些不连续的允许允许对于物理可实现系统，对于物理可实现系统，)(jwH 例：理想带通理想带阻理想高通理想低通1t物理不可实现例:是否物理可实现高斯幅频特性2)(wejwH解:应用佩利维纳准则 不收敛)2lim(2arctanlim)(2222211ln1)(lnBBwwBdwdwdwBBwwwewjwHw所以:不可实现四.理想低通的阶跃响应理想低通滤波
13、)()(tht 理想低通滤波ttdhtrdtu)()()()()(tu积分理低)(t)(tu)(tr)(t)(th)(tr理想积分器1:利用单位冲激响应求结果ttwtwwtddhtrccc)()(sin00)()(cwdxccddwdxtwx)(0)(:0ttwxtc)(0121)(sin0ttwSicwdxttwxcccwx令:211)(tr0trt定义:dxySiyxx0sin)(2:引入正弦积分的概念和性质的积分的积分是是xxsin)x(Sa)y(Si 处处出出现现极极值值在在处处变变号号，在在 nx)y(Sin)x(Sa)y(Si)y(Si)y(Si 是是奇奇函函数数0)0(Si2)(
14、Si近近于于直直线线附附近近，在在)y(Si0y 性质:（1）（2）（3）（4）（5）（6）波波纹纹的的震震荡荡为为吉吉布布斯斯的的震震荡荡为为非非因因果果，Gibbstt 最最大大值值所所需需的的时时间间定定义义为为输输出出由由最最小小值值到到上上升升时时间间rt止止频频率率成成反反比比上上升升时时间间和和滤滤波波器器的的截截cw2rt )tt(u)t(r,w0c 时时当当C,R)t(rwc而确定电路中的而确定电路中的滤波器的截止频率，从滤波器的截止频率，从上升时间可设计上升时间可设计上升越缓慢。根据输出上升越缓慢。根据输出越低，越低，（1）（3）（4）（5）3:吉布斯现象（2）预冲和过冲预
15、冲和过冲t1)(te五.理想低通对矩形脉冲的响应)()()(tutute)()()()()(00101210121ttwSittwSittwSittwSitrcccc 1:求r(t)121)(tr0t20trt0tt注：rw2ctwc 适应适应的截止频率相的截止频率相与滤波器与滤波器输时，必须使脉宽输时，必须使脉宽矩形脉冲经理想低通传矩形脉冲经理想低通传cw频率频率理想低通滤波器的截止理想低通滤波器的截止和和矩形脉冲的宽度矩形脉冲的宽度输出脉冲的形状取决于输出脉冲的形状取决于 cfGibbs波波形形的的数数目目输输出出脉脉冲冲所所包包含含的的说明:(1)(2)例题见P279图5-135.8带通
16、滤波系统的运用一.调幅信号作用于带通系统)t(V,t100cos)tcos1()t(V,)s(H21100)1s(s2)s(V)s(V2212求稳态响应求稳态响应为为激励信号激励信号数为数为已知带通滤波器转移函已知带通滤波器转移函 )w2100w()jw(H)100w(j11j22jw2100)jw(jw2100)1jw(jw2)jw(V)jw(Vw)100w)(100w(222212 例:解:系统的频率响应特性t99cost101cost100cos)t(V21211 45j2245j22e)99j(He)101j(H1)100j(H ttttttV100cos)45cos(1)4599co
17、s()45101cos(100cos)(2222222120,ww,w,00而载波时延等于而载波时延等于即包络时延即包络时延之比计算群时延之比计算群时延和和为中心取为中心取以以其相频特性为零其相频特性为零与载波频率对应与载波频率对应带通滤波器中心点带通滤波器中心点通常通常 二.频率窗函数的运用 d)(w)(f)t(fata1为为产产生生输输出出信信号号通通过过某某线线形形时时不不变变系系统统若若信信号号)w(Ha求此系统的系统函数求此系统的系统函数的图形的图形并画并画求求若若w)w(H),w(H)t(waat)t3cos()tsin(的图形有何变化的图形有何变化改变时，改变时，当当w)w(Ha
18、a 例:(1)(2)(4)(3)说明此系统具有何种功能dthfthtftr)()()()()()()()()(11ataatawtfdwf)()()()(1awwawHwthaataa解解:(1)(1)w(W)t(w)w(Ha的表达式，只要求的表达式，只要求要求要求t3cos)t(Sa)t(w1t)t3cos()tsin(的的频频谱谱进进行行搬搬移移即即把把)t(Sa1 )()()(11wuwutSa(2)(2)4()2()2()4(3cos)()(211wuwuwuwuttSatw 为其他值为其他值当当w0w)aw(Wa)w(Ha4a2a21a211212EwEw11)(wF121111wa
19、aaaa43224a21)(wHaw422421)(wWawaBw230变变窄窄中中心心频频率率w0Bwa 变变宽宽中中心心频频率率w0Bwa 中心频率:(4)当a改变时,可调节此带通滤波器的中心频率与带宽 (3)此系统功能是理想带通滤波 这里构成了一个性能可调整的频带窗函数位位置置和和开开窗窗宽宽度度可可调调整整开开窗窗改改变变的的频频谱谱开开窗窗对对从从频频域域观观察察a,)t(f)aw(W,5.9从抽样信号恢复连续时间信号 一.由抽样信号恢复连续时间信号(冲激)()()(wHwFwFs)()()(thtftfsnsssnTtnTftf)()()()()(1twSaTthcTwsccccw
20、TsnscsnscsTwscTwsnssTnTtwSanTfnTtwSanTfTtwSaTnTtnTftf111)()()()()()()()(取主频带:)(tfssTmwsw)(wFssT1)nT(fSa)t(fs系系数数等等于于抽抽样样值值的的函函数数的的无无穷穷级级数数，级级数数可可展展开开成成连连续续信信号号)t(fSa)nT(f)t(f:ss就就是是函函数数波波形形由由此此合合成成信信号号的的峰峰值值为为的的每每个个抽抽样样值值上上画画一一个个在在抽抽样样信信号号即即表明:相位为零sT)(th1TwscTcwcwsTw)(wH1mwmw)(tf)(tp)(0tfs零阶抽样保持二.零阶
21、抽样保持 1:抽样过程间间为为止止直直到到下下一一个个抽抽样样瞬瞬保保持持这这一一样样本本值值抽抽样样对对脉脉冲冲序序列列在在抽抽样样瞬瞬间间,)t(f)t(p,)t(h)t(p)t(f)t(f:)t(f00s0s 只有阶梯形状只有阶梯形状的形成的形成)t(f0s)(tf)(tfs)(tp)(0tfs0tTs1)(0th2:nssss)nww(Fw)w(F)t(f2swTsj2wTs00eSaT)w(H)t(h 2swTs2swTsj2wTnsj2wTsnss0s0seSa)nww(FeSaT)nww(Fw)w(H)w(F)w(F 2w2wSaer0ss2swT2swTjw0w)jw(H为周期
22、重复为周期重复，频谱以，频谱以的频谱仍然是的频谱仍然是w)w(F)t(f0s2swTsj2wTe)(Sa 和和延延时时因因子子要要乘乘以以加补偿低通滤波器特征:(1)(2)(3)接收端不应用理想低通滤波器,而是应用具有 如下补偿特性的低通滤波器三.一阶抽样保持)()()()(11thtptftfsnsssnwwFwwF)()(2211)()(swTsSaTwHth2211)()()()(swTnsssSanwwFwHwFwF)(tf)(tfs)(tp)(1tfs1tTssT)(1thsT)(tfs)(tft为周期重复为周期重复，频谱以，频谱以的频谱仍然是的频谱仍然是s1sw)w(F)w(F)(Sa2wT2s要要乘乘以以 2w2w)(Sa1r1ss2swT2w0w)jw(H特征:(1)(2)(3)接收端不应用理想低通滤波器,而是应用具有如下 补偿特性的低通滤波器
