1、数学试题 第 11页（共 11页） 江苏省江苏省徐州市徐州市 2 0 1 92 0 1 9届高三届高三 1 21 2月月考试题月月考试题 数学 试卷 一一、填空题填空题（本大题共本大题共 1 41 4小题小题，每小题每小题 55分分，共共 7 07 0分分，请将答案填写在答题卡相应的位请将答案填写在答题卡相应的位 置上置上） 1 .设集合，则. 2 . 已知，其中 为虚数单位，则=. 3 . 函数的定义域是，则函数的定义域为 4 . 在A B C中， 角 A ， B ， C的对边分别为a，b，c， 若a3 ，b5 ，c7 ， 则角 C = 5 . 如图，程序执行后输出的结果为 6 . 设函数（
2、为常数， 且）的部分图象如 图所示， 则的值为 7 . 已知，若向区域上随机投掷 一点，则点落入区域的概率为 8 . 已知满足约束条件则的取值范围为 9 . 已知函数是定义在实数集 R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若 ，则的取值范围为 1 0 . 已知，则 1 1 . 设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 数学试题 第 22页（共 22页） . 1 2 . 已知正实数满足，则的最小值为 1 3 .已知函数, 如果存在实数, 其中, 使得, 则 的取值范围是 1 4 . 设函数，则满足的的取值范围是 二二解答题解答题：本大题共本大题共 66小题小题，共计共计 9 09 0分分请在请在答题
3、卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文解答时应写出文 字说明字说明、证明过程或计算步骤证明过程或计算步骤 1 5 （本小题满分 1 4分） 如图， 在四棱锥中， 平面平面，B C/ / 平面P A D，, 求证： （1 ）平面； （2 ）平面平面 1 6 （本小题满分 1 4分） 在A B C中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 （1 ）求角A； （2 ）若mm，nn，试求|mnmn| 的最小值 A BC P （第 1 5题） D 数学试题 第 33页（共 33页） 1 7 （本小题满分 1 4分） 如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线 ，与椭圆 和轴正半轴分别
4、交于点， （1 ）若，求直线 的斜率； （2 ）过原点作直线 的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值 1 8 （本小题满分 1 6分） 如图，某森林公园有一直角梯形区域A B C D，其四条边均为道路，A DB C，A D C 9 0 ，A B5千米，B C8千米，C D3千米现甲、乙两管理员同时从地出发匀速 前往D地，甲的路线是A D，速度为 6千米/ 小时，乙的路线是A B C D，速度为v千米/ 小时 （1 ）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过 1 5分钟，求乙的速度v的取值 范围； （2 ）已知对讲机有效通话的最大距离是 5千米若乙先到达D，且乙从A到D的 过程中始终能用对讲机与甲保
5、持有效通话，求乙的速度v的取值范围 A P Q x y O l M N （第 1 7题） （第1 8 题图） CB AD 数学试题 第 44页（共 44页） 1 9 （本小题满分 1 6分） 设数列的前 n项和为，数列满足:, 且数列的前 n项和为 . ( 1 ) 求的值； ( 2 ) 求证：数列是等比数列； ( 3 ) 抽去数列中的第 1项，第 4项，第 7项， ，第 3 n - 2项， 余下的项顺序 不变，组成一个新数列，若的前 n项和为，求证：. 2 0 ( 本小题满分 1 6分) 已知函数， （1 ）当时，求的单调增区间； （2 ）若恰有三个不同的零点（） 求实数的取值范围； 求证：
6、数学试题 第 55页（共 55页） 第第 卷卷（附加题共附加题共 4 04 0分分） 2 12 1 【选做题选做题】在在 AA ，BB ，CC ，DD四小题中只能选做四小题中只能选做 22题题，每小 题每小 题 1 01 0分分，共计共计 2 02 0分分。解答解答 应写出文字说明应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 AA 选修选修 44 11 几何证明选讲几何证明选讲 如图，A B为O的直径，B D是O的切线，连接 A D交O于 E ，若 B D C E ， A B交 C E于 M，求证： BB 选修选修 44 22 矩阵与变换矩阵与变换 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得
7、到点 （1 ）求实数a的值； （2 ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量 CC 选修选修 44 44 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 已知圆的极坐标方程为，求的最大值. DD 选修选修 44 55 不等式证明选讲不等式证明选讲 已知均为正数，求证：. （第 2 1 - A ） 数学试题 第 66页（共 66页） 【必做题必做题】第第 2 22 2题题、第第 2 32 3题题，每题每题 1 01 0分分，共计共计 2 02 0分分 2 22 2 ( 本小题满分本小题满分 1 01 0分分) 设为整数，集合中的数由小到大组成数列 （1 ）写出数列的前三项； （2 ）求 2 32 3 ( 本小题满分
8、本小题满分 1 01 0分分) 如图，过抛物线上一点 P （1 ，- 2 ）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交 于点 （） 求的值； （） 若，求面积的最大值。 数学试题 第 77页（共 77页） 江苏省江苏省徐州市徐州市 2 0 1 92 0 1 9届高三届高三 1 21 2月月考试题月月考试题 数学 试卷参考答案 一一、填空题填空题（本大题共本大题共 1 41 4小题小题，每小题每小题 55分分，共共 7 07 0分分，请将答案填写在答题卡相应的位请将答案填写在答题卡相应的位 置上置上） 1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 . 9 .1 0 .1 1 .1 2 .1 3 .1
9、 4 . 二二解答题解答题：本大题共本大题共 66小题小题，共计共计 9 09 0分分请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文解答时应写出文 字说明字说明、证明过程或计算步骤证明过程或计算步骤 1 5 . 证明： （1 ）因为B C/ / 平面P A D， 而B C平面A B C D，平面A B C D平面P A D=A D， 所以B C/ /A D 3分 因为A D平面P B C，B C平面P B C， 所以平面 6分 （2 ） 自P作P HA B于H， 因为平面平面， 且平面平面 =A B， 所以平面 9分 因为B C平面A B C D，所以B CP H 因为,所以
10、B CP B， 而， 于是点H与B不重合， 即P BP H=H 因为P B，P H平面P A B，所以B C平面P A B 1 2分 A BC P D H 数学试题 第 88页（共 88页） 因为B C平面P B C，故平面P B C平面P A B 1 4分 1 6 . 解： （1 ）， 3分 即， ， 5分 ， 7分 （2 ）mnmn， |mnmn| 1 0分 ， 从而 1 2分 当1 ，即时，|mnmn|取得最小值 1 3分 所以，|mnmn| 1 4分 1 7 . 解： （1 ）依题意，椭圆的左顶点， 设直线 的斜率为，点的横坐标为， 则直线 的方程为 2分 又椭圆：， 由得， 则，从而
11、 5分 因为，所以 所以，解得（负值已舍） 8分 数学试题 第 99页（共 99页） （2 ）设点的横坐标为结合（1 ）知，直线的方程为 由得， 1 0分 从而 1 2分 ，即证 1 4分 1 8 . 解：( 1 ) 由题意，可得A D1 2千米 由题可知| | ， 2分 1 2 6 1 6 v 1 4 解得v 4分 6 4 9 6 4 7 ( 2 )解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t) 由于先乙到达D地，故2 ，即v8 6分 1 6 v 当 0 v t 5 ，即 0 t时， 5 v f(t) ( 6t) 2 (v t) 2 2 6tv t c o s D A B(v 2 v3
12、 6 )t 2 4 8 5 因为v 2 v3 6 0 ，所以当t 时，f(t) 取最大值， 4 8 5 5 v 所以(v 2 v3 6 ) () 2 2 5 ，解得v 9分 4 8 5 5 v 1 5 4 当 5 v t 1 3 ，即 t 时， 5 v 1 3 v f(t) (v t1 6t) 2 9 (v6 ) 2( t) 2 9 1 v6 因为v8 ，所以 ，(v6 ) 2 0 ，所以当t时，f(t) 取最大值， 1 v6 5 v 1 3 v 所以(v6 ) 2( ) 2 9 2 5 ，解得v 1 3分 1 3 v 1 v6 3 9 8 3 9 4 当 1 3 v t 1 6 ，t 时，
13、1 3 v 1 6 v f(t) ( 1 2 6t) 2 ( 1 6 v t) 2 ， 因为 1 2 6t0 ，1 6 v t0 ，所以当f(t) 在( ，) 递减，所以当t时，f(t) 取最大 1 3 v 1 6 v 1 3 v 数学试题 第 1 01 0页（共 1 01 0页） 值， ( 1 2 6 ) 2 ( 1 6 v ) 2 2 5 ，解得v 1 3 v 1 3 v 3 9 8 3 9 4 因为v8 ，所以 8 v 1 6分 3 9 4 解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t) 由于先乙到达D地，故2 ，即v8 6分 1 6 v 以A点为原点，A D为x轴建立直角坐标系
14、， 当 0 v t 5时，f(t) (v t6t) 2 (v t) 2 4 5 3 5 由于(v t6t) 2 (v t) 2 2 5 ，所以(v6 ) 2 (v) 2 对任意 0 t都成立， 4 5 3 5 4 5 3 5 2 5 t 2 5 v 所以(v6 ) 2 (v) 2 v 2 ，解得v 9分 4 5 3 5 1 5 4 当 5 v t1 3时，f(t) (v t1 6t) 2 3 2 由于(v t1 6t) 2 3 2 2 5 ，所以4 v t1 6t 4对任意 t都成立， 5 v 1 3 v 即对任意 t 都成立， v6 ， 5 t v6 ， 3 t 5 v 1 3 v 所以解得
15、v 1 3分 v6 ， 5v 1 3 v6 ， 3v 1 3 3 9 8 3 9 4 当 1 3 v t 1 6即t ，此时f(t) ( 1 2 6t) 2 ( 1 6 v t) 2 1 3 v 1 6 v 由及知：8 v ，于是 0 1 2 6t 1 2 1 2 4 ， 3 9 4 7 8 v 7 8 3 9 4 又因为 0 1 6 v t 3 ，所以f(t) ( 1 2 6t) 2 ( 1 6 v t) 2 4 2 3 2 2 5恒成立 综上可知 8 v 1 6分 3 9 4 1 9 . ( 1 ) 由题意得:; 1分 当 n = 1时,则有:解得:; 当 n = 2时,则有:, 即,解得
16、:; 数学试题 第 1 11 1页（共 1 11 1页） 3分 ( 2 )由 得: 4分 - 得:, 即:即:; 5分 , 由知: 数列是以 4为首项,2为公比的等比数列. 7分 ( 33 ) 由( 2 ) 知:, 即 8分 当 n 2时,对 n = 1也成立, 即( n . 1 0分 数列为,它的奇数项组成以 4为首项、公比为 8的等比数列； 偶数项组成以 8为首项、公比为 8的等比数列； 1 1分 当 n = 2 k - 1时, 1 4分 当 n = 2 k时, 数学试题 第 1 21 2页（共 1 21 2页） . 1 6分 2 0 . （1 ）当时，定义域为 所以，在上单调递增； 即的
17、单调增区间为 . 3分 （2 ）由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解 即关于的方程在上有三个不同的解 令， 所以 5 分 显然，当时，证明如下： 令， 当时，函数在上单调递减； 数学试题 第 1 31 3页（共 1 31 3页） 当时，函数在上单调递增 所以当时，取最小值 所以，当时， 7分 令，可得或 将x ,h 1 ( x ) , h ( x )变化情况列表如下 极小值极大值 又当 所以， 实数的取值范围为 1 0分 由可知，当时， 令，则， 即， 1 2分 不妨设，则 又， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减 数学试题 第 1 41 4页（共 1 41 4页） 显然，当时，；当
18、时， 所以， 1 4分 所以 即 1 6分 附加题答案附加题答案 2 1 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A ( 几何证明选讲，本小题满分 1 0分) 解：连接 C B 因为 A B为O的直径，B D是O的切线， 所以 因为 B D C E ，所以 因为 A B交 C E于 M，所以 M为 C E的中点， 所以 A C = A E ， 5分 因为 B D是O的切线，所以A B D = 9 0 因为 A B为O的直径，所以A C B = 9 0 所以A C B = A
19、B D 因为，所以A C B A B D 所以，所以 即 1 0分 数学试题 第 1 51 5页（共 1 51 5页） B ( 矩阵与变换，本小题满分 1 0分) （1 ）由=， （22分分）.（33分分） （2 ）由（1 ）知，则矩阵的特征多项式为 （55分分） 令，得矩阵的特征值为与 4 . （66分分） 当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （88分分） 当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为 （1 01 0分分） C ( 极坐标与参数方程，本小题满分 1 0分) 原方程化为 即 3分 圆的直角坐标方程为 5分 圆心 M( 2, 2 ) ，半径为 7分 1 0分 D ( 不等式选
20、讲，本小题满分 1 0分) 证明: 由柯西不等式得 5分 则, 即 1 0分 2 2 ( 本题满分 1 0分) 为整数且，最小取 2 ，此时符合条件的数有； 4分 ，可在中取，符合条件有的数有； 5分 数学试题 第 1 61 6页（共 1 61 6页） 同理，时，符合条件有的数有； 6分 时，符合条件有的数有； 7分 时，符合条件有的数有； 8分 时，符合条件有的数有； 9分 因此，是中的最小值，即 1 0分 2 3 ( 本题满分 1 0分) 因为，在抛物线上， 所以， 同理，依题有， 因为，所以 4分 由知，设的方程为， 到的距离为， 所以= ， 8分 令，由，可知， 因为为偶函数，只考虑的情况， 记，故在是单调增函数，故 的最大值为，故的最大值为 6 1 0分
