1、1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展
2、】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()1(教
3、材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0，y0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2(教材改编)已知x0，a0，当yx取最小值时，x的值为()A1 Ba C. D2答案C解析yx2，当且仅当x即x时，yx有最小值2.3若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 Da2b28答案D解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立4若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_答案2解析因为x22y2
4、22xy2，当且仅当xy时取等号，所以x22y2的最小值为2.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_(2)已知x1)的最小值为_答案(1)(2)1(3)22解析(1)x(43x)(3x)(43x)2，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x
5、，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(3)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a0，b0，ab1，则的最小值为_答案4解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立引申探究1条件不变，求(1)(1)的最小值解(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()549.当且仅当ab时，取等号2已知a0，b0，4，求ab的最小值解由4，得1.ab()(ab)21.当且仅当ab时取等号3将条件改为a2b3，求的最小值解a2b3，ab1，()(ab)121.当且仅当ab时，取等号思维升华(1)应用基本不等式解
6、题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m_
7、.答案(1)5(2)4解析(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.当且仅当，即x1，y时，等号成立，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(当且仅当，即yx时取等号)，(1m2)3，解得m4.题型二基本不等式的实际应用例3某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2016年生产
8、该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13kk2，x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，2016年的利润y1.5x816xm(m1)29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元思维升
9、华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最
10、大值是_万元答案(1)80(2)8解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x0)，即x80时“”成立(2)年平均利润为x18(x)18，x210，18(x)18108，当且仅当x，即x5时，取等号题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)(2016菏泽一模)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_答案(1)A(2)解析(1)圆x2y22y50化成标准方程，得x
11、2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，(n1)(21)，当且仅当n4时取等号的最小值是.命题点2求参数值或取值范围例5(1)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案(1)B(2)，)解析(1)由，得m(a3b)()6.又62612(当且仅当时等号成立)，m1
12、2，m的最大值为12.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范围是，)思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围(1)(2016福建四地六校联考)已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A. B. C1 D2(2)已知各项均为正数的等比数
13、列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0，y0，12，2，xy24，xy的最小值为4.(2)2x2，y12x12.函数y12x(x0，y0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)min32.(2)x0，y12x1(2x)()12 12，当且仅当x时取等号，故函数y12x(x2ab答案C解析因为和同号，所以|2.2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是
14、“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选B.3.(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.答案B解析，当且仅当3aa6即a时，等号成立4(2016青岛模拟)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2 B2 C4 D2答案C解析因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以()(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号5若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，)
15、D(，2答案D解析2x2y2，且2x2y1，2xy，xy2.故选D.6已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为()A. B2 C. D2答案D解析x0，y0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，即(2)(1)0，2，xy2.*7.设abc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 D5答案B解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，即取a，b，c时满足条件8(2016唐山一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2x
16、y6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知4x24y212.9(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则的取值范围是_答案(0，)解析xya0与圆(xb)2(y1)22相切，d，ab12，即ab1，(b1)4240.又a，b为正实数，的取值范围是(0，)10设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_答案4解析由题意知3a3b3，即3ab3，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立
17、*11.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1恒过定点A(2，1)，由A在直线mxny10上则2mn10，即2mn1.4248(当且仅当，即m，n时等号成立)12已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最
18、大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.13经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(4)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值)当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元14运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y2(2)14，x50,100所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)y26，当且仅当，即x18时，等号成立故当x18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元
