1、同学们好！同学们好！-高等数学课程介绍高等数学课程介绍高等数学高等数学同济大学数学系同济大学数学系 编编上、下册上、下册 第六版第六版 主讲教师：主讲教师：祁晓光祁晓光 授课单位：授课单位：数学科学学院数学科学学院 高等教育出版社高等教育出版社一、为什么学数学学习数学的目的学习数学的目的：1 1、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力；、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力；2 2、为后继基础课与专业课打基础；、为后继基础课与专业课打基础；3 3、为本科毕业后的继续深造打下基础。、为本科毕业后的继续深造打下基础。|一、二年级全校必修数学课：高等数学线性代数与空间解析几何概率与数理统计|选修课
2、：数学建模 数学实验 二、大学数学学什么连续基础连续基础离散基础离散基础随机基础随机基础三、高等数学内容简介微微积积分分级级数数方程方程各部分内容比例分布各部分内容比例分布83%9%8%以极限为基础以极限为基础函数为研究对象函数为研究对象Calculus四、学习进度、参考书p学习进度学习进度：第一学期：第一学期：第二学期：第二学期：一元函数微积分一元函数微积分1 17 7章章;线性代数线性代数 多元函数微积分多元函数微积分 教材类：同济大学数学系同济大学数学系 高等数学高等数学第六版第六版 高等教育出版社高等教育出版社 20102010指导书类：1 1、同济大学数学系、同济大学数学系 高等数学
3、高等数学少学时少学时 第三版第三版 高等教育出版高等教育出版社社 20062006 2 2、同济大学数学系、同济大学数学系 学习辅导与习题选解学习辅导与习题选解第六版第六版 高等教育高等教育出版社出版社 20102010 五、学习要求与辅导答疑p开课准备开课准备一：一：课代表一人课代表一人/每班每班n有热心、在数学学习方面上通下达有热心、在数学学习方面上通下达n每周按时收、发作业每周按时收、发作业|开课准备二开课准备二：z小作业本：小作业本：2 z大作业本大作业本：全校统一发放全校统一发放五、学习要求与辅导答疑|学习要求与建议学习要求与建议：z怎么学：怎么学：课前预习课前预习-课堂听讲、适当笔
4、记课堂听讲、适当笔记-课后复习课后复习-浏览参考资料浏览参考资料-完成作业完成作业z要求：要求：小作业本每周交一次；大作业每章结束后小作业本每周交一次；大作业每章结束后交一次；交一次；(周二下午之前交上周二下午之前交上)五、学习要求与辅导答疑p辅导答疑方式辅导答疑方式：地点地点：7JC段段102 时间时间：上午：上午：8：3011：00 下午：下午：2：305：00|开课时间：开课时间：第第4-18周周|考试方式：闭卷考试方式：闭卷|成绩评定：成绩评定：卷面卷面*80%平时成绩平时成绩*20%考试与成绩评定考试与成绩评定第一章第一章 函数与极限函数与极限1 1映射与函数映射与函数2 2数列的极
5、限数列的极限3 3函数的极限函数的极限4 4无穷小与无穷大无穷小与无穷大5 5极限运算法则极限运算法则6 6极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限7 7无穷小的比较无穷小的比较8 8函数的连续性与间断性函数的连续性与间断性 9 9连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 1010闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一一 基本概念基本概念二映射二映射三三 函数函数四四 小结小结 思考思考 第一节 映射与函数具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所
6、具有的特征所具有的特征xxM ,Ma,Ma 有限个元素有限个元素无限个元素无限个元素集合的表集合的表示方法示方法)(记作记作不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作
7、,(ba记作记作有限区间有限区间),xaxa ),(bxxb oxaoxb无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.表示表示“对于任意给定的对于任意给定的”注注注注.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.)(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx .0)(0 axxaU 0 axax 意味着意味着注意，注意，1.【定义定义】设设X,Y 是两个非空集
8、合是两个非空集合,若若存在一个对应规存在一个对应规则则f ,使得使得,xX有有唯一唯一确定的确定的yY与之对应与之对应 ,则则称称 f 为从为从X 到到Y 的的映射映射,记作记作元素元素y 称为元素称为元素x 在映射在映射f 下的下的像像 ,记作记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像 .集合集合X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ;记作记作Df =XY 的子集的子集 )(XfRf Xxxf)(称为称为 f 的的值域值域 .XYfxyYXf :二二 映射映射1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素：构成一个映射必须具备下列三个基本要素：
9、（1）集合）集合 X，即定义域，即定义域 Df=X；（2）集合）集合 Y，即限制值域的变化范围，即限制值域的变化范围;（3）对应规则）对应规则f,使每个使每个x X，有惟一确定，有惟一确定的的y=f(x)与之时应与之时应 2 2映射要求元素的像必须是惟一的映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不映射并不要求原像也具有惟一性要求原像也具有惟一性 注意注意:1.映射又称算子映射又称算子.根据根据X,Y X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中，的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称：映射又有不同的惯用名称：泛函：从非空集合泛函：从非空集合X X 到数集到数集Y Y 的映射；的映射；变换
10、：从非空集到它自身的映射；变换：从非空集到它自身的映射；函数：从实数集到实数集的映射函数：从实数集到实数集的映射.说明：说明：如：如：实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析 如：如：线性代数线性代数 中的线性变换、矩阵变换、变换群等中的线性变换、矩阵变换、变换群等.如：如：高等数学高等数学 中的函数中的函数对映射的分类对映射的分类YXf:若若YXf)(,则称则称 f 为为满射满射;XYf)(Xf 若若1212,xxX xx有有 12()()f xf x则称则称f 为为单射单射;若若f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则则称称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.XYf满射满射单射单射双射双
11、射2.【逆映射与复合映射逆映射与复合映射】【逆映射逆映射】YXf:设设是是单射单射定义定义XXfg)(:称映射称映射 为映射为映射 的逆映射的逆映射gf【注注】()Xf X满且满且单单，故而是，故而是双射双射只有只有 f 是是单射单射才存在逆映射才存在逆映射.1 f记作记作的映射的映射到到是指从值域是指从值域逆映射逆映射XXff)(1 不一定是映射不一定是映射到到从从XYXYf)(Xf【复合映射复合映射】ZYfYXg21:,:设有两个映射设有两个映射12YY且且定义定义ZXgf:构成的复合映射构成的复合映射和和为映射为映射称称fggf XxZxgfxgf ,)()(【注意注意】R)()1(g不
12、可少不可少：构成复合映射的条件构成复合映射的条件fDXg .)2(是有区别的是有区别的与与fggf因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx (),.fRy yf x xD函数值全体组成的数集称为函数的值域数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域，定义域，记作记作)(xfy fD()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f【函数的两要素函数的两要素】定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDfR【约定约定】定义域定义域是自变量所能取的使算式有意义的是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.（自然定义域自然
13、定义域）21xy 如，如，1,1:；D211xy )1,1(:D【注意注意】两要素是判断两函数是否相同的唯一标准两要素是判断两函数是否相同的唯一标准.,是相同的函数是相同的函数与与如如tsxy 与与字母字母无关无关定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例如，例如，222ayx 【注意注意】微积分所研究的函数都是单值函数。微
14、积分所研究的函数都是单值函数。(1)绝对值函数绝对值函数 00 xxxxxyxy xyo几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (2)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn(3)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4)狄利克雷函数狄利克雷函数(5)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgx
15、fy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx).3(,212101)(求函数求函数设设 xfxxxf ,2使得使得若若 K 1)(Kxf (1)函数的有界性函数的有界性有有若数集若数集,1XxKDX 2)(Kxf )()(1是其中的一个是其中的一个上有上界上有上界在在称函数称函数KXxf上界上界 )()
16、(2是其中的一个是其中的一个上有下界上有下界在在称函数称函数KXxf下界下界 定义定义有有若数集若数集,0,XxMDX 则称函数则称函数 f(x)在在X上上有界有界.否则称否则称无界无界.Mxf)(表示表示“存在存在”注注M-MyxoX0 xM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界【结论结论】上有界上有界在在Xxf)(界界上既有上界又有下上既有上界又有下在在)(Xxf（P22习题习题 第第13 题）题）f(x)在在X上上无界无界MxfXxM )(,0 11使得使得,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxx
17、I;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有(3)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称
18、称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy (4)函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且,)(为周期函数为周期函数恒成立，则称恒成立，则称xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(的周期的周期称为称为xfl2l 2l23l 23lxo2y2周期为周期为 【注注】周期函数不一定存在最小正周期周
19、期函数不一定存在最小正周期.【例如例如】常量函数常量函数Cxf)(狄利克雷函数狄利克雷函数()f x x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,00 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o1.【反函数反函数】)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反反函函数数 直接函数直接函数 与与反函数反函数 在在同同一坐标系下一坐标系下的图形关于直线的图形关于直线 y=x 对称对称.)(1xfy )(xfy xy 例例),(,xeyx对数函数对数函数ln,(0,)yxx互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其其图形关
20、于直线图形关于直线yx对称对称.指数函数指数函数互为反函数互为反函数与与xyxyarcsinsin 2.【复合函数复合函数】,uy 设设,12xu 21xy (1)【定义定义】复合映射的特例复合映射的特例.【说明说明】通常通常 f 称为外层函数，称为外层函数，g 称为内层函数称为内层函数.1),(Duufy (),ug xxD1)(DDg 且且则则,()yf g xxD设有设有函数链函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2
21、arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2u,11D,2cotxy 例,uy ,cotvu .2xv 12DDD 则定义则定义Dxxgxfxgf )()()(，和和(差差)积积D xxgxfxgf )()()(，商商 0)()()()(xgxDxxgxfxgf，21)()(DDxgxf、的定义域分别为的定义域分别为、设设4、函数的运算函数的运算 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.)(是常数是常数 xy)1,0(aaayx)1,0(lo
22、g aaxya 定义定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式一个式子表示子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.1.【幂函数幂函数】)(是常数是常数 xy oxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2.【指数函数指数函数】)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 3.【对数函数对数函数】)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4.【三角函数三角函数】正弦函数正弦函数xysin xysin xycos
23、xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数1seccosyxxxysec 1cscsinyxx余割函数余割函数xycsc*反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数互为反函数互为反函数与与xyxyarcsinsin 1,12,2 224sin 如如422arcsin?)1arcsin(?1arcsin 那么那么xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数互互为为反反函函数数与与xyxyarccoscos 1,1,0 xyarctan xyarctan 反反正正切切函函
24、数数xyxyarctantan 与与),()2,2(?1arctan?)1arctan(xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arccotarccotyxyx与互为反函数),(),0(基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数与复合函数反函数与复合函数初等函数初等函数思考题思考题,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)(xxgu思考题解答思考题解答1 设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf2)()1(xxxgfy ,10|xxDx21,0)(Df)2(不能不能01sin)(xxg)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集.2
