1、有限元分析Finite Element Analysis课程目标了解有限元法的概念和形成过程，掌握有限元方法的基本思路。以弹性力学平面问题、稳态传热问题为主要背景，讲授有限元方法的原理与核心算法，包括建模方法、单元分析、整体分析、等参单元、数值积分等。学习有限元软件ANSYS的使用方法，初步掌握用有限元法分析工程问题的方法。了解有限元法的工程应用与有限元软件的发展水平。课程评估 平时作业20%课程大作业30%测验/考试50%联系方式办公地点：焊接馆218电 话：62797009E-mail :参考书目(美)Saeed Moaveni著,欧阳宇,王崧等译.有限元分析ANSYS理论与应用.北京:电
2、子工业出版社,2003 Saeed Moaveni.Finite Element Method Theory and Application with ANSYS.New Jersey:Prentice-Hall,Inc.,1999 王勖成,邵敏编著.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,1997 曾攀.有限元分析及应用.北京:清华大学出版社,2004 朱伯芳著.有限单元法原理与应用（第2版）.北京:中国水利水电出版社,1998 O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.The finite element method(5th ed).Oxford;Boston:B
3、utterworth-Heinemann,2000 杨桂通.弹性力学.北京:高等教育出版社,1998 1 有限单元法简介1.1有限单元法的形成过程1.2有限单元法的基本思路1.3有限单元分析的基本步骤1.4有限单元法的进展与应用1.1有限单元法的形成过程 两类典型的工程问题第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。平面桁架结构，由6个承受轴向力的“杆单元”组成。大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计。1889年建成的Eff
4、iel塔，高度约300米，由18036个部件组成。热传导问题的控制方程与换热边界条件如下：tTcQzTzyTyxTxTThnTf两类问题的对比 把第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。第二类问题的研究对象称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际的工程问题，需要用近似算法求解。有限单元法的形成在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土
5、木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1956年，M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。1960年，R.W.Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一
6、术语有限单元法的数学基础（1）数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。有限单元法的数学基础（2）1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可
7、以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国学者的贡献 陈伯屏（结构矩阵方法）钱令希（余能原理）钱伟长（广义变分原理）胡海昌（广义变分原理）冯康（有限单元法理论）20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。-数学辞海第四卷1.2 有限单元法的基本思路 将连续体分割成有限个分区或单元 用标准方法对每个单元提出一个近似解 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。自重作用下等截面直杆的解受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N
8、。试求：杆的位移分布，杆的应变和横截面正应力。自重作用下直杆的材料力学解)()(xLqxNEAxLqdxxdLx)()(xxxLxEAqdyyLEAqdLxu020)2()()(dxxLEAqxdL)()()(xLAqExx在x处的微小直杆dx的变形量为，将微小直杆的变形积分可以得到直杆的位移，自重作用下直杆的有限单元法解1）离散化如图所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。2）用单元结点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。)()(1iiiiixxLuu
9、uxu第i结点的位移iuix第i结点的坐标自重作用下直杆的有限单元法解(续)iiiiLuudxdu1第i个单元的应变iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1应力内力自重作用下直杆的有限单元法解(续)3）把外载荷集中到结点上把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上自重作用下直杆的有限单元法解(续)4）建立结点的力平衡方程2)(11iiiiLLqNN对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：1iiiLL令221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuu)(2)()(11121iiiiiiiiLLqLuuEALuuEA根据约束条件，01u对于第n+1个结点，第n个单元的
10、内力与第n+1个结点上的外载荷平衡，2nnqLN EAqLuunnn221建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。例1-1、将受自重作用的等截面直杆划分成3个等长的单元，试求杆的位移。3La 定义单元的长度为 得到3个单元，4个结点。对于结点1，01u对于结点2、3，221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuuEAqauuu23212EAqauuu24322对于结点4，EAqauu2243EAqaEAqaEAqauuu211121012222432EAqauEAqauEAqau2942524232201234501234x,au,q*a*a/E/A理论值与计算值的对比
